运筹十[春苗教育]

1、管理与人文学院管理与人文学院 忻展红忻展红 1999，4 第十章第十章 存储理论存储理论 Inventory Theory Inventory Theory 平抑波动，保障供给平抑波动，保障供给 1优讲借鉴 存储理论存储理论 (Inventory Theory) 与排队现象一样，存储是一种常见的社会和日常现象与排队现象一样，存储是一种常见的社会和日常现象 平抑波动，保障供给平抑波动，保障供给 两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用 起源于物资管理和生产过程控制起源于物资管理和生产过程控制 经典存储理论和现代经典存储理论和现代物流管理物流管理 经

2、典研究最佳订货周期和订货量经典研究最佳订货周期和订货量 现代研究如何将存储降至最低，减少和优化物流环节，如现代研究如何将存储降至最低，减少和优化物流环节，如 JIT，MRPII，Supply Chain 现代物流管理的原因现代物流管理的原因 产品个性化、地皮价格暴涨、专业化生产、信息系统、商产品个性化、地皮价格暴涨、专业化生产、信息系统、商 业信誉业信誉 本章只介绍经典存储理论的基础本章只介绍经典存储理论的基础 2优讲借鉴 10.1 存储系统、费用和管理存储系统、费用和管理 存储过程通常包括三个环节：订购进货、存储和供给需求存储过程通常包括三个环节：订购进货、存储和供给需求 存储系统的中心可视

3、为仓库，如下图存储系统的中心可视为仓库，如下图 对对存储系统而言，外部存储系统而言，外部需求一般是需求一般是不可控不可控的因素，但可以的因素，但可以 预测；总体上需求可分为预测；总体上需求可分为确定型确定型的和的和随机型随机型的的 但但订购时间订购时间和和订购量订购量一般是一般是可控可控的因素。问题是：什么时的因素。问题是：什么时 间订货，一次订多少？间订货，一次订多少？ 仓库仓库 (库存量)(库存量) 订购进货订购进货供给需求供给需求 输入输入输出输出 备运期备运期：从订购单发出到物资运到入库这段时间：从订购单发出到物资运到入库这段时间 备运期可能是确定型的，也可能是随机型的备运期可能是确定

4、型的，也可能是随机型的 几种相关的费用几种相关的费用 订购费订购费：包括联系、质检、运输、入库等与订购数量无：包括联系、质检、运输、入库等与订购数量无 关的一次性费用关的一次性费用 物资单价物资单价：是否与时间有关？是否与批量有关？：是否与时间有关？是否与批量有关？ 3优讲借鉴 存储费存储费：包括保管费、仓库占用费、流动资金利息、存：包括保管费、仓库占用费、流动资金利息、存 储损耗费等，与时间和数量成正比储损耗费等，与时间和数量成正比 缺货损失费缺货损失费：两种形式，停产形成的真正损失；商店断：两种形式，停产形成的真正损失；商店断 货形成的机会损失货形成的机会损失 存储策略存储策略：确定订货的

5、间隔时间和订购量：确定订货的间隔时间和订购量 定期补充法定期补充法：以固定的时间间隔订货，每次订货要把储：以固定的时间间隔订货，每次订货要把储 量恢复到某种水平。简单但容易造成缺货或积压量恢复到某种水平。简单但容易造成缺货或积压 定点补充法定点补充法：当存货量下降到某点就订货，每次的订货：当存货量下降到某点就订货，每次的订货 量可以是固定的。称为量可以是固定的。称为(s, S)策略，策略，s 代表代表订货点订货点，S 代代 表最大储量，因此表最大储量，因此订货量订货量为为 Q=S s。要监视订货点。要监视订货点 分类管理法分类管理法：按照占用流动资金的多少或总的存储费的大：按照占用流动资金的多

6、少或总的存储费的大 小将存储物资分为三类，如下表所示。第一类是管理重点，小将存储物资分为三类，如下表所示。第一类是管理重点， 第二类适当控制，第三类大体估算，可多存一些以免缺货第二类适当控制，第三类大体估算，可多存一些以免缺货 60 % 以上以上510 % 2030 % 6070 % 1520 % 10 % 以下以下 占总资金的占总资金的 %占全部品种的占全部品种的 % 第一类第一类 第二类第二类 第三类第三类 4优讲借鉴 10.2 确定型存储模型确定型存储模型 备运期和需求量都是确定性的称为备运期和需求量都是确定性的称为确定型模型确定型模型，若其中有一，若其中有一 个是随机的，则称为个是随机

