材料力学动载荷

1、第第10章章 前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、 稳定性的计算都是在稳定性的计算都是在静载荷静载荷作用下进行的，即认为载荷从零作用下进行的，即认为载荷从零 开始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，载开始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，载 荷加到最终值后也不再变化。荷加到最终值后也不再变化。 在工程实际问题中：在工程实际问题中： 一些一些高速运动高速运动的构件或零部件，以及的构件或零部件，以及加速提升加速提升的构件，的构件， 其质点具有明显其质点具有明显加速度。加速度。 再如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向再

2、如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向冲击的构件，冲击的构件， 更是在瞬间速度发生急剧改变。更是在瞬间速度发生急剧改变。 显然这些情况不能作为静载荷来考虑，称之为显然这些情况不能作为静载荷来考虑，称之为动载荷动载荷，在，在 动载荷作用下的构件的计算称为构件的动力计算。动载荷作用下的构件的计算称为构件的动力计算。 概述概述 构件的动力计算，包括构件的载荷和内力分析；应力与强度、构件的动力计算，包括构件的载荷和内力分析；应力与强度、 变形与刚度的分析与计算。变形与刚度的分析与计算。 对动力学的学习与研究对动力学的学习与研究( (基本定理与动静法基本定理与动静法) )提供了构件动力提供了构件动力 计算

3、分析的前提。计算分析的前提。 前面各章在静载荷下对杆件基本变形及组合变形的内力、应前面各章在静载荷下对杆件基本变形及组合变形的内力、应 力、变形分析，为构件的动载荷下的应力与变形计算奠定了基础。力、变形分析，为构件的动载荷下的应力与变形计算奠定了基础。 本章将把两方面结合起来应用于杆件的动力计算。本章将把两方面结合起来应用于杆件的动力计算。 对动载荷作用下的构件，只要应力不超过比例极限对动载荷作用下的构件，只要应力不超过比例极限P P，胡，胡 克定律仍然适用弹性模量也与静载下相同：其强度、刚度和稳克定律仍然适用弹性模量也与静载下相同：其强度、刚度和稳 定性的条件均与静载荷作用下相同，只不过将其

4、公式中的静载荷定性的条件均与静载荷作用下相同，只不过将其公式中的静载荷 与静应力、静变形以与静应力、静变形以动载荷与动应力、动变形动载荷与动应力、动变形代之。代之。 静载荷静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增 加到某一定值不再随时间改变。加到某一定值不再随时间改变。 动载荷动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时 间变化的载荷。间变化的载荷。 本章讨论的问题：本章讨论的问题： i作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； i在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；在冲击载荷下构件的

5、应力和变形的计算； 实验证明：静载荷下服从胡克定律的材料，在动载荷下实验证明：静载荷下服从胡克定律的材料，在动载荷下 只要动应力不超过比例极限，仍然服从胡克定律，而且具只要动应力不超过比例极限，仍然服从胡克定律，而且具 有相同的弹性模量。有相同的弹性模量。 动应力动应力：构件内由于动载荷引起的应力。：构件内由于动载荷引起的应力。 一、作匀加速一、作匀加速直线直线运动构件运动构件 10.1 10.1 匀加速运动构件的应力计算匀加速运动构件的应力计算 惯性力法惯性力法 设有等直杆：长设有等直杆：长L L，截面积，截面积A A, ,比重比重 ，受拉力，受拉力F F 作用作用, ,以等以等 加速度加速

6、度a a 运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。 m a F d q AL Fg gAL F m F a / L F a g A qd 1 x dx 1.1.动静法动静法( (达朗贝尔原理达朗贝尔原理) ) 对作等加速度运动或等速转动构件进行受力对作等加速度运动或等速转动构件进行受力 分析时，可以认为构件的每一质点上作用着分析时，可以认为构件的每一质点上作用着与加与加 速度速度a a方向相反的虚加惯性力方向相反的虚加惯性力, ,其大小等于其大小等于质量与质量与 加速度的乘积加速度的乘积。从而使质点系上的真实力系与虚。从而使质点系上的真实力系与虚 加

