计量经济学第二章--一元线性回归模型教学课件

1、 计 量 经 济 学 4 人均月收入人均月收入X人均月消费支出Y条件均值条件均值E(Y) 180155160165170175165 200165170174180185188177 220179184190194198189 240180193195203208213215201 260202207210216218225213 280210215220230235240225 300220236240244245237 320235237240252257260262249 340237245255265275289261 360250252275278280285291273 某总体的家

2、庭收支情况 计 量 经 济 学 5 人均月收入X条件均值E(Y) 180165 200177 220189 240201 260213 280225 300237 320249 340261 360273 人均月收入与人均月消费支出条件均值 计 量 经 济 学 6 从散点图散点图(Scatterplot)可以看出，各个家庭的消费支出 存在差异，但是各组家庭的平均消费支出随着收入水平 的提高也在不断增加，消费支出的条件均值都落在一条 直线上，这条直线描述了家庭收入变化时，消费支出的 平均变化规律平均变化规律。 计 量 经 济 学 7 2.1.1 总体回归方程 图21中的直线称作总体回归直线，其对

3、应的线性方程 称作总体线性回归方程，系数 称为总体回归参数。 iiii XbbYXYE 10 )|( 10,b b iii XbbY 10 称为总体回归方程的随机设定形式 )()( 10iiiii XbbYYEY 回归分析的主要任务主要任务就是设法求出总体回归参数的具体 数值，进而利用总体回归方程描述和分析总体的平均变 化规律 计 量 经 济 学 8 2.1.2 样本回归方程 从前面所举的例子中可以看出，只有了解总体的概率分 布，才能够确定总体回归方程，但是在现实的经济生活中， 一般没有办法获得总体的数据，只能从总体中得到样本数 据，利用样本信息对总体进行推断。设样本回归方程样本回归方程为：

4、ii XbbY 10 其中 的估计值为总体回归参数 1010 , , bbbb 其随机误差形式随机误差形式为 iiiii eXbbeYY 10 Y X 总体回归方程 样本回归方程 计 量 经 济 学 9 2.1.3 随机干扰项产生原因 1、模型中被忽略因素的影响 2、模型函数形式设定误差 如采用线性函数代替非线性函数 3、数据的测量误差 登记性误差 代表性误差 4、随机因素的影响 计 量 经 济 学 10 2.2 参数的最小二乘估计 2.2.1 古典线性回归模型的基本假设 1、 零均值零均值假定假定：随机误差项的期望或均值为零 ， 该假定表明，随机误差项对Y没有任何影响 0)( i E )()

5、()( 2 常数 ii VarYVar 该假定表明：给定X对应的每个条件 分布都是同方差的，每个Y值以相同 的分布方式在它的期望值E(Y)附近波 动 2 、同方差同方差假定假定：每一个随机误差项的方差为常数，即: 计 量 经 济 学 11 3、无自相关假定无自相关假定：任意两个随机误差项之间不相关，用数学 形式表示为： 0)()(),( jjiiji EEECov 4、 解释变量解释变量与随机误差项随机误差项不相关假定，即 0),( ii XCov 该假定表明，解释变量和随机误差项相互独立，互不相关， 它们独自对因变量产生作用 计 量 经 济 学 12 2.2.2 普通最小二乘法 1.基本原理

6、基本原理：选择参数 使得残差平方和 最小 10 , bb 2 i e 2 10 22 ) () ( iiiii XbbYYYe 由于 2 i e 是 10 , bb的二次函数，非负且连续可微，要使残差平方和最小 即求其极值，分别用 2 i e对 10 , bb求偏导数，并令偏导数为0 2 01 0 2()0 i ii e Ybb X b 2 01 1 2()()0 i iii e Ybb XX b （2.2.1） (2.2.2) 计 量 经 济 学 13 整理得： iii XbbnXbbY 1010 ) ( 2 10 iiii XbXbXY (2.2.3) (2.2.4) 求解方程组 nXi)

7、4 . 2 . 2() 3 . 2 . 2(公式公式 有 2 10 )( iiii XbXbnYX 2 10 iiii XbnXbnXYn 计 量 经 济 学 14 22 1 )( ii iiii XXn YXYXn b 22 )( n X nX nn YX nYX i i ii ii 22 )(XnX YXnYX i ii 令 YYyXXx iiii , 22 1 )( )( i ii i ii x yx XX YYXX b XbYb 10 斜率系数的 离差形式 计 量 经 济 学 15 例2.1 我国税收预测模型 i Y i X iiY X 2 i Y 2 i X 198520418964