7、的，则称为随机型模型随机型模型。本节只介绍确定型模型。本节只介绍确定型模型 10.2.1 不允许缺货模型不允许缺货模型 模型假设模型假设 单位时间的需求量为常数单位时间的需求量为常数 D (称为称为需求率需求率) 备运期为备运期为 0；不允许缺货；各种参数均为常数；不允许缺货；各种参数均为常数 设订货量为设订货量为 Q，订货周期为，订货周期为 t，需求率为，需求率为 D 一次订购费为一次订购费为 Cd，单位物资单位时间的存储费为，单位物资单位时间的存储费为 Cs 定性分析定性分析 每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加 订购费；每次订购

8、量大，则存储费用大，但订购次数减订购费；每次订购量大，则存储费用大，但订购次数减 少，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期少，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期 定量分析定量分析 每次订购量每次订购量 Q=Dt(1) 平均储量平均储量 = 0.5Q 5优讲借鉴 不允许缺货模型的推导不允许缺货模型的推导 可比性原则可比性原则 单位相同，时间相同；目标函数的含义相同单位相同，时间相同；目标函数的含义相同 由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期 Q 不同，周期长度不同，周期长度 t 也不同，因此目标函数应为也不同，因此目标函数应为单

9、位时单位时 间内的总费用间内的总费用 )2( 2 1 2 1 )(QC Q DC QC t C QC s d s d 单位时间的存储费单位时间的存储费单位时间平均订购费单位时间平均订购费 单位时间内总费用单位时间内总费用 单位时间内总费用是订货量单位时间内总费用是订货量 Q 的非线性函数的非线性函数 t ttt Q 1/2Q 储量储量 平均平均 存量存量 6优讲借鉴 不允许缺货模型的推导不允许缺货模型的推导 由由 C(Q) 曲线可见曲线可见 Q0 点使点使 单位时间总费用最小，称单位时间总费用最小，称 为为经济订货量经济订货量 (Economic Order Quantity, E.O.Q)

10、根据根据 (2)式求经济订货量式求经济订货量 Q0，对，对 C(Q) 求导求导 )5(2)( )4( 2 ,)1( )3( 2 0 2 1)( 0 0 0 0 2 sd s d s d s d CDCQC DC C t Q C DC Q C Q DC dQ QdC 得得式式代入代入将将 解得解得 Q Q0 QCs 2 1 Q DCd )(QC 7优讲借鉴 不允许缺货模型的及点说明不允许缺货模型的及点说明 1、没有考虑物资单价、没有考虑物资单价 若物资单价与时间和订购量无关，为常数若物资单价与时间和订购量无关，为常数 k，则单位时，则单位时 间内的物资消耗费用为间内的物资消耗费用为 ) ,(均均

11、无无关关与与tQkD Q kQD t kQ 2、若备运期不为零，、若备运期不为零，(3)(4)(5)式仍成立式仍成立 设备运期设备运期 L 为常数为常数，则可得订货点则可得订货点 s=LD，Q0 和和 t0 都不变都不变 t tt Q 1/2Q 储量储量 平均平均 存量存量 L s 3、灵敏度分析、灵敏度分析 设实际订购量设实际订购量 Q=rQ0，r 为一比例常数为一比例常数 8优讲借鉴 则实际订购量的平均总费用为则实际订购量的平均总费用为 )6( 1 2 1 )( )( )( 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 )()( 0 0 0 0 0 0 r r QC rQC QC r r C

12、DCrCDC r rQC rQ DC rQCQC dsds s d 当当 r 由由 0.5 增大到增大到 2 时时 25. 125. 1 )( )( 0 0 QC rQC 当当 r=1.1 比值仅为比值仅为 1.0045，可见灵敏度很低可见灵敏度很低 9优讲借鉴 例例1 某工厂生产载波机需电容元件，正常生产每日需某工厂生产载波机需电容元件，正常生产每日需600个，每个，每 个存储费个存储费 Cs =0.01 元元/周，订购费每次为周，订购费每次为 Cd =50 元，问元，问：(1)经经 济订货量为多少？济订货量为多少？(2)一年订购几次？一年订购几次？(一年按一年按 52 周计周计)，(3)

