3最值系列之瓜豆原理-豆瓜定理

1、最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一 一一求出动点轨迹，即可求出 关于动点的最值.本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点 P,但 最终问题问的可以是另一点 Q,当然P、Q之间存在某种联系，从 P点出发探讨Q点运动 轨迹并求出最值，为常规思路.一、轨迹之圆篇引例1如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接 AP, Q为AP中点. 考虑：当点P在圆0上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点 Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆0有什么关系?考虑到Q点始终为AP中点，连接A0,取A0中点M，贝U M点即为Q点轨迹圆圆心，半

2、径MQ 是 0P 半，任意时刻，均有 AMQA0P , QM:P0=AQ:AP=1:2 .p【小结】确定 Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,由A、Q、P始终共线可得：A、M、0三点共线, 由Q为AP中点可得：AM=1/2A0 .Q点轨迹相当于是 P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系; 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.引例2:如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接 AP,作AQ丄AP且AQ=AP. 考虑：当点P在圆0上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将 AP绕点A逆时针旋转90得AQ,故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半

3、径.考虑APIAQ,可得Q点轨迹圆圆心 M满足AM丄A0;考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心 M满足AM=A0,且可得半径 MQ = P0. 即可确定圆 M位置，任意时刻均有 AAP0A AQM .引例3:如图，AAPQ是直角三角形，/ PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆0运动时，Q点轨 迹是？【分析】考虑 AP丄AQ,可得Q点轨迹圆圆心 M满足AM丄A0 ;考虑AP:AQ=2:1，可得 Q点轨迹圆圆心 M满足A0:AM=2:1 .即可确定圆 M位置，任意时刻均有 APOsMQM，且相似比为 2.【模型总结】为了便于区分动点 P、Q,可称点P为主动点”点Q为从动点此类问题的必要条件：两个定量

4、主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/ PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ AP:AQ是定值）.【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： / PAQ = Z OAM ;（2 ）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.种”圆得圆， 种”线得线，谓之 瓜豆原理4【思考1】如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边 APQ . 考虑：当点P在圆0上运动时，Q点轨迹是？QA【分析】Q

5、点满足(1)/ PAQ=60 (2) AP=AQ,故Q点轨迹是个圆：考虑/ PAQ=60 ,可得 Q点轨迹圆圆心 M满足/ MAO=60 ;考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心 M满足AM=A0,且可得半径 MQ = P0. 即可确定圆 M位置，任意时刻均有 APOA AQM .A【小结】可以理解 AQ由AP旋转得来，故圆 M亦由圆0旋转得来，旋转角度与缩放比例 均等于AP与AQ的位置和数量关系.【思考2】如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角 AAPQ . 考虑：当点P在圆0上运动时，如何作出 Q点轨迹？【分析】Q点满足(1)Z PAQ=45 ( 2) AP:AQ

6、=72: 1，故Q点轨迹是个圆.连接A0,构造/ 0AM =45且A0:AM = 2 : 1. M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有AAOPsA AMQ .即可确定点 Q的轨迹圆.Q【练习】如图，点 P ( 3,4),圆P半径为2, A (2.8,0), B (5.6,0),点M是圆P上的动点, 点C是MB的中点，贝U AC的最小值是.【分析】M点为主动点,C点轨迹:取BP中点O,以O为圆心，OC为半径作圆，即为点 C轨迹.当A、C、O三点共线且点 C在线段OA上时，AC取到最小值，根据 B、P坐标求O,利用 两点间距离公式求得 OA,再减去OC即可.【2016武汉中考】如图，在等腰 Rt

7、 ABC中，AC=BC=2.2，点P在以斜边AB为直径的半 圆上，M为PC的中点，当半圆从点 A运动至点B时，点M运动的路径长为【分析】考虑 C、M、P共线及M是CP中点，可确定 M点轨迹：取AB中点O,连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹.当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长 半，即可解决问题.【2018南通中考】如图，正方形 ABCD中，AB =2 5 , O是BC边的中点，点 E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF ,连接AE、CF .求线段OF长的最小值

8、.F【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.F考虑DE丄DF且DE=DF，故作 DM丄DO且DM=DO , F点轨迹是以点 M为圆心,2为半径的圆.n8直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小可构造三垂直全等求线段 长，再利用勾股定理求得 OM，减去MF即可得到OF的最小值.#【练习】ABC中，AB=4, AC=2,以BC为边在AABC外作正方形 BCDE , BD、CE交于点0,则线段AO的最大值为9#【分析】考虑到 AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段 A

