平面向量的综合应用考点与题型归纳(1)11页

1、平面向量的综合应用考点与题型归纳 典例(2019石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，|12，|8.若点M，N满足3，2，则()A20B15C36 D6解析法一：由3，2知，点M是BC的一个四等分点，且BMBC，点N是DC的一个三等分点，且DNDC，所以，所以 ，所以 36，故选C.法二：不妨设DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系则M(12,6)，N(8,8)，所以(12,6)，(4，2)，所以1246(2)36，故选C.答案C题组训练1若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C正三角形 D等腰直

2、角三角形解析：选A由()(2)0，得()0，()()0，即|，ABC是等腰三角形2(2018西安质检)已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面积等于()A. B2C3 D4解析：选B由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD(图略)，则PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形，由|2，|1可得|，则|2，所以ABC的面积为222.3.如图，在扇形OAB中，OA2，AOB90，M是OA的中点，点P在弧AB上，则的最小值为_解析：如图，以O为坐标原点，为x轴的正半轴，为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M(1,0)，B(0,2)

3、，设P(2cos ，2sin )，所以(12cos ，2sin )(2cos ，22sin )42cos 4sin 42(cos 2sin )42sin()，所以的最小值为42.答案：42 典例(2017江苏高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x则tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x

4、，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.题组训练1已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_解析：(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k_.解析：设e1，e2的夹角为，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得11 sin ，得sin 1，所以90，所以e1e20，从而对e3e1ke2两边同时平方得 1k2，解得k或(舍去)，所以k.答案：9.如图，在ABC中，O为BC的中点，若AB1

5、，AC3，与的夹角为60，则|_.解析：|cos 6013，又()，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.答案：10在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(1,3)，O为坐标原点，且 (1)，N(1,0)，则|的最小值为_解析： (1)，A，B，M三点共线，A(2,0)，B(1,3)，直线AB的方程为xy20，N(1,0)，设点N到直线AB的距离为d，d，|的最小值为N到直线AB的距离.答案：11在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解：(1)m，n(sin x，cos x)，mn，mns

6、in xcos x0，即sin xcos x，tan x1.(2)由题意知，|m|1，|n|1，mnsin xcos xsin.而mn|m|n|cosm，ncos，sin.又x，x，x，x.12(2019河南中原名校质检)在ABC中，M是BC的中点(1)若|，求向量2与向量2的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且|，求的最小值解：(1)设向量2与向量2的夹角为，则cos ，令|a，则cos .(2)|，|1，设|x(0x1)，则|1x.而2，()22|cos 2x22x22.当x时，取得最小值，最小值是.B1(2019武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且，则()()的

7、最大值是()A1B1C.1 D1解析：选A如图，作出，使得，则()()21()1，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为，此时()()取得最大值，最大值为1，故选A.2在ABC中，BC5，G，O分别为ABC的重心和外心，且5，则ABC的形状是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D上述三种情况都有可能解析：选B如图，在ABC中，G，O分别为ABC的重心和外心，取BC的中点D，连接AD，OD，OG，则ODBC，GDAD，结合，()，5，得()()5，即()()5，2230.又BC5，则|2|2|2|2|2，结合余弦定理有cos C0，C，ABC是钝角三角形故选B.3已知向量a(cos x，1)，b，函数f(x)(ab)a2.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且9，求a的值解：(1)f(x)(ab)a2|a|2ab2cos2x1sin xcos x2(cos 2x1)1sin 2xcos 2xsin 2xsin，f(x)的最小正周期T.由2k2x