量子力学习题

1、1 一一. .量子力学基本原理之一量子力学基本原理之一波函数波函数 微观粒子的运动状态可以用波函数微观粒子的运动状态可以用波函数 完全完全描述描述。( , ) r t 2 ,r tr tr t 表示表示 t 时刻时刻, 微观粒子在空间微观粒子在空间 点出现的相对点出现的相对概率密度概率密度。 r 2) 要求要求 2 ,tr 单值单值 3) 波函数的波函数的连续性连续性 4) 粒子在空间各点的概率的总和为粒子在空间各点的概率的总和为 1 - 波函数波函数归一化归一化条件条件 1) 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值有限值 2 二二. .量子力学基本原理

2、之二量子力学基本原理之二薛定谔方程薛定谔方程 2 2 ( , )( , )( , ) 2 ir tU r tr t tm （2）其解波函数）其解波函数 是一个是一个复函数复函数。只有其模。只有其模 方才有直接的物理意义方才有直接的物理意义 tr, （1）它的解满足态的叠加原理）它的解满足态的叠加原理 若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解， ),( 2 tr ),( 1 tr 则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。 ),(),( 2211 trctrc （3）它是）它是非相对论非相对论形式的方程。形式的方程。 3 薛定谔方程应用薛定谔方程应用 薛定谔方程薛定谔方程 势场中运动的

3、粒子势场中运动的粒子 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 定态波函数：定态波函数： 2 2 ( , )() ( , ) 2 ir tU rtr t tm ， 2 2 ( ) ( )( ) 2 U rrEr m Et i E ertr )(),( 量子力学基本原理之二表述量子力学基本原理之二表述 自由粒子自由粒子 2 2 ( , )( , ) 2 ir tr t tm ( , )( , )ir tHr t t 4 一维定态问题（一维无限深方势阱）一维定态问题（一维无限深方势阱） 本征值：本征值：,.)2, 1( 2 2 2 22 nn ma En 本征函数：本征函数： 2 sin (0) 0(0 xa

4、) n n x xa aa x 0 a a 0 5 线性谐振子问题线性谐振子问题 本征值：本征值： 1 2 n En 零点能零点能(基态能量基态能量)为为: 2 1 0 E 0,1,2,3n k m 本征函数：本征函数： 22 2 x nnn xA eHx 2! n n A n 其中 m 6 势垒穿透（隧道效应）问题势垒穿透（隧道效应）问题 U(x) x 0a 考虑考虑 EU 的情况的情况 U0 U x U0 0 , 2 1 22 2 0 dm E dx 2 22 22 2 0 dm EU dx 2 33 22 2 0 dm E dx EU 11 111 ik xik x xAeBe 入射入射

5、 反射反射 22 222 k xk x xA eB e 衰减衰减 33 333 ikx aikx a xA eB e B3=0 0 22 2 2 33 22 11 ( )m(UE )aaA T e AA 7 三三. .量子力学基本原理之三量子力学基本原理之三力学量算符力学量算符 1.1.量子力学中力学量为什么要用算符代替？量子力学中力学量为什么要用算符代替？ 由于很多力学量中既有由于很多力学量中既有“坐标坐标”，又有，又有“动量动量”，必，必 须统一在同一表象中计算其平均值。须统一在同一表象中计算其平均值。 2.2.给定力学量，能够写出其对应的算符给定力学量，能够写出其对应的算符 常常 用用

6、算算 符符 piijki xyz (能量算符能量算符) 动量算符动量算符 动能算符动能算符 2222 222 () 2mxyz 哈密顿算符哈密顿算符 22 2 ( )( ) 22 p HU rU r mm 2 2 p T m 2 2 2m 8 角动量算符角动量算符 Lrp i r () x Liyz zy () y Lizx xz () z Lixy yx 2222 xyz LLLL ijk ixyz xyz 坐标算符坐标算符 rr 势能算符势能算符 9 其平均值其平均值 ( ) n r F 通过通过 的的本征方程本征方程 ( )( ) nnn Frr 和本征值和本征值 n 可求得本征函数可求

7、得本征函数 在量子力学中，力学量用一个算符在量子力学中，力学量用一个算符 表示，表示， F 1.当体系处在当体系处在 n态时，态时， 力学量有力学量有确定值确定值，即，即本征值本征值 n 2.当体系处在当体系处在叠加态叠加态 时，时，( )( ) nn n rCr 力学量一般没有确定值，力学量一般没有确定值， 2 * d nn n FFC 2 n C表示粒子处在表示粒子处在 的概率的概率n 求力学量平均值注意统一表象求力学量平均值注意统一表象 10 基本对易关系基本对易关系 , 0 x y ,0 y x p , x x pi ,0 z x p ,0 xy pp , yzx L Li Lh ,