13、一一 年的存储费和订购费各是多少？年的存储费和订购费各是多少？ 解解： 以周为时间单位，每周按以周为时间单位，每周按 5 天计，则天计，则 D=5 600=3000个个/周周 (1)由由(3)式得式得 )(5477 01. 0 50300022 0 个个 s d C DC Q )(48.288257. 1/52 )(8257. 1 3000 5477 )2( 0 0 次每年订购次数 周 D Q t 元元每年存储费约为每年存储费约为 元元每年订购费约为每年订购费约为 142454770.01520.5 14245048.28 )3( 10优讲借鉴 10.2.2 允许缺货模型允许缺货模型 允许缺货

14、，但到货后补足允许缺货，但到货后补足 缺货，故仍有缺货，故仍有 Q=Dt Q 为订货量，为订货量，q 为最大缺为最大缺 货量货量；t 是订货周期，是订货周期，t1 是是 不缺货期不缺货期， t2 是缺货期；是缺货期； 最大存储量为最大存储量为 H=Q q Cq 为单位缺货损失为单位缺货损失费费，其其 它费用参数符号同不允许它费用参数符号同不允许 缺货模型缺货模型 Q qQ tt qQ D q t D qQ t 22 2 1 21 平均储量平均储量 缺货时间缺货时间不缺货时间不缺货时间 t t t1 q H 储量储量 Q t2 0 Q CqQ s 2 )( 2 单位时间存储费单位时间存储费 11

15、优讲借鉴 Q Cq tCt q Q DC q q d 22 2 2 单位时间缺货费单位时间缺货费 单位时间订购费单位时间订购费 故单位时间平均总费用为故单位时间平均总费用为 将将 q 代入代入(7)式，得式，得 )7( 22 )( ),( 2 2 Q Cq Q CqQ Q DC qQC q sd 先对先对 C(Q, q) 对对 q 求偏导，并令导数为求偏导，并令导数为 0 Q CC C q Q qC Q CqQ q C qs s q s 0 )( 解得解得 12优讲借鉴 )8( 2 2 22 )( 0 22 q qs s d qs q ss ds d q qs ss qs q C CC C D

16、C Q CC C CC Q DCQC Q DC QC CC CQC CC C QC )10( )9()(2 00 0 DQt CCCCDCq qsqsd 最优订货周期最优订货周期 最优缺货量最优缺货量 )11(2),( 00 qs q sd CC C CDCqQC 最小费用最小费用 由于由于 Cq / (Cs+Cq)1，故允许缺货是有利的，是松弛问题，故允许缺货是有利的，是松弛问题 拆借现象，商店中的期货拆借现象，商店中的期货 Cq ，退化为不允许缺货模型，退化为不允许缺货模型 13优讲借鉴 例例：某公司经理一贯采用不允许缺货的经济批量公式确定订货批：某公司经理一贯采用不允许缺货的经济批量公式

17、确定订货批 量，因为他认为缺货虽然随后补上总不是一件好事。但由于激量，因为他认为缺货虽然随后补上总不是一件好事。但由于激 烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已知对该公司烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已知对该公司 所售产品的需求为所售产品的需求为 200件件/季度，每次的订货费用为季度，每次的订货费用为150元，存元，存 储费为储费为 3元元/件件.年，发生缺货的损失费为年，发生缺货的损失费为 5元元/件件.季度，试分析：季度，试分析： (a)计算采用允许缺货策略较之不允许缺货策略每年节省的费用；计算采用允许缺货策略较之不允许缺货策略每年节省的费用； (b)该公司为保持一定信

18、誉，规定缺货量不得超过订货总量的该公司为保持一定信誉，规定缺货量不得超过订货总量的 15%，且任何一名顾客等待补货的时间不超过，且任何一名顾客等待补货的时间不超过 3周，问允许缺周，问允许缺 货的最优策略能否满足要求？货的最优策略能否满足要求？ 解解：D=800件件/年，年，Cd150元，元，CS3元元/件件.年，年， Cq20元元/件件.年。年。 (a) 不允许缺货策略不允许缺货策略 Q0=283件，件，C(Q0)=848.53； Cq/Cq+CS1/2 =0.9325；允许缺货策略；允许缺货策略 Q0=303件，件，C(Q0)=791.25； (b) CS/Cq+CS =0.13043；最