7、的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达加的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达 朗贝尔原理即动静法。朗贝尔原理即动静法。 当构件作匀速直线运动时，加速度等于零，当构件作匀速直线运动时，加速度等于零， 惯性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止惯性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止 状态是相同的。对这类运动下的构件，可视为静状态是相同的。对这类运动下的构件，可视为静 载荷的作用。载荷的作用。 例例1 1 一吊车以匀加速度起吊重物一吊车以匀加速度起吊重物Q Q, ,若吊索的横截面积为若吊索的横截面积为A A，材料，材料 比重为比重为 ，上升加速度为，上升加速度为a a，试计算吊索中的应力。

8、，试计算吊索中的应力。 Q a m m x Q x )(xFNd a g Q a g Ax Ax 解解： 惯性力为：惯性力为： a g Ax a g Q ， 吊索截面上的内力：吊索截面上的内力：)(xFNd 根据动静法，列平衡方程：根据动静法，列平衡方程： 0 x F 0)(a g Q Qa g Ax AxxFNd 解得：解得： )1)()( g a QAxxFNd 重物重物与与吊索吊索的重力的重力：AxQ, 吊索中的动应力为：吊索中的动应力为： )1 ()( d g a A QAx A F x Nd 当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截 面上的静荷应力

9、为：面上的静荷应力为： A QAx st 代入上式，并引入记号代入上式，并引入记号 ，称为，称为动荷系数动荷系数，则：，则： g a Kd1 dstd K Q x )(xFNd a g Q a g Ax Ax 于是，动载荷作用下构件的于是，动载荷作用下构件的强度条件强度条件为：为： )( dmaxstmaxd K 式中得式中得 仍取材料在静载荷作用下的许用应力。仍取材料在静载荷作用下的许用应力。 动荷系数动荷系数 的物理意义：的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与是动载荷、动荷应力和动荷变形与 静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡

10、克定律，有以 下重要关系：下重要关系： d K st d st d st d st d d P F K 分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。 式中式中 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移；分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移； dddd ,F stststst ,P 二、匀角速度旋转构件二、匀角速度旋转构件 1.旋转圆环的应力计算旋转圆环的应力计算 一平均直径为一平均直径为D D 的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面 的轴作等角速度转动。已知转速为的轴作等角速度转动。已知转速为 ，截面积为，截面积为A A

11、，比重为，比重为 ，壁，壁 厚为厚为t t。 o d q 2 d 2 g DA a g A q n 解：解： D t o n a 圆环横截面上的内力： o d q Nd F Nd F x y d d 2d D q Dq D qFNd d 0 d sind 2 2 2 2 4 g DA FNd 圆环横截面上的应力： g v g D A FNd 2 2 2 d 4 2 D v 式中 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为： 2 d g v 旋转圆环的变形计算旋转圆环的变形计算 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 ， 则其直径变化 ，径向应变为 D DDD ED DD D D t tr

12、 )( 所以 Eg Dv E DD d 2 )1 ( 2 gE v DDDD 由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。 1 1、计算构件的加速度；、计算构件的加速度； 2 2、将相应的惯性力、将相应的惯性力 作为外力虚加于各质点作为外力虚加于各质点aFgm 动静法解题的步骤：动静法解题的步骤： 3 3、作为平衡问题进行处理。、作为平衡问题进行处理。 例例 如图如图a所示，所示， 一根长一根长l=12 m的的14号工字型钢由两根钢缆号工字型钢由两根钢缆 吊起，并以匀加速度吊起，并以匀加速度a=10 ms-2上升。已知钢缆的横截面面积上升。已知钢缆的

13、横截面面积 A=72mm2，工字钢的许用应力，工字钢的许用应力 =160MPa，试计算钢缆的，试计算钢缆的 动应力，并校核工字钢梁的强度。动应力，并校核工字钢梁的强度。 解：解：1. 计算钢缆内的动应力计算钢缆内的动应力 由型钢表查得，工字钢每米长度由型钢表查得，工字钢每米长度 的重量的重量qst =165.62 Nm-1，抗弯截面系数，抗弯截面系数Wz=16.110-6 m3。根。根 据题意，动荷因数为据题意，动荷因数为 02. 2 8 . 9 10 11 d g a K 工字钢梁在自重作用下的受力图如图b所示 由钢梁的平衡方程Fy=0 ， N7 .993m12mN62.165 2 1 2