8、zxy L Li Lh 不对易，不能同时具有确定值不对易，不能同时具有确定值 , xyz L LL 0 , 2 x LL0 , 2 y LL0 , 2 z LL 2 L 因而因而 分别和分别和 同时有确定值。同时有确定值。 , xyz L LL CABBABA , 算符算符 和和 的对易式的对易式A B 0 C 0 C A B 和和 相互对易相互对易A, B同时有确定值同时有确定值 A, B不能同时有确定值不能同时有确定值和和 相互不对易相互不对易A B 11 四四. 量子力学中的氢原子问题量子力学中的氢原子问题 1、能量量子化和主量子数、能量量子化和主量子数 式中式中 n 称为主量子数称为主

9、量子数. n=1,2,3 4 2222 0 1 32 n me E n 2、角动量量子化和角量子数、角动量量子化和角量子数 ) 1( llL式中式中 l 称为角量子数或副量子数称为角量子数或副量子数. )1(2, 1 ,0nl 3、角动量空间量子化和磁量子数、角动量空间量子化和磁量子数 lz mL 式中式中 ml 称为磁量子数称为磁量子数. lml2, 1, 0角动量在空间的取向只有角动量在空间的取向只有 (2l+1) 种可能。种可能。 12 施特恩施特恩格拉赫实验格拉赫实验 乌伦贝克和高斯密特假设乌伦贝克和高斯密特假设 - 电子自旋假设电子自旋假设 自旋磁量子数自旋磁量子数 2 1 s m

10、4、电子自旋、电子自旋 电子自旋角动量在外磁场方向上的分量电子自旋角动量在外磁场方向上的分量 zs Sm 自旋角动量大小自旋角动量大小 3 (1) 4 Ss s自旋量子数自旋量子数s=1/2 5、原子的电子壳层结构、原子的电子壳层结构 主量子数：主量子数：n=1, 2, 3, 4, K, L, M, N 最大电子数：最大电子数：2n2 角量子数：角量子数：l=0, 1, 2, 3, s, p, d, f 最大电子数：最大电子数：2(2l+1) 13 四个量子数四个量子数 (1) 主量子数主量子数 n 大体上确定原子中电子的能量大体上确定原子中电子的能量 (2) 角量子数角量子数 l 确定电子的

11、轨道角动量确定电子的轨道角动量 (3) 磁量子数磁量子数 ml 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量确定轨道角动量在外磁场方向上的分量 (4) 自旋磁量子数自旋磁量子数 ms 确定自旋角动量在外磁场方向上的分量确定自旋角动量在外磁场方向上的分量 电子以四个量子数为标志的可能状态数分布如下：电子以四个量子数为标志的可能状态数分布如下： n , l , ml 相同相同 ，但，但 ms 不同的可能状态有两个。不同的可能状态有两个。 n , 相同相同 ，但，但 l , ml ，ms 不同的状态有不同的状态有 1 2 0 2(21)2 n l ln 个，组成一个壳层。个，组成一个壳层。 n , l , 相

12、同相同 ，但，但 ml ，ms 不同的可能状态有不同的可能状态有 2( 2l +1)个，个， 组成一个次壳层。组成一个次壳层。 14 1）全同粒子系）全同粒子系 四四. 量子力学基本原理之四量子力学基本原理之四全同粒子体系全同粒子体系 全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交 换位置，不引起体系物理状态的改变。换位置，不引起体系物理状态的改变。 全同性原理全同性原理 全同粒子系的特征：全同粒子系的特征： 全同粒子系波函数具有的交换对称性。全同粒子系波函数具有的交换对称性。 全同粒子：全同粒子： 15 在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子

13、具有在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有 相同的状态，亦即相同的状态，亦即不可能不可能具有具有完全相同完全相同的的四四个量子数。个量子数。 a. a.泡利不相容原理泡利不相容原理 原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级最低的能级 b.b.能量最小原理能量最小原理 2）原子中的电子分布）原子中的电子分布 可用可用（ n+0.7 l ) 的值确定能级的高低。的值确定能级的高低。 1 , 2 , 2 , 3 , 34 , 3, .sdsspsp 能级能量高低次序如下：能级能量高低次序如下： 16 (1) (1) 定态薛定谔方程对一维问

14、题的简单应用定态薛定谔方程对一维问题的简单应用 基本问题基本问题 一维无限深势阱薛定谔方程解的物理意义一维无限深势阱薛定谔方程解的物理意义 谐振子的能量谐振子的能量 隧道效应及扫描隧道显微镜隧道效应及扫描隧道显微镜 一维定态问题解所得结果的量子图象与经典图像区别一维定态问题解所得结果的量子图象与经典图像区别 (2) 四个量子数及其物理意义四个量子数及其物理意义 (4) 电子自旋及施特恩电子自旋及施特恩-格拉赫实验格拉赫实验 (5) 原子的电子壳层结构，泡利不相容原理，能量最低原理原子的电子壳层结构，泡利不相容原理，能量最低原理 (3) 量子力学中的算符量子力学中的算符 5. (1) 用 4 个