19、大缺货量；最大缺货量 q040件，故缺货比例为件，故缺货比例为 40/303=13.2%；最长缺货等待时间为；最长缺货等待时间为 t2q0 /D=40/800(年年) =18.25天天D ；Q =K t1为生为生 产期总产量产期总产量； t2 为转产期，为转产期， t = t1 + t2 为生产周期，为生产周期， H 最大存储量最大存储量 Cd 这里称为这里称为准备费准备费 2 )( 22 )( 2121 1 D Q ttQ KD DK D H t K Q t Q k CDK Q k DKH Q K DK tDKH s 单位时间平均存储费单位时间平均存储费 平均储量平均储量 最大存量最大存量

20、t t t1 H 储量储量 Q t2 0 15优讲借鉴 Q DC t C dd 单位时间平均准备费单位时间平均准备费 故单位时间平均总费用为故单位时间平均总费用为 KD，C(Q0)0， Q0 (长期合同长期合同) 正是正是 JIT 无仓储生产的道理无仓储生产的道理 K，退化为不允许缺货模型退化为不允许缺货模型 K DKC C QC Q DC K QCDK Q DC QC s s sdsd )( )12( 22 )( )( 直接应用不允许缺货模型的公式直接应用不允许缺货模型的公式(3)，得，得 )14(12)( )13( 22 0 0 KDCDCQC DK K C DC C DC Q sd s

21、d s d 16优讲借鉴 10.2.4 两种存储费，不两种存储费，不允许缺货模型允许缺货模型 自有仓库容量不够，需要租自有仓库容量不够，需要租 用仓库用仓库 t1 租用仓库存储时间；租用仓库存储时间；t2 自自 有仓库存储时间有仓库存储时间，t = t1 + t2 =Q/D 为订货周期为订货周期 W 为自有仓库容量为自有仓库容量 Cr 为租用仓库存储费率，且为租用仓库存储费率，且 Cr Cs ，所以先用，所以先用租用仓库租用仓库 Q DC t C Q WQQ A Q B Q WQ t t WQA D WQ t dd 平均订购费平均订购费 自有仓库的平均储量自有仓库的平均储量 租用仓库的平均储量

22、租用仓库的平均储量 租用仓库存储时间租用仓库存储时间 2 )( 22 2 )( )( 2 1 2 2 1 1 t t t1 W 储量储量 Q t2 0 17优讲借鉴 故单位时间平均总费用为故单位时间平均总费用为 Cr，Q0wW Cr=Cs 时时，退化为不允许缺货模型退化为不允许缺货模型 )15( 2 )( )( 2 )( 2 Q WQ CC QC Q DC BCAC Q DC QC sr sd sr d 对对(15)式导式导，解极值点，解极值点 )16(1 2 0 2 )( )( 2 2 0 2 2 2 r s r d w sr sd C C W C DC Q Q WQ Q WQ CC C Q

23、 DC dQ dC )17( 2 )16( 0 才有效才有效式只有当式只有当 s d C DC QW 18优讲借鉴 10.2.5 不不允许缺货，批量折扣模型允许缺货，批量折扣模型 物资单价与购买批量有关。物资单价与购买批量有关。 设共有设共有 n 个批量等级，等个批量等级，等 级越高，批量越大，单价级越高，批量越大，单价 越低越低 令令 Kj 代表第代表第 j 级的批量单级的批量单 价；价；Mj 代表该批量的最小代表该批量的最小 一次订购量，即一次订购一次订购量，即一次订购 量量 在区间在区间 Mj , Mj+1) 内，内， 享有单价享有单价 Kj ，有，有Kj i 例例2 某工厂每月需要某种

24、零某工厂每月需要某种零 件件 2000件，已知每件每月件，已知每件每月 存储费为存储费为 0.1 元，一次订购元，一次订购 费为费为 100元。一次订购量与元。一次订购量与 零件单价关系如下：零件单价关系如下： 件件元元 件件元元件件 件件元元件件 件件元元件件 /05. 1 5000 /10. 150003000 /15. 130001000 /20. 110000 4 3 2 1 KQ KQ KQ KQ Q0 C C1(Q) M2M3Q0 C2(Q) C3(Q) M1 20优讲借鉴 解解：(1)不考虑单价，计算经济订货量不考虑单价，计算经济订货量 月月元元总费用为总费用为件件最佳经济订货量