14、1 st stN lq F 故钢缆内的动应力为故钢缆内的动应力为 MPa9 .27 m1072 N7 .993 02. 2 26 stdd K 2. 计算梁内最大静应力计算梁内最大静应力 最大弯矩和弯曲正应力发生在跨中截面上 mN7 .99362.165666 2 1 4 st 2 ststNmaxst qqFM MPa7 .61 m101 .16 mN7 .993 36 maxst maxst z W M st q2 st q6 3. 钢梁的强度校核钢梁的强度校核 梁内最大动应力为梁内最大动应力为 160MPaMPa6 .1247 .6102. 2 maxstdmaxd K 结论：钢梁的强度

15、满足要求。结论：钢梁的强度满足要求。 MPa7 .61 maxst 例例 如图所示，等直杆如图所示，等直杆OBOB在水平面在水平面 内绕通过内绕通过O O点并垂直于水平面的点并垂直于水平面的z-zz-z 轴转动。已知角速度为轴转动。已知角速度为，杆横截，杆横截 面积为面积为A A，材料的容重为，材料的容重为，弹性模，弹性模 量为量为E E。试求杆内最大动应力和杆的。试求杆内最大动应力和杆的 总伸长总伸长。 解：解： 求杆内最大动应力求杆内最大动应力 向心加速度为向心加速度为 xan 2 到轴线距离为到轴线距离为x x处杆单位长度上的动载荷为处杆单位长度上的动载荷为 x g A xq 2 d )

16、( 因此，距轴线距离为因此，距轴线距离为x的截面上的轴力为的截面上的轴力为 )( 2 )( 22 22 xl g A xx g A xxqF l x l x Nd dd d )( 2 22 2 xl g A FNd 相应的动应力为相应的动应力为 )( 2 )( 22 2 xl gA F x Nd d 从而可知杆内最大动应力为从而可知杆内最大动应力为 g l 2 22 maxd 求杆的总伸长求杆的总伸长 在在x处取一微段处取一微段dx，其伸长，其伸长d(ld)可根据可根据 胡克定理求得，即胡克定理求得，即 x E x xxld )( d)()(d d dd 于是，杆的总伸长量为于是，杆的总伸长量

17、为 Eg l xxl Eg ll ll 3 d)( 2 )(d 32 22 00 2 dd 直杆单位长度上的直杆单位长度上的动载荷动载荷及杆内及杆内动应力动应力与到轴线的距离之与到轴线的距离之 间的关系如图。间的关系如图。 例例 在如图示的轴上，在如图示的轴上，B端装有一个质量很大的飞轮，其端装有一个质量很大的飞轮，其 转动惯量为转动惯量为Jx=0.5kNms2，转速为，转速为n=100r/min。轴的直径。轴的直径 d=100mm，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的A端端 装有刹车离合器。刹车时使轴在装有刹车离合器。刹车时使轴在10s内均匀减速停止

18、转动。内均匀减速停止转动。 求轴内最大动应力。求轴内最大动应力。 1. 计算轴计算轴AB的载荷的载荷 解解： 轴与飞轮的转动角速度为：轴与飞轮的转动角速度为： (rad/s) 3 10 30 100 30 0 n 刹车时，轴与飞轮的角加速度为刹车时，轴与飞轮的角加速度为： (rad/s) 310 3 10 0 01 t 按动静法得：按动静法得： m)(kN 3 5 . 0 3 5 . 0 d x JM 由平衡方程由平衡方程 0 x M 得得m)(kN 3 5 . 0 df MM 2. 计算轴计算轴AB横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力 任一横截面上的扭矩为：任一横截面上的扭矩为： m)(