15、量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？ (2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？ (3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。 答：(1) 4 个量子数包括： 主量子数 n， n = 1, 2, 3, 角量子数 l， l = 0, 1, 2, n-1 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, , l 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2 (3) 按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态 内填充1个电子, 得磷 (P)的电子排布 1s22s22p63s23p3。 (2) n = 2

16、 l = 0 (s) l = 1 (p) ml = 0 ml = -1 ml = 0 ml = 1 ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 2n2 = 8 个 量子态 01)0(01)(ll 1s, 2s, 3s 电子轨道角动量为 2p, 3p 电子轨道角动量为 21111)()(ll 在 z 方向的投影可以为, 0, l m 解: (1)费米能量是价电子排布的最高能级对应的能量。 1mol 钠原子结合成钠金属后,其 3s 能级形成价带。 取价带底能量Eb= -5.54eV, 如果价带内密集的能级平 均间隔为 1.07610-23 eV, 求： (1)费米能量是

17、多少？ (2)用波长为 300nm 的单色光照射钠金属, 发出光电子 的最大动能是多少？ eV30. 2 )54. 5(10076. 110023. 6 2 1 2 1 2323 F b EENE 由题意, 3s能级分裂成N个能级, 形成价带。该价带最多容纳 2N(2l+1)个电子,即2N个电子。 Eb EF A 真空能级E0 0 价 带 光照射钠时发生光电效应，由爱因斯坦光电方程得到 钠金属发出光电子的最大动能是 eV84. 130. 2 106 . 110300 1031063. 6 2 1 199 834 2 m A hc Ahm v (2)金属的逸出功是金属内的一个电子变成自由电子所吸

18、收的 最小能量，即由费米能级向自由能级跃迁的电子所吸收的能 量。 A = E0 - EF = 0 - (-2.30) = 2.30eV 21 例例1. 设有一个电子在宽为设有一个电子在宽为0.20nm一维无限深的方势阱一维无限深的方势阱 中，中， （1）计算电子在最低能级的能量；）计算电子在最低能级的能量； （2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出 现的概率最小，其值为多少？现的概率最小，其值为多少？ 解：解：（1 1）一维无限深方势阱中粒子的可能能量）一维无限深方势阱中粒子的可能能量 22 2 2 1,2,3,. 2 n Enn ma 22 18 1

19、2 1.51 109.43 2 EJeV ma 式中式中a为势阱宽度，当量子数为势阱宽度，当量子数n=1时，粒子处于基态，能量最时，粒子处于基态，能量最 低。因此，电子在最低能级的能量为低。因此，电子在最低能级的能量为 22 粒子在一维无限深方势阱中的波函数为粒子在一维无限深方势阱中的波函数为 2 sin n xx aa (1,2,)n (0)xa 当它处于第一激发态时，波函数为当它处于第一激发态时，波函数为 22 sinxx aa 2 2 22 sinxx aa (0)xa （2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出现的概率最小，）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出现的概率最小， 其值为多

20、少？其值为多少？ 相应的概率密度函数为相应的概率密度函数为 令令 ，得得 2 0 dx dx 2 822 sincos0 xx aaa 23 在在 的范围内讨论，的范围内讨论，(0)xa 2 2 2 0 dx dx 由由 可知，可知， 2 2 22 sinxx aa 2 822 sincos0 xx aaa 2 x 当当x=a/4，a/2，3a/4时，函数时，函数 取得极值。取得极值。 函数在函数在 x=a/2（即（即x=0.1nm）处概率最小，）处概率最小，其值为其值为0. 24 例例2. 设粒子处在设粒子处在 0, a 范围内的一维无限深方势阱中范围内的一维无限深方势阱中, , 波函数为波

21、函数为 2 4 sincos xx x aaa 试求粒子能量的可能测量值及相应的概率试求粒子能量的可能测量值及相应的概率. . 解解: :在一维无限深方势阱中能量本征值在一维无限深方势阱中能量本征值 222 2 ,1,2,3 2 n n En ma 相应的能量本征函数为相应的能量本征函数为 2 sin, 0 n n x xxa aa 25 2 113313 4 sincos 1223 sinsin 2 1 , 2 xx x aaa xx aaaa cxcxcc 式中 测量能量为测量能量为 22 1 2 2 E ma 22 3 2 9 2 E ma 其概率为其概率为 其概率为其概率为 2 1 1

