大学物理,机械波17-05 驻波

1、1 一一 驻波的产生驻波的产生 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干振幅、频率、传播速度都相同的两列相干 波，在同一直线上沿波，在同一直线上沿相反相反方向传播时，叠加而方向传播时，叠加而 形成的一种形成的一种特殊的干涉现象特殊的干涉现象。 如，当一列波遇到障碍时产生的如，当一列波遇到障碍时产生的反射波，反射波， 与入射波叠加，可产生驻波。与入射波叠加，可产生驻波。 2 介质中各质点都作稳定的振动。波形并没有传播。介质中各质点都作稳定的振动。波形并没有传播。 驻波的特点：驻波的特点： 3 txAy 2cos) 2 cos2( 二、驻波方程二、驻波方程 1 cos 2() x yAt 正向：正向：

2、 2 cos2() x yAt 负向：负向： 21 yyy )(2cos)(2cos x tA x tA 设有两列相干波，分别沿设有两列相干波，分别沿X轴正、负方向传轴正、负方向传 播，选初相位均为零的表达式为：播，选初相位均为零的表达式为： 合成波表达式：合成波表达式： （驻波方程）（驻波方程） 4 各质点都在作同各质点都在作同 频率的简谐运动频率的简谐运动 表明：表明：各点都在作同频率简谐振动，与原来波的各点都在作同频率简谐振动，与原来波的 频率相同。但各点振幅随位置的不同而不同。频率相同。但各点振幅随位置的不同而不同。 驻波的振幅与位置有关驻波的振幅与位置有关 txAy 2cos) 2

3、cos2( （驻波方程）（驻波方程） 5 1） 驻波方程实际上是一个振动方程，仅仅表示驻波方程实际上是一个振动方程，仅仅表示 介质中各个质元都在作振幅不等的简谐振动。介质中各个质元都在作振幅不等的简谐振动。 t x Ay 2cos2cos2 驻波方程驻波方程 就使得波线上某些质元的振幅为就使得波线上某些质元的振幅为0，始终静止，始终静止 不动；而有些质元的振幅始终最大。不动；而有些质元的振幅始终最大。 振幅项振幅项 x A2cos2 只与位置有关，而与时间无关。只与位置有关，而与时间无关。 整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化 而不传播，这是驻波中而不传

4、播，这是驻波中“驻驻”字的意思。字的意思。 6 振幅最大的点称为振幅最大的点称为波腹波腹， 振幅为零的点称为振幅为零的点称为波节波节。 波腹和波节波腹和波节 波波 节节 波 腹 由驻波方程中的振幅项可以求出由驻波方程中的振幅项可以求出波腹和波节的位置波腹和波节的位置。 7 波腹波腹，振幅值最大为，振幅值最大为2A。波节波节，振幅为零。，振幅为零。 kx 2 即：即： ,1 2 cos x 对应于对应于 ,0 2 cos x 对应于对应于 2 )12( 2 kx即即： , 4 )12( kx , , , ,0 1 2 3k , 2 kx , , , ,0 1 2 3k 位位置置为为： 波波节节的

5、的 位位置置为为： 波波腹腹的的 相邻相邻波腹波腹(或或波节波节)的的间距间距 2 4 相邻相邻波腹波腹和和波节波节间距间距 t x Ay 2cos2cos2 驻波方程驻波方程 8 波波 节节 波波 腹腹 , 4 )12( kx ,.3, 2, 1, 0 k , 2 kx ,.3, 2, 1, 0 k 位位置置为为： 波波节节的的 位位置置为为： 波波腹腹的的 相邻相邻波腹波腹(或或波节波节)的间距的间距 2 4 相邻相邻波腹波腹和和波节波节间距间距 t x Ay 2cos2cos2 驻波方程驻波方程 这是实验中测量波长的一种常用的方法。这是实验中测量波长的一种常用的方法。 9 相邻相邻两波节

6、之间质点振动两波节之间质点振动同相位同相位，任一波节两任一波节两 侧振动侧振动相位相反相位相反。驻波中不存在相位的传播。驻波中不存在相位的传播。 2）各点的相位）各点的相位 10 x 2cos, 44 0 x t x Ay 2cos2cos2 )2cos(2cos2 t x Ay , 4 3 4 0 x x 2cos t x Ay coscos222 x y o 22 4 x为为波节波节例：例： 驻波实际上就是分段振动着的，没有振动状态驻波实际上就是分段振动着的，没有振动状态 或相位的传播。这是驻波中或相位的传播。这是驻波中“驻驻”字的又一层意思。字的又一层意思。 11 从振动合成考虑，这意味