9、0的最大值.根据AC=2，可得C点轨迹是以点 A为圆心，2为半径的圆.B#接下来题目求A0的最大值，所以确定0点轨迹即可，观察AB0C是等腰直角三角 形，锐角顶点 C的轨迹是以点 A为圆心，2为半径的圆，所以 0点轨迹也是圆， 以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点 M即为点0轨迹圆圆心.连接AM并延长与圆M交点即为所求的点 0,此时AO最大，根据AB先求AM , 再根据BC与B0的比值可得圆 M的半径与圆A半径的比值，得到M0,相加即得A0.此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当 最大值.A、C、A共线时，可得A0A10#或者直接利用托勒密定理可得最大值.#轨迹之线段篇引例：如图，

10、P是直线BC上一动点，连接 AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是?11【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.可以这样理解：分别过 A、Q向BC作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点 轨迹是一条直线.AP N M#【引例】如图， APQ是等腰直角三角形，/ PAQ=90且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求 Q点轨迹?#【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如 Q点的起始位置和终点

11、位置，连接即得Q点轨迹线段.【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/ PAQ是定值）; 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ AP:AQ是定值）.结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于/PAQ （当/ PAQW 90, / PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于 AP:AQ （由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）A .【2017姑苏区二模】如图，在等边 ABC中，AB=10, BD=4, BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结 PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边ADPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是 .【分

12、析】根据 ADPF是等边三角形，所以可知 F点运动路径长与 P点相同，P从E点运动 到A点路径长为8,故此题答案为 8.13【2013湖州中考】如图，已知点 A是第一象限内横坐标为 2 3的一个定点，AC丄 x轴于点M，交直线y=-x于点N,若点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30 BA丄PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是 .AyAMOP弋C【分析】根据/ PAB=90, / APB=30可得：AP:AB/3:1，故B点轨迹也是线段,且P点轨迹路径长与 B点轨迹路径长之比也为 .3:1 , P点轨迹长ON为2.6，故B

13、点轨迹长为2 2 .【练习】如图，在平面直角坐标系中，A (-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边 AABP,点B在y轴上运动时,上运动，故可知 P点轨迹也是直线.是等边三角形且B点在直线取两特殊时刻：(1)当点B与点O重合时，作出P点位置P1 ; ( 2)当点B在x轴 上方且AB与x轴夹角为60时，作出P点位置P2.连接P1P2，即为P点轨迹.Ay八根据/ ABP=60可知：BP?与y轴夹角为60作0P丄RE，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以 0P = 3 .215【2019宿迁中考】如图，正方形 ABCD的边长为4, E为BC

14、上一点，且BE=1 , F为AB边 上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边 AEFG，连接CG ,则CG的最小值为.#CG最小值，可以将【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求F点看成是由点B向点A运动，由此作出 G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置， 初始时刻G点在Gi位置，最终G点在G?位置（G?不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹.CG最小值即当CG丄G1G2的时候取到，作 CH丄G1G2于点H , CH即为所求的最小值.根据模型可知：G1G2与AB夹角为60 故GG丄EG1 .过点E作EF丄CH于点F，贝U

15、 HF所以CH=5，因此CG的最小值为1 3GiE =1 , CF = CE 二一,2 2216#三、轨迹之其他图形篇所谓 瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、 从动点到定点的距离之比， 可确定从动点的轨迹， 而 当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是.2【2016乐山中考】如图，在反比例函数y - -2的图像上有一个动点 A，连接AOxAC=BC，当点A运并延长交图像的另一支于点B,在第一象限内有一点 C,满足则k的值为（）动时，点C始终在函数y=k的图像上运动，若tan / CAB=2,#C. 6D . 8#【分析】/ AOC

16、=90且A0:0C=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线， 分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为 M、N，连接0C,易证 MMOONC,. CN=2OM ,ON=2AM , ON CN=4AM OM，故 k=4 X2=8.x【思考】若将条件 fan/ CAB=2”改为 MBC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A (-1,1) , B (-1,4), C (-5,4),点P是ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在 OP的右上方作等腰直角 OPQ，当点P在ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为 .*yO【分析】根据OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ= .2:1，可得P点轨迹图形与 Q点轨迹图形相似比为 .2:1，故面积 比为2:1, ABC面积为1/2 3X4=6，故Q点轨迹形成的封闭