试验设计与数据处理

1、应 用 数 理 统 计 1.5.3 异常值的检验异常值的检验 整理数据时，发现几个偏差特别大的可疑数据，称为异整理数据时，发现几个偏差特别大的可疑数据，称为异 常值。常值。 一般处理原则为：一般处理原则为： n在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因， 及时纠正错误及时纠正错误 n在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则 应对数据进行应对数据进行统计处理统计处理；若数据较少，则可重做一组数据；若数据较少，则可重做一组数据 n对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选

2、对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选 用的统计方法用的统计方法 1.5.3.1 拉依达（拉依达（ ）检验法）检验法 内容：内容： 可疑数据可疑数据xp ，若，若 32 p xxss或 则应将该试验值剔除。则应将该试验值剔除。 说明：说明： n计算平均值及标准偏差计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内时，应包括可疑值在内 n 3s相当于显著水平相当于显著水平 0.01，2s相当于显著水平相当于显著水平 0.05 Pauta n可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数首先检验偏差最大的数 n剔除一个数后，如果还要检验

3、下一个数剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平，应重新计算平 均值及标准偏差均值及标准偏差 n方法简单，无须查表方法简单，无须查表 n该检验法适用于试验次数较多或要求不高时该检验法适用于试验次数较多或要求不高时 3s3s为界时，要求为界时，要求n n1010 2s2s为界时，要求为界时，要求n n5 5 （2）格拉布斯（）格拉布斯（Grubbs）检验法）检验法 内容：内容： 可疑数据可疑数据xp ，若，若 则应将该值剔除。则应将该值剔除。 (, )n G Grubbs检验临界值检验临界值 ( , ) p pn dxxGs 格拉布斯（格拉布斯（Grubbs）检验临界值）检验临界值G(

4、 ,n)表表 说明：说明： n计算平均值及标准偏差计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内时，应包括可疑值在内 n可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数首先检验偏差最大的数 n剔除一个数后，如果还要检验下一个数剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平，应重新计算平 均值及标准偏差均值及标准偏差 n能适用于试验数据较少时能适用于试验数据较少时 n格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小，或两个数据格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小，或两个数据 偏大的情况偏大的情况 例例1-131-13用容量瓶法测定某样品中的锰，用容

5、量瓶法测定某样品中的锰，8 8次平行测定数据为次平行测定数据为 ：10.29,10.33,10.38,10.40,10.43,10.46,10.52,10.8210.29,10.33,10.38,10.40,10.43,10.46,10.52,10.82（% % ），试问是否有数据应该剔除？（），试问是否有数据应该剔除？（=0.05=0.05） n解：（解：（1）检验）检验10.82 该组包括可疑值在内的平均值该组包括可疑值在内的平均值 =10.45,其中其中10.82的偏差的偏差 最大，故首先检验该值。最大，故首先检验该值。 计算包括可疑值在内的计算包括可疑值在内的8个数据的平均值个数据的平

6、均值 =10.45， s=0.16；查表得；查表得 所以所以 则则 故故10.82这个测定值应该被剔除。这个测定值应该被剔除。 03.2 )8 ,05.0( G x x 32. 016. 003. 2 )7 ,05. 0( sG 32. 037. 045.1082.10 xxd pp n（2）检验10.52 剔除10.82后，重新计算平均值 及标准偏差s:该组包 括可疑值在内的平均值 =10.40,s=0.078.这时， 10.52与平均值的偏差最大，所以应该检验10.52. 查表得 所以 则 故10.52不应该被剔除，由于剩余数据的偏差都比 10.52小，所以都应保留。 x 94.1 )7

7、,05.0( G 15.0078.094.1 )7 ,05.0( sG 15.012.040.1052.10 xxd pp x （3）狄克逊（）狄克逊（Dixon）检验法检验法 单侧情形单侧情形 n将将n个试验数据按从小到大的顺序排列：个试验数据按从小到大的顺序排列： x1x2xn-1xn 如果有异常值存在，必然出现在两端，即如果有异常值存在，必然出现在两端，即x1 或或xn n计算出统计量计算出统计量D或或D n查查单侧临界值单侧临界值 1 ( )Dn 检验高端值检验高端值xn时，当时，当 1 ( )DDn 时，可剔除时，可剔除xn n 检验检验 检验低端值检验低端值x1时，当时，当 时，可

8、剔除时，可剔除x1 1 ( )DDn 双侧情形双侧情形 n计算计算D和和 D n查双侧临界值查双侧临界值 n 检验检验 当当 DD 1 ( )DDn ，判断判断 n x为异常值为异常值 当当 DD 1 ( )DDn ，判断判断 1 x为异常值为异常值 数据 个数n 检验高端异常值检验高端异常值检验低端异常值检验低端异常值 37 810 1113 1430 1 1 nn n xx D xx 21 1 n xx D xx 1 2 nn n xx D xx 21 11 n xx D xx 2 2 nn n xx D xx 31 11 n xx D xx 2 3 nn n xx D xx 31 21

9、n xx D xx 统计量统计量D和和D计算公式计算公式 说明说明 n适用于试验数据较少时的检验，计算量较小适用于试验数据较少时的检验，计算量较小 n单侧检验时，单侧检验时，可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数 据据 n剔除一个数后，如果还要检验下一个数剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新排序，应重新排序 例1-15 设有15个误差测定数据从小到大的顺序排列为：- 1.40，-0.44,-0.30,-0.24,-0.22,-0.13,- 0.05,0.06,0.10,0.18,0.20,0.39,0.48,0.63,1.01。试分析其中 有无数据