19、kN 3 5 . 0 d MT 轴横截面上的最大扭转切应力为：轴横截面上的最大扭转切应力为： MPa69. 2Pa1069. 2 m10100 16 mN10 3 5 . 0 6 3 3 3 P max W T 请思考，若制动时间减为1s或0.1s， d max将如何变化? 任一横截面上的扭矩为：任一横截面上的扭矩为： m)(kN 3 5 . 0 d MTd 轴横截面上的最大扭转切应力为：轴横截面上的最大扭转切应力为： MPa69. 2Pa1069. 2 m10100 16 mN10 3 5 . 0 6 3 3 3 t max W Td d v F a 受冲击受冲击 的构件的构件 冲击物冲击物

20、 冲击问题的特点：冲击问题的特点： 结构（受冲击构件）受外力（冲击结构（受冲击构件）受外力（冲击 物）作用的时间很短，冲击物的速度物）作用的时间很短，冲击物的速度 在很短的时间内发生很大的变化，甚在很短的时间内发生很大的变化，甚 至降为零，冲击物得到一个很大的反至降为零，冲击物得到一个很大的反 向加速度向加速度 ，结构受到冲击力的作用。，结构受到冲击力的作用。 采用采用能量法能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。 10.2 10.2 构件受冲击时的应力构件受冲击时的应力 根据能量守恒定律，即根据能量守恒定律，即 VVT :冲击物接触被冲击物后，速度冲

21、击物接触被冲击物后，速度0 0，释放出的动能，释放出的动能；T :冲击物接触被冲击物后，所减少冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；的势能；V :被冲击构件在冲击物的速度被冲击构件在冲击物的速度0 0时所增加的应变能时所增加的应变能。 e V 计算冲击问题时所作的假设：计算冲击问题时所作的假设： (1)冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物 和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。 (2)不考虑被冲击物的质量，冲击力瞬间传遍构件，不考虑被冲击物的质量，冲击力瞬间传遍构件， 且材料服从胡克定律且材料服

22、从胡克定律 (3)冲击过程中，忽略声、光、热能的转化，即只有冲击过程中，忽略声、光、热能的转化，即只有 势能与动能的转化。势能与动能的转化。 假设：假设： 1. 1. 冲击物为刚体，被冲击物为弹性体。冲击物为刚体，被冲击物为弹性体。 2. 不计冲击过程中的能量损失。不计冲击过程中的能量损失。 3. 3. 被冲击物质量远小于冲击物质量，可略去不计。被冲击物质量远小于冲击物质量，可略去不计。 4 4、冲击载荷和冲击变形仍然满足线弹性关系，即、冲击载荷和冲击变形仍然满足线弹性关系，即 冲击物 动能 T 和势能 V 被冲击物 应变能V 能量守恒 T+V = V 结果偏于安全 st d st dd P

23、F 根据假设，工程实际上的梁、轴、拉根据假设，工程实际上的梁、轴、拉( (压压) )杆均可简化杆均可简化 为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物F F, ,在在 高度高度h h处落下的作用，计算冲击应力。处落下的作用，计算冲击应力。 P h A B P h P h 弹簧弹簧 P h 弹簧弹簧 d 设：受重物设：受重物F F自高度自高度 h h 落下，冲击弹性系统后，落下，冲击弹性系统后， 速度开始下降至速度开始下降至0 0，同时弹簧变形达到最，同时弹簧变形达到最 大值大值 。 d 此时，全部（动）势能转化为应变能，此时，全部（动）势能转化为应变

24、能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就 以此时来计算：以此时来计算： 释放出的动能释放出的动能（以势能的降低来表示）（以势能的降低来表示） )( d hPT 增加的应变能，在弹性极限内增加的应变能，在弹性极限内 dd PV e 2 1 P P F st d d F P 被冲击构件增加的应变能被冲击构件增加的应变能V V ，是等于冲 ，是等于冲 击载荷击载荷 在冲击过程中所作的功。在冲击过程中所作的功。 d F d F ：冲击物速度为：冲击物速度为0时，作用于杆之力。时，作用于杆之力。 st P F dd 于是应变能为于是应变能为 2 ddd 2 1 2