8、18295524416568180353296 1986209110202213323824372281104080804 1987214011963256008204579600143113369 1988239114928356928485716881222845184 1989272716909461108437436529285914281 1990282218548523424567963684344028304 1991299021618646378208940100467337924 19923297266388782548610870209709583044 199342553

9、4634147367670181050251199513956 1994512746759239733393262861292186404081 1995603858478353090164364574443419676484 1996691067885469085350477481004608373225 1997823474463613128342677987565544738369 1998926379396735445148858031696303724816 计 量 经 济 学 16 税收收入对GDP的散点图 计 量 经 济 学 17 93.35098, 72561968713 2

10、XX i 4309,336243588 2 YYi 2909688246 iiY X 0946. 0 93.350981472561968713 430993.35089142909688246 )( 222 1 XnX YXnYX b i ii 5417.98793.350890946. 04309 10 XbYb 计 量 经 济 学 18 从而得到我国税收模型线性回归方程 ii XY0946. 05417.987 估计出来的回归(斜率)系数0946. 0 1 b 它表明：国内生产总值每增加一亿元，我国税收将平均增加 0.0946亿元 计 量 经 济 学 19 2.3 普通最小二乘估计量的性

11、质和分布 2.3.1 最小二乘估计量的性质 1、线性线性 即估计参数 因变量 的线性组合 10 , bb i Y iiY kb 1 iiY wb0 222 1 )( )( )( i iii i ii i ii x xYYx x YYx XX YYXX b 0 i x 2 1 i ii x Yx b ). ( 22 2 2 1 22 2 2 1 22 22 2 2 1 11 n nn nn i xxx Yx xxx Yx xxx Yx b 计 量 经 济 学 20 2 i i i x x k iii Ykb 0)() 1 ( 22 i i i i i x x x x k 222 2 2 2 2

12、1 )( )()2( ii i i i i xx x x x k 1)() 3( 2 2 2 i i i i i i i x x x x x xk 1)()4( iiiiiiii i xkkXxkXxkXk 同样可以证明 iiY wb0 令则 ii kx n w 1 其中 的性质 i k 计 量 经 济 学 21 2 10 2 1 i iii i ii x Xbbx x Yx b 带入把总体线性回归方程 iii XbbY 10 0 i x由于离差之和为零 22 iiiiiii xxXxXxxXx 2 1 2 10 1 i ii i iii x x b x Xbbx b ii kb 1 同理可得

13、 ii wbb 00 计 量 经 济 学 22 2.无偏性无偏性 1100 ) (,) (bbEbbE )( 101iiiii XbbkYkb iiiii kXkbkb 10 即 iiii kbkbb 110 0 1111 )()()() (bkEbEkbEbE iiii 因为 所以 1010 bbbb、数的期望等于总体回归参和参数估计值 计 量 经 济 学 23 3、最小方差性最小方差性 在所有的线性无偏估计量中，最小二乘估计量的方差是最小的 22 11 2 111 )() () ( ) ( ii kEbbEbEbEbVar 由古典线性回归模型的假定可知，对每一个随机变量，有 )( 0)(,

14、)( 22 时当jiEE jii )22( 112121 222 2 2 2 2 1 2 1nnnnnn kkkkkkkE )(2)(2)()()( 112121 222 2 2 2 2 1 2 1nnnnnn EkkEkkEkEkEk 2 2 22222 2 2 2 2 1 2 11 )()()() ( i inn x kEkEkEkbVar 计 量 经 济 学 24 证最小方差，设证最小方差，设 iiY cb* 1 11010 * 1 )()() (bcXcbcbXbbcYcEbE iiiiiiiiii 0, 1, 0 iiiii cXcc 为斜率系数的另外一个无偏估计量，从而有 222*

15、 1 )() ( iii ccEbVar )(2)()( 22222 iiiiiiiii kkkckckkc iiiiii kkckkc)(2)( 22222 0 101 1 1 )()( 2222 2 ii iii ii i iiiiiii xx cXXc xx XX ckkckkc 222222* 1 )( iiii kkkcbVar 计 量 经 济 学 25 2.3 .2 估计参数的概率分布 00) (bbE 2 22 0) ( i i xn X bVar 2 2 1) ( i x bVar 经过前面的推导可得： 11) (bbE 由于估计参数 10 , bb 都是 i Y 的线性组合，

