特征值与特征向量优秀教学设计4页

1、特征值与特征向量【教学目标】1亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。2掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。3能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。二、讲授新课教师：

2、请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。例1：对于相关x轴的反射变换：，从几何直观上可以发现，只有x轴和平行于y轴的直线在反射变换的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，反射变换只把形如和的向量（其中，是任意常数），分别变成与自身共线的向量。可以发现，反射变换分别把向量，变成，。特别的，反射变换把向量变成，把向量变成。用矩形的形式可表示为，。例2：对于伸缩变换：，从几何直观上可以发现，只有x轴和平行于y轴的直线在伸缩变换的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

3、因此，伸缩变换只把形如和的向量（其中，是任意常数）分别变成与自身共线的向量。可以发现，伸缩变换把向量，变成，。特别地，伸缩变换把向量变成，把向量变成。用矩形的形式可表示为，。教师：让学生结合引入的问题，探讨出“不变形”。教师：总结并引入课题的主内容矩阵特征值与特征向量的定义。接下来，我们先来学习阵特征值与特征向量的定义与相关性质 ，它的具体内容是：定义：设矩阵，如果存在数以及非零向量，使得，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。注意：特征向量必须是非零向量。特征值与特征向量是相伴出现的。性质：一般地，设是矩形的属性特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，也是矩阵A的

4、属性特征值的特征向量。一般地，属性矩阵的不同特征值的特征向量不共线。它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例1试从几何直观上，利用线性变换求矩阵的特征值与特征向量。教师板书展示解析。根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。练习：试从几何直观上，利用线性变换求矩阵的特征值与特征向量。三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了定义：设矩阵，如果存在数以及非零向量，使得，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。性质：一般地，设是矩形的属性特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，也是矩阵A的属性特征值的特征向量。一般地，属性矩阵的不同特征值的特征向量不共线。（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1从几何直观上，找出下列线性变换的所有特征值和特征向量：（1）旋转变换；（2）恒等变换；（3）零变换0（把平面上的每个向量都变为0向量）；（4）关于x轴的正投影变换；（5）关于y轴的反射