7、着反射波与入射波的从振动合成考虑，这意味着反射波与入射波的 相位在此处正好相反，或者说，相位在此处正好相反，或者说，入射波在反射时有入射波在反射时有 的相位突变，的相位突变，相当于波程损失了半个波长相当于波程损失了半个波长。 在反射点处绳是固定不动的，因而此处只能是波节。在反射点处绳是固定不动的，因而此处只能是波节。 三三 相位跃变相位跃变（半波损失）（半波损失） 12 入射波在反射时发生入射波在反射时发生 的相位突变的现象，常的相位突变的现象，常 称为称为半波损失半波损失。 反射波与入射波形成的驻波，在介质分界处是反射波与入射波形成的驻波，在介质分界处是 波节还是波腹，与这分界处两边的介质性

8、质有关。波节还是波腹，与这分界处两边的介质性质有关。 一般情况下，当波从波疏媒质垂直入射到波密一般情况下，当波从波疏媒质垂直入射到波密 媒质界面上反射时，反射波就有半波损失。媒质界面上反射时，反射波就有半波损失。 13 当波从波疏介质垂直入射到波密介质，当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射被反射 到波疏介质时形成到波疏介质时形成波节波节。入射波与反射波在此处的相。入射波与反射波在此处的相 位时时位时时相反相反, 即反射波在即反射波在分界处分界处产生产生 的相位的相位跃变跃变。 波密波密介质介质 u 较大较大 波疏波疏介质介质较小较小 u 有半波损失有半波损失 14 当波从波密介质垂直入射

9、到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到被反射到 波密介质时形成波密介质时形成波腹波腹。入射波与反射波在此处的相位。入射波与反射波在此处的相位 时时时时相同相同，即反射波在分界处，即反射波在分界处不不产生相位产生相位跃变跃变。 无半波损失无半波损失 15 四四 驻波的能量驻波的能量 2 k )(d t y W 2 p )(d x y W 波节波节处的质点动能为零，相对形变最大，处的质点动能为零，相对形变最大，只有只有 势能势能；波腹波腹处的质点相对形变最小，势能最小（为处的质点相对形变最小，势能最小（为 零），零），只有动能只有动能。 AB C 波波 节节 波波 腹腹 x x

10、位移最大时位移最大时 平衡位置时平衡位置时 16 各质点同时各质点同时到达最大位移时到达最大位移时，动能为零，势能，动能为零，势能 不为零，波节处形变最大，不为零，波节处形变最大，势能集中在波节势能集中在波节。 其它时刻，则是动能和势能并存。其它时刻，则是动能和势能并存。 驻波的能量在相邻的波节间发生动能和势能驻波的能量在相邻的波节间发生动能和势能 间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中 在波节，在波节，没有能量的定向传播。没有能量的定向传播。 各质点同时各质点同时回到平衡位置时回到平衡位置时，势能为零，动能，势能为零，动能 最大，波腹处质点速度最

11、大，最大，波腹处质点速度最大，动能集中在波腹动能集中在波腹。 17 1 y 2 y O P )(mx)(cos.SI x ty 200 20020 入入 例：例：如图所示，有一沿如图所示，有一沿 x 轴正向传轴正向传 播的平面简谐波，其波函数为：播的平面简谐波，其波函数为： 在在d = 6.0m 的处受到波密介质平面的反射（设反射的处受到波密介质平面的反射（设反射 时波的强度不变）。时波的强度不变）。求：求：1）反射波的波动方程；反射波的波动方程； 2）驻波方程；驻波方程；3）之间之间波腹和波节的位置波腹和波节的位置。 解解： 1) ) 200 6 (200cos2 . 0 ty P 入入 )6200cos2 . 0 t（)200cos2 . 0t （ )200cos2 . 0 ty P （ 反反 ) 200 6 200cos2 . 0 x ty（ 反反 18 ) 200 6 200cos2 . 0 x ty（ 反反 )5) 200 200cos2 . 0 x t（ ) 200 200cos2 . 0 x t（ ) 200 6 (200cos2 . 0 ty P 入入 )6200cos2 . 0 t（ )cos.t 20020（ )200cos2 . 0 ty P （