25、1 st P FV 根据能量守恒：根据能量守恒： 根据力和变形之间的关系：根据力和变形之间的关系： dd kF 且且 VT k 可以得到：可以得到： 2 dd 2 1 )( st P hP 即即 022 d 2 d stst h 解得：解得： ststst h2 2 d 式中式中“+”对应的是最大变形，对应的是最大变形，“-”代表的是回跳到的最代表的是回跳到的最 高位置。所以取正值。高位置。所以取正值。 即即 ststst h2 2 d ) 2 11 ( 2 2 st st ststst h h d std K 式中式中 为冲击时的为冲击时的动荷系数动荷系数， d K st h K 2 11

26、d 其中其中 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量）是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。作用下的垂直位移。 st d ddd K P F stst 因为因为 所以冲击应力为所以冲击应力为 st K dd 强度条件为强度条件为 max.max st K dd 因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的 问题时，均可问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静 载荷、静应力、静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系载荷、静应力、静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系 数数，

27、即，即 st K dd 通常情况下，。1 d K st K dd PKF dd st K dd 1.若冲击物是以一垂直速度若冲击物是以一垂直速度v 作用于构件上，则由作用于构件上，则由 可得：可得： ghv2 2 st g v K 2 11 d 关于动荷系数关于动荷系数 的讨论的讨论: d K 2.当当h=0或或v=0时，重物突然放在构件上，此时时，重物突然放在构件上，此时 。2 d K 3. 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关，不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与静位移更与静位移 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件有关。这也是与静应力的根本不同点。构件

28、越易变形，刚度越小，即越易变形，刚度越小，即“柔能克刚柔能克刚”。 d K st st h K 2 11 d 几个冲击实例的计算几个冲击实例的计算 实例实例1 1 等截面直杆的冲击拉伸应力等截面直杆的冲击拉伸应力 L h F 已知：等截面直杆长度为已知：等截面直杆长度为L L，截面积为，截面积为A A， 杆件材料的杨氏模量为杆件材料的杨氏模量为E E，重物，重物Q Q从高从高H H处处 自由落下。自由落下。 解解：静应力和静伸长分别为静应力和静伸长分别为 A F EA FL ， 动荷系数为动荷系数为 PL EAhh K 2 11 2 11 d 冲击应力为冲击应力为 AL hFE A F A F

29、 K 2 )( 2 dd 实例实例2 2 等截面简支梁的冲击弯曲应力等截面简支梁的冲击弯曲应力 已知：梁的抗弯刚度为已知：梁的抗弯刚度为EIEI，抗弯截面系数为，抗弯截面系数为W W。在梁的中点处受到。在梁的中点处受到 重物重物F F从高从高h h处自由下落的冲击。处自由下落的冲击。 解：解：梁中点处的静挠度为梁中点处的静挠度为 EI FL 48 3 A B F h L/2L/2 动荷系数动荷系数 3 96 11 2 11 FL hEIh K d 最大冲击应力为最大冲击应力为 2 2 dmaxdmaxd 6 ) 4 ( 4 4 W AI AL HFE W FL W FL W FL KK A B

30、 F h L/2L/2 k A B F h L/2L/2 k 如果在如果在B支座下加一弹簧，弹性系数支座下加一弹簧，弹性系数 为为k，此时梁中点处的静挠度将变为，此时梁中点处的静挠度将变为 k F EI FL2/ 2 1 48 3 k F EI FL 448 3 即即 增大，动荷系数增大，动荷系数 下降，使下降，使 下降，此即弹簧的缓下降，此即弹簧的缓 冲作用。冲作用。 d K maxd 例例 在如图示的轴上，在如图示的轴上，B端装有一个质量很大的飞轮，其端装有一个质量很大的飞轮，其 转动惯量为转动惯量为Jx=0.5kNms2，转速为，转速为n=100r/min。轴的直径。轴的直径 d=100