10、应该被剔除？（=0.05） n解：本例可以应用狄克逊双侧情形检验 对于1.01和-1.40，n=15,计算 当=0.05，对于双侧问题，查出临界值 =0.565，由于 DD,且D ,故判断最小值-1.40应该被剔除。 406. 0 30. 001. 1 48. 001. 1 315 1315 3 2 xx xx xx xx D n nn 585. 0 40. 148. 0 40. 130. 0 113 13 12 13 xx xx xx xx D n n剔除-1.40之后，对剩余的14个值(n=14)进行双侧检验： 当=0.05，对于双侧问题，查出临界值 =0.586，由 于DD,且D ,故不

11、能继续检验出异常值，判断异常 值只有-1.40。 424. 0 24. 001. 1 48. 001. 1 314 1214 3 2 xx xx xx xx D n nn 217. 0 44. 048. 0 44. 024. 0 112 13 12 13 xx xx xx xx D n 1.7 误差的传递误差的传递 n误差的传递：根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差的传递：根据直接测量值的误差来计算间接测量值的 误差误差 1.7.1 误差传递基本公式误差传递基本公式 间接测量值间接测量值y与直接测量值与直接测量值xi之间函数关系之间函数关系 ： 12 12 . n n fff dydxd

12、xdx xxx 12 12 . n n fff yxxx xxx 全微分全微分 n函数或间接测量值的绝对误差为：函数或间接测量值的绝对误差为： 1 n i i i f yx x 1 n i i i xyf yxy n相对误差为：相对误差为： i f x 误差传递系数误差传递系数 i x 直接测量值的绝对误差；直接测量值的绝对误差； y 间接测量值的绝对误差或称函数的绝对误差。间接测量值的绝对误差或称函数的绝对误差。 各项分误差之和各项分误差之和 n函数标准误差传递公式：函数标准误差传递公式： 22 1 () n yi i i f x 22 1 () n yi i i f ss x 1.7.2

13、常用函数的误差传递公式常用函数的误差传递公式 表表1-4 例例1-16 一组等精度测量值一组等精度测量值 ，它们的算术平均值为，它们的算术平均值为 ，试推导出，试推导出 标准误差的表达式。标准误差的表达式。 n解：解：由算术平均值的定义知：由算术平均值的定义知： 误差传递系数为误差传递系数为 则算术平均值的绝对误差为则算术平均值的绝对误差为 算术平均值的标准误差为算术平均值的标准误差为 由于是等精度测量，它们的标准误差相同，即由于是等精度测量，它们的标准误差相同，即 ，所以算术平，所以算术平 均值的标准误差为均值的标准误差为 n xxx,., 21x x n xxx x n . 21 ni n

14、x x i ,.,2,1, 1 n x x i n i 1 2 1 2 n n i i x i n x 1.7.3 误差传递公式的应用误差传递公式的应用 （1）根据各分误差的大小，来判断间接测量误差的主要来）根据各分误差的大小，来判断间接测量误差的主要来 源和大小：源和大小： 例例1-17 （2）根据间接测量值允许的最大误差，反过来计算出直接）根据间接测量值允许的最大误差，反过来计算出直接 测量的误差限，进而选择合适的测量仪器或方法：测量的误差限，进而选择合适的测量仪器或方法： 例例1-18 例例1-17 测量静止流体内部某处的静压强测量静止流体内部某处的静压强 ，计算公式为，计算公式为 式中

15、式中 液面上方的大气压，液面上方的大气压，Pa； 液体的密度，液体的密度， 重力加速度，取重力加速度，取 已知某次测量中，已知某次测量中， 试求试求p的最大绝对误差、最大相对误差。的最大绝对误差、最大相对误差。 n解：各直接测量变量的绝对误差为解：各直接测量变量的绝对误差为 n根据静压强根据静压强p的计算公式的计算公式 ，各变量的误差传递系数，各变量的误差传递系数 为为 )(Papghpp a a p mh)001. 0020. 0( 33 /10)005. 000. 1 (mkg Pa10)002. 0987. 0( 5 a p h mhmkgpa001. 0,/10005. 0,Pa100

16、02. 0 335 ghpp a 3 / mkg 2 /81. 9sm 33 1081.981.91000.1 20.0020.081.9 1 g h p gh p p p a n根据误差传递公式，最大误差公式为根据误差传递公式，最大误差公式为 n又又 n所以真值所以真值 n最大相对误差为最大相对误差为 n所以真值也可以表示为所以真值也可以表示为 Pa102 001. 01081. 910005. 020. 010002. 01 2 335 h h pp p p p p a a Paghpp a 435 109 . 9020. 081. 91000. 110987. 0 %2 . 0102 1

17、09 . 9 102 3 4 2 ）（ p p Pa1002.019 .9 4 ）（ t p Pa10)02. 09 . 9( 4 t p 例例1-18 要配制要配制1000mL浓度为浓度为0.5mg/mL 的某试样溶液，已知体积测量的绝对误的某试样溶液，已知体积测量的绝对误 差不大于差不大于0.01mL，欲使配制的溶液浓度的相对误差不大于，欲使配制的溶液浓度的相对误差不大于0.1%，问在配制溶液，问在配制溶液 时称量所允许的最大误差应是多大。溶液浓度的计算公式为时称量所允许的最大误差应是多大。溶液浓度的计算公式为 其中其中c为为 溶液浓度（溶液浓度（mg/mL），），W为试样质量（为试样质量（mg），），V为