16、它们的概率分布 取决于 i Y分布此估计参数也服从正态是服从正态分布的，因而 i Y ),( ),( 2 2 11 2 22 00 ii i x bNb xn X bNb 从而有 计 量 经 济 学 26 2.4 随机误差项方差的估计 ，机误差项方差的方差表达式中都有随，参数 2 10 bb i e 即总体方差， 只有知道总体方差才能计算出估计参数的方差，但是总体 随机误差项无法观测，因此只能 从它的估计值的残差 出发，对总体随机误差项进行估计，可以证明 22 )( 22 2 n e n eE ii 计 量 经 济 学 27 2.5 一元线性回归模型的统计检验 2.5.1 拟合优度检验拟合优度

17、检验：对样本回归直线和样本观测值之间拟 合优度的检验 可以分解为两个部分YYy ii ) () (YYYYYY iiii 之差与拟合值观测值是残差部分，度量实际其中 iiii YYYYe 之差，来自回归部分和观测值均值度量回归拟合值YYYYy iii iii yey (2.5.2) (2.5.1) 从图中可以看出，第i个因变量y的观测值与样本均值的 总离差 计 量 经 济 学 28 将公式（2.5.1）两边平方后再求和，有 ) )( (2) () ()( 222 YYYYYYYYYY iiiiiii ) ( ) (2) () ()( 2 22 YYYYYYYYYY iiiiiii iiiiii

18、iii eYXebebYXbbeYYYY 1010 ) () )( (其中 由线性回归模型的基本假定可知 0, 0 iii Xee 0)( (YYYY iii 因此有 (2.5.3) 2 22 ) () ()( YYYYYY iiii 计 量 经 济 学 29 上式用文字表示即为： TSS(总离差平方和)RSS(残差平方和)ESS(回归平方和) TSS-Total Sum of Square RSS-Residual Sum of Square ESS-Explained Sum of Square 从等式中可以看出，如果回归平方和ESS在总离差TSS 平方和中占的比重越大，残差平方和RSS就

19、越小， 2 2 )( YYyTSS ii 2 2 ) ( iii YYeRSS 2 2 ) ( YYyESS ii 那么模型的拟合误差就越好，样本回归方程就越接近总 体回归方程 计 量 经 济 学 30 为此提出拟合系数（判定系数） 2 2 2 2 2 2 2 1 )( 1 )( ) ( i i i i i i y e YY e YY YY R 总离差平方和 回归平方和 拟合系数具有下面两个性质： 0. 1 2 R非负性，即 动能完全解释因变量的变说明自变量若XR R , 1 10 . 2 2 2 在线性关系之间完全不拟合，不存和说明若YXR, 0 2 计 量 经 济 学 31 请大家注意回归

20、平方和 2 ) ( YYESS i ii XbbY 10 XbbY 10 iii xbXXbYY 11 )( 样本回归方程 22 1 2 1 2 2 ) () ( iiii xbxbYYyESS从而有 22 1 2 2 2 ) ( iiiii xbyYYeRSS 计 量 经 济 学 32 现在可以回到例2.1中，计算该线性回归模型的拟合系数 2 22 1 2 2 2 )( ) ( i i i i y xb YY YY R 837260012193.350981472561968713 2222 XnXx ii 76298854430914336243588 2222 YnYy ii 9827.

21、 0 76298854 8372600121 0946. 0 2 2 22 12 i i y xb R 左右的变动能解释因变量说明自变量989827. 0 2 YXR 拟合系数的经济意义拟合系数的经济意义 线性回归模型的拟合效果是比较好的 计 量 经 济 学 33 2.5.2 参数显著性检验 在一元线性回归模型中，还需要对回归参数进行检验，也就是检验 是否显著不为零 10 ,bb 为此提出假设0:, 0: 10 ii bHbH备则假设原假设 在前面已经推导过回 归参数服从概率分布 ),( ),( 2 2 11 2 22 00 ii i x bNb xn X bNb 从而可以构造统计量 ) 1

22、, 0( )( N b bb Z i ii 1、检验原理 计 量 经 济 学 34 但是由于总体方差和标准差未知，因此 只能用其估计量进行代替，此时Z不再服 从正态分布，而是服从t分布 )2( ) ( nt bse bb t i ii 计 量 经 济 学 35 2、检验步骤 0:),2( 0 2 i bHntt拒绝原假设若 0:, 0: 110 bHbH i )2( ) ( 2 nt bse bb t i ii 对总体参数提出假设 对原假设构造统计量 给定显著性水平，查自由度为n-2的t分布表，得到临界值 )2( 2 nt 0:),2( 0 2 i bHntt接受原假设若 计 量 经 济 学