31、mm，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的A端端 装有刹车离合器。刹车时使轴在装有刹车离合器。刹车时使轴在10s内均匀减速停止转动。内均匀减速停止转动。 求轴内最大动应力。求轴内最大动应力。 1. 计算轴计算轴AB的载荷的载荷 解解： 轴与飞轮的转动角速度为：轴与飞轮的转动角速度为： (rad/s) 3 10 30 100 30 0 n 刹车时，轴与飞轮的角加速度为刹车时，轴与飞轮的角加速度为： (rad/s) 310 3 10 0 01 t 按动静法得：按动静法得： m)(kN 3 5 . 0 3 5 . 0 d x JM 由平衡方程由平衡方程 0

32、x M 得得m)(kN 3 5 . 0 df MM 2. 计算轴计算轴AB横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力 任一横截面上的扭矩为：任一横截面上的扭矩为： m)(kN 3 5 . 0 d MT 轴横截面上的最大扭转切应力为：轴横截面上的最大扭转切应力为： MPa69. 2Pa1069. 2 m10100 16 mN10 3 5 . 0 6 3 3 3 P max W T 请思考，若制动时间减为1s或0.1s， d max将如何变化? 任一横截面上的扭矩为：任一横截面上的扭矩为： m)(kN 3 5 . 0 d MTd 轴横截面上的最大扭转切应力为：轴横截面上的最大扭转切应力为： MPa6

33、9. 2Pa1069. 2 m10100 16 mN10 3 5 . 0 6 3 3 3 t max W Td d 等圆截面圆轴上有飞轮等圆截面圆轴上有飞轮D，以等，以等 角速度角速度 转动，飞轮的转动惯量转动，飞轮的转动惯量 为为 。由于某种原因在。由于某种原因在B端突然刹端突然刹 车。求此时轴内的冲击应力。车。求此时轴内的冲击应力。 x J 解解：飞轮动能的改变量：飞轮动能的改变量： 轴的应变能轴的应变能 dd TV 2 1 ( 为冲击扭转力矩为冲击扭转力矩) d T 2 2 1 x JT 2 2 2 1 2 x p d J GI LT 解得：解得： L GIJ T px d 2 所以轴内

34、冲击应力为所以轴内冲击应力为 22 2 max t px t px t d d LW GIJ LW GIJ W T AL GJ x 2 （与体积（与体积V=AL有关）有关） 由由 得：得： VT 实例实例3 3 等截面圆轴受冲击扭转时的应力等截面圆轴受冲击扭转时的应力 如果飞轮转速 n=100r/m，转动惯量 J0=0.5kN.m.s2， 轴直径 d=100mm，G= 80GPa，L= 1m，此时： AL GJ x d 2 max 1) 1 . 0( 4 1080105 . 02 30 100 2 93 MPa1057 所以对于转轴，要避免突然刹车。所以对于转轴，要避免突然刹车。 实例实例4

35、4 起重机吊索下端与重物之间有一缓冲弹簧，每单位力引起的起重机吊索下端与重物之间有一缓冲弹簧，每单位力引起的 伸长为伸长为 ，吊索横截面面积，吊索横截面面积 ，弹性，弹性 模量模量 ，所吊重物质量为，所吊重物质量为 Q Q=50kN =50kN 。以等速。以等速 v v =1m/s=1m/s下降，在下降，在L L=20m=20m时突然刹车，求吊索内的应力时突然刹车，求吊索内的应力( (吊索和弹吊索和弹 簧的质量不计簧的质量不计) )。 v L 解：解：根据重物冲击过程中释放的能量根据重物冲击过程中释放的能量(包括动能包括动能 和势能和势能)转化为吊索增加的应变能计算。转化为吊索增加的应变能计算

36、。 吊索和弹簧的静变形：吊索和弹簧的静变形： F EA FL st 在重物的速度在重物的速度v0的同时，的同时，吊索和弹簧的吊索和弹簧的 变形增加变形增加 , ,即动变形为即动变形为 。所以。所以 std =13.48cm m/N105 . 2 6 2 cm6A 211 N/m107 . 1E stst FFv g F F 2 1 2 1 2 1 )( 2 ddd 因为因为 EA L FF C st 1 d d （a） 经过整理，式经过整理，式(a) 变为变为 222 2 1 2 1 2 1 st F Cv g F 解得解得变形增加量为变形增加量为 st st g v 2 吊索和弹簧的最大伸长