22、 2 c 2 3 1 2 c 题中所给波函数为本征函数的线性组合题中所给波函数为本征函数的线性组合, ,做变换如下做变换如下 26 1 2 3 n n n 例例3 3：粒粒子子在在一一维维无无限限深深势势阱阱中中运运动动，能能量量量量子子数数为为 ，求求： （）距距势势阱阱内内壁壁四四分分之之一一宽宽度度以以内内发发现现粒粒子子的的概概率率； （ ） 为为何何值值时时，上上述述的的概概率率最最大大； （ ）时时，该该概概率率的的极极限限如如何何及及物物理理意意义义。 解：) 1 ( 4/1 P a a n a n xxxx 4/3 2 4/ 0 2 d)(d)( a a a x a xn a

23、x a xn a 4/3 2 4/ 0 2 d sin 2 d sin 2 2 3 sin 2 1 4 1 2 sin 2 1 4 1n n n n 2 sin 1 2 1n n )2( n当 4/1 P时， 为最大值； 3 3 1 2 1 )3(时，当n 4/1 P 2 1 这时结果趋于经典， 概率相等。粒子在阱内各处出现的 27 例例4. 粒子在一维无限深势井中运动粒子在一维无限深势井中运动, ,其波函数为其波函数为 2 sin0 00 n n x xxa aa xxa 或 计算动量和动能的平均值。计算动量和动能的平均值。 解解：动量算符为：动量算符为 x pi x 动量的平均值为动量的平

24、均值为 * nn 0 n 0 n 2 sinsind 2 sin d s0 d cod a a xx px p n xn x ix aaxa nn xn x ix aaaa xxxixx x 28 动能算符为动能算符为 222 2 22 x p T mm x 动能的平均值为动能的平均值为 22 2 0 22 2 22 * n 222 2 0 nnn 2 sinsind sin dd 2 d 2 a a n xn x x maaxa nn xn x m Tx Txxxx aaama x m x 29 例例5. H2分子中原子的振动相当于一个谐振子，其劲度分子中原子的振动相当于一个谐振子，其劲度

25、系数为系数为 k=1.13103N/m，质量是，质量是m=1.6710-27kg。 此分子的能量本征值（以此分子的能量本征值（以eV为单位）多大？当此谐为单位）多大？当此谐 振子由某一激发态跃迁到相邻的下一激发态时，振子由某一激发态跃迁到相邻的下一激发态时，所放所放 出的光子的能量和波长各是多少？出的光子的能量和波长各是多少？ 解：解： 氢分子振动的角频率为氢分子振动的角频率为 k m 氢分子振动的能量为氢分子振动的能量为 343 19 27 11 ()() 22 2 1 6.63 101.13 10 ()1.6 10 221.67 10 1 0.54 2 n hk Enn m n neV 3

26、0 放出光子的能量等于放出光子的能量等于 1 0.54 nn EEEeV 波长为波长为 348 6 19 6.63 103 10 2.3 10 0.54 1.6 10 hc m E 31 22 22 1 33 2 1 2 ( )e(23) 3 x x xxx 例例6 6：设设线线性性谐谐振振子子的的势势能能为为，试试证证： ， 为为线线性性谐谐振振子子的的定定态态波波函函数数，并并求求出出所所对对应应能能级级。 解： )()( 2 1 )( d d 2 22 2 22 xExxx x 0)( 2 )()( d d 2 24 2 2 xExxx x )( d d 2 2 x x 而)()7( 2

27、22 xx0 2 )7( 2 24222 Exx E 2 7 为定态波函数)(x E而) 2 1 ( n n3能级 32 例例7. 锂锂 (Z=3) 原子中含有三个电子，电子的量子态可原子中含有三个电子，电子的量子态可 用（用（n, l , ml , ms ）四个量子数来描述，若已知其中一）四个量子数来描述，若已知其中一 个的量子态为个的量子态为 （1, 0, 0, 1/2 ），则其余两个电子的量），则其余两个电子的量 子态分别为子态分别为和和 (1, 0, 0, -1/2) 第一个电子在第一个电子在 s 支壳层，故第二个电子应填满支壳层，故第二个电子应填满 s 层，量子层，量子 数为（数为（1, 0, 0, -1/2 ）。）。 第三个电子在第三个电子在 n=2 的的 s 支壳层，即取支壳层，即取 l =0 ，因此有，因此有 ml =0, ms=1/2. 故第三个电子的量子数为故第三个电子的量子数为 （2, 0, 0, 1/2 ） 或或 （2, 0, 0, -1/2 ）。）。 (2, 0, 0, 1/2)。 33 例例8. 下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子 的状态？的状态？ (A) n =2, l =2, ml =0, m