23、36 再次回到例2.1中，对模型的斜率系数进行参数显著性检验 2 2 1 ) ( i x bVar )2( ) ( ) ( ) ( 21 1 1 11 1 nt bse b bse bb bt 现在已经计算出0946. 0 1 b 还没有计算出斜率参数的标准差，前面已经证明斜率参数的 方差 这个公式中，总体随机误差项方差 2 未知，只能用其估计 2 计 量 经 济 学 37 2 2 2 n ei 7336.132147883726001210946. 076298854) ( 222 1 22 iii xbye 2278.110123 12 7336.1321478 2 2 2 n ei 5

24、2 2 1 103646.1 8372600121 6584.114259 ) ( i x bVar 003627. 0) () ( 11 bVarbse 09310.26 003627. 0 0946. 0 ) ( ) ( 1 1 1 bse b bt 计 量 经 济 学 38 分布表，得临界值下，查在给定的显著性水平t05. 0 179. 2)12(09310.26 025. 0 tt 因此拒绝原假设，可以认为自变量和因变量之间存在 显著的线性关系 179. 22142 025. 02 tnt 计 量 经 济 学 39 第一次作业 研究某国货币数量Y 和国民收 入X 之间的关系，随机抽取了

25、 12年进行调查，得到右表中资 料： (1)试建立货币数量Y 对国民收入 X 之间的一元线性回归模型； (2)计算线性回归模型的拟合系数， 并解释其经济意义； (3)在5%的显著性水平下,计算斜 率系数的 t检验值，判断其是否 通过参数显著性检验。 年份国民收入 X(单位：千 元) 货币数量 Y(单位：亿 元) 15.05.02.02.0 25.55.52.52.5 36.06.03.23.2 47.07.03.63.6 57.27.23.33.3 67.77.74.04.0 78.48.44.24.2 89.09.04.64.6 99.79.74.84.8 1010.010.05.05.0

26、1111.211.25.25.2 1212.412.45.85.8 计 量 经 济 学 40 2583. 8,23.876, 1 .99 2 XXX 11.426XY 02. 4,86.207,24.48 2 YYY 4852.0 22 1 XnX YXnXY b 回归系数 1 b 表明国民收入每增加1千元，货币数量平均增加 0.4852万元 0098. 0 10 XbYb 样本回归方程为 ii XY4852. 00098. 0 计 量 经 济 学 41 2567.14,8292.57 222222 YnYyXnXx iiii 6141.13) ( 22 1 2 ii xby 9549.0 2

27、 2 2 i i y y R 左右的变动能解释因变量说明自变量49.959549. 0 2 YXR 计 量 经 济 学 42 6426. 0 222 iii yye 06426.0 2 2 2 n ei 0333. 0 ) ( 2 2 1 i x bse 5706.14 ) ( ) ( 1 1 1 bse b bt 2281. 2)10() ( 025. 01 tbt 斜率系数通过参数显著性检验。 计 量 经 济 学 43 2.6 一元线性回归模型的预测一元线性回归模型的预测 点预测 总体均值的预测 总体个值的预测 计 量 经 济 学 44 对于一元线性回归模型 ii XbbY 10 给定样本

28、以外的解释变量的观测值X0，可以得到 被解释变量的点预测值0 0 ，可以此作为其条件条件 均值均值E(Y|X=X0)或个别值个别值Y0的一个近似估计。 注意：注意： 严格地说，这只是被解释变量的预测值 的估计值，而不是预测值。 原因:（1）参数估计量不确定； （2）随机项的影响 2.6.1 点预测点预测 计 量 经 济 学 45 0 0是条件均值是条件均值E(Y|X=X0)或个值或个值Y0的一个无偏估计的一个无偏估计 由下式给出对真均值的预测给定 000, XYEXX 01000 XbbXYE 00100 XXbbY来估计上式，给定用 0101000 XbbbEXbEYE 的一个无偏估计量是因

29、此， 000 XYEY 计 量 经 济 学 46 00, YXX要预测个值给定 00100 XbbY 01000 XbbYY预测为把 010001000 XbbXbbYY预测误差 001100 Xbbbb 0 00 YYE因此， 的一个无偏估计量是因此， 00 YY 计 量 经 济 学 47 由于 于是 可以证明 2.6.2 总体均值预测值的置信区间总体均值预测值的置信区间 0100 XbbY ),( ),( 2 2 11 2 22 00 ii i x bNb xn X bNb 0101000 XbbbEXbEYE 1 2 010000 , 2 bVarXbbCovXbVarYVar 2 2 10 , i x X bbCov 计 量 经 济 学 48 因此 2 22 0 2 2 0 2 22 0 2 iii i x X x XX x X YVar 2 00 2 22 2 2 2XXXX n XnX x i i 2 0 2 2 2 XX n x x i i 2 2