矩阵的条件数

1、第二章 向量范数与矩阵范数 2.4 矩阵的条件数 考虑线性方程组 它有准确解为: 如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的 变化，得 它有准确解: ，可以看出，方程 组的解变化非常大。 1 2 268 26.000018.00001 x x (1,1)Tx 1 2 268 25.999998.00002 x x (10, 2)Tx 定义定义1：设设 ，|.|是是Cnxn上的一个矩上的一个矩 阵范数阵范数.矩阵矩阵A的的条件数条件数定义为定义为 n n n AC 1 cond( )AA A 常用的条件数有：常用的条件数有： 1 cond ( )AAA 1 1 1 1 cond ( )AAA 1

2、1 2 2 2 1 cond ( ) ( ) n H H n AAA A A A A 是的最大特征值， 是的最小特征值 常用的条件数有：常用的条件数有： 11 2 2 2 1 cond ( ) (max,min, ) n ini i AAA A = 是 的特征值 例例1： cond ( )A 123 233 345 A cond( )1A 1 cond( )=cond()AA cond()=cond( ),0,.kAA kkC 2 222 cond ()=1 cond ()=cond ()=cond ( ) U UAAUA cond()cond( )cond( )ABAB 11 1 2 111

3、 1 231 1 111 121 n n n Hn ij nnn 4 24 7 26 10 28 cond (H )=1.5514 10 cond (H )=1.4951 10 cond (H )=1.525 10 注：当矩阵当矩阵A十分病态时，就说明十分病态时，就说明A已十分接已十分接 近一个奇异矩阵。近一个奇异矩阵。 26 26.00001 A det( )0.00002A 1 300000.5300000 100000100000 A 1 6 cond ( ) 8.00001 600000.5 4.8 10 AAA 定理定理1 设设 是一个可逆矩阵，是一个可逆矩阵， 是一个矩阵，是一个矩

4、阵，|.| 是是Cnxn上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数. 若若 则则 可逆，且有可逆，且有 111 11 () 1 AAAAA AAA 1 1AA n n n AC n n AC AA 推论推论1 设设 ， 若存在若存在Cnxn上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数|.| 使得使得 则有则有 11 1 () cond( ) 1 cond( )() AAA AA AA A A A 1 1AA n n n AC n n AC 定理定理2 设设 ， ， 而而Cn上的向量范数上的向量范数 与与Cnxn上的矩阵范上的矩阵范 数数|.| 相容相容.设设x是线性方程组是线性方程组Ax=b的解，的解， 是是 线性

5、方程组线性方程组 的解的解 若若 ，则，则 x n n n AC n n AC n bC ()AA xbb 1 1AA cond( ) 1 cond( )() cond( ) 1 cond( )() xxA A AxA A A b A Ab A A 定理定理3 设设 ， ， 而而Cn上的向量范数上的向量范数 与与Cnxn上的矩阵范上的矩阵范 数数|.| 相容相容.若向量若向量 分别满足分别满足Ax=b， ，则有，则有 , n x xC n n n AC , n b rC Axbr 1 cond( ) cond( ) rxxr A Abxb 0 11 ,0 1 1 A 1 cond( )()AO 3 33 10 0,0 01 i AiiACbC i ()AA xb x 4 2 2 10 xx x 2 2