37、量吊索和弹簧的最大伸长量 )1 ( 2 max st stst g v d st K d 所以动荷系数为所以动荷系数为 st g v K 2 1 d =1.87 吊索内的应力吊索内的应力 st K dd max A F K d MPa83.155 106 105 87. 1 4 4 如果吊索和重物之间没有弹簧，则如果吊索和重物之间没有弹簧，则 cm98. 0 EA FL st MPa dd 5 .352 max st K 23. 41 2 st g v K d 由此可见弹簧所起的缓冲作用。由此可见弹簧所起的缓冲作用。 水平冲击时的动荷系数计算水平冲击时的动荷系数计算 F F v v L L 解

38、：解：根据能量守恒：冲击过程中释放的根据能量守恒：冲击过程中释放的 动能等于杆件增加的应变能。动能等于杆件增加的应变能。 而而 dd 2 2 1 2 1 FVv g F T (a)(a) EI LF 3 3 d d (b)(b) 设：一重量为设：一重量为F的重物以水平速度的重物以水平速度 v 撞在撞在 直杆上，若直杆的直杆上，若直杆的E E、I I、 均为已知。均为已知。 试求杆内最大正应力。试求杆内最大正应力。 z W 将将式式(b)(b)代入代入式式(a) (a) ： EI LF v g F 32 1 2 1 3 2 d 2 解得：解得： 3 2 d 3 gL EIFv F EI FL g

39、 v F 3 3 2 式中式中 EI FL st 3 3 表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载 荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。 所以所以 FK g v FF st dd 2 即水平冲击时的动荷系数为即水平冲击时的动荷系数为 st d g v K 2 杆内最大动应力为杆内最大动应力为 z W FL KK dstdd max.max (表示水平冲击时假设以冲击物重量大小表示水平冲击时假设以冲击物重量大小 的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点 时，

40、该点沿水平方向的位移。时，该点沿水平方向的位移。) 例例 如图如图a所示立柱长度为所示立柱长度为l ，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI ，下端固定，上端有一柔度系数（单位，下端固定，上端有一柔度系数（单位 力引起的变形）的力引起的变形）的 弹簧连接。如弹簧连接。如 在杆的中部在杆的中部B处受一速度为处受一速度为v的重物的重物W水平水平 冲击。求弹簧的约束力。冲击。求弹簧的约束力。 EI l 2 3 解解： 计算在静载时弹簧的约束力计算在静载时弹簧的约束力 该结构为一次超静定结构，选取如图该结构为一次超静定结构，选取如图b b所示相当系统。所示相当系统。 可求得可求得C端的静位移为端的静位移为 EI

41、 lF EI Wl C 348 5 33 其方向水平向右，而弹簧在其方向水平向右，而弹簧在 作用下，其压缩量为作用下，其压缩量为 C F C F EI l 2 3 根据变形协调条件，则有根据变形协调条件，则有 C C F EI l EI lF EI Wl 2348 5 333 求解上述方程可得求解上述方程可得 8WFC 计算冲击点的静位移计算冲击点的静位移 在在B截面受集中力截面受集中力W和和C端受约束力端受约束力W/8共同共同 作用下，利用求弯曲变形的任一种方法，可求得冲击点作用下，利用求弯曲变形的任一种方法，可求得冲击点B处的静位移处的静位移 为为 EI Wl 384 11 3 st 求冲击系统的动荷系数求冲击系统的动荷系数 因是水平冲击，则动荷系数为因是水平冲击，则动荷系数为 3 2 st 2 st d d 11 384 gWl EI g K 计算在冲击时弹簧的约束力计算在冲击时弹簧的约束力 3 2 3 2 dd 11 6 811 384 gl EIWW gWl EI FKF CC 动荷系数 当冲击物作质点运动冲击被冲击物时， 将被冲击物的冲击应力和冲击变形处理为 “可类比静载问题”的应力和变形扩大Kd倍， 称Kd为动荷系数。若能求解“可类比静载问 题”及动荷系数Kd，即可得到被冲击物的冲 击应力