25、最佳经济订货量答答 月月元元 求最佳经济订货量求最佳经济订货量 月月元元 月月元元 四批量段的总费用下界四批量段的总费用下界计算第三计算第三 月月元元 落在第二批量段内落在第二批量段内 件件 /2390 ,5000 : /23902390, 7 .2416,2500min)( )3( /2390 200005. 1 5000 1002000 1 . 05000 2 1 )5000( /7 .2416 20001 . 1 3000 1002000 1 . 03000 2 1 )3000( ,)2( /2500200015. 11 . 010020002)( , 2000 1 . 0 100200

26、022 4 3 02 0 0 m mi s d Q QC C C QC Q C DC Q 21优讲借鉴 10.3 多阶段存储模型多阶段存储模型 是一种动态规划是一种动态规划 可以用网路图来表示可以用网路图来表示 用最短路解法用最短路解法 10.4 随机型存储模型随机型存储模型 10.4.1 报童问题报童问题 在合同期，邮局每日定量向在合同期，邮局每日定量向“报童报童”供应报纸，但购买报供应报纸，但购买报 纸的顾客是随机的。报纸当日出售，一份可得纯收入纸的顾客是随机的。报纸当日出售，一份可得纯收入 a 角角 钱，若过期销售，每份亏损钱，若过期销售，每份亏损 b 角钱。如何确定日进货量使角钱。如何

27、确定日进货量使 合同期收入最大？合同期收入最大？(忽略订购费忽略订购费) 供大于求：折价处理的损失相当存储费供大于求：折价处理的损失相当存储费 b 供小于求：机会损失，相当缺货损失费供小于求：机会损失，相当缺货损失费 a 由于需求是随机的，因此应使总的期望损失最小由于需求是随机的，因此应使总的期望损失最小 22优讲借鉴 设设 Q 为每日定货量，常数；为每日定货量，常数；x 为每日需求量，随机变量为每日需求量，随机变量 x 为离散随机变量，为离散随机变量，P(x) 为分布函数为分布函数 则每日损失则每日损失 C(Q) 为为 )1()()()()()( )( )( )( 10 Qx Q x xPQ

28、xaxPxQbQCE QxxQb QxQxa QC 期望损失期望损失 当当 Q0 为最优值时，应满足下两式为最优值时，应满足下两式 )5()()1()()1()1( )4()()1()()1()1( )1( )3()1()( )2()1()( 2 1 0 2 1 0 00 00 Qx Q x Qx Q x xPQxaxPxQbQCE xPQxaxPxQbQCE QCEQCE QCEQCE 式可写出式可写出由由 23优讲借鉴 将将(4),(1)式代入式代入(2)式，解不等式，可得式，解不等式，可得 ba a xP Q x 0 )( 故故 Q0 满足下式时，总期望损失满足下式时，总期望损失 EC(

29、Q0) 最小最小 将将(5),(1)式代入式代入(3)式，解不等式，可得式，解不等式，可得 ba a xP Q x 1 0 )( )6()()( 0 1 0 Q x Q x xP ba a xP a/(a+b) 称为称为临界比临界比。P(x)已知，通过求累积概率可得已知，通过求累积概率可得 Q0 0)()( )( )()()()()( ,)( , 0 0 Q Q Q Q dxxfadxxfb dQ QCdE dxxfQxadxxfxQbQCE xfx则则为其概率密度函数为其概率密度函数为连续随机变量为连续随机变量当当 24优讲借鉴 例例2 设报纸零售商出售一份报纸的净收入为设报纸零售商出售一份

30、报纸的净收入为 a=1角，售不出去角，售不出去 时，每份亏损时，每份亏损 b=3角，已知需求量角，已知需求量 x 的概率分布如表，求：的概率分布如表，求： (1)零售商应订多少份报纸才能使纯收入期望值最高？纯收零售商应订多少份报纸才能使纯收入期望值最高？纯收 入期望值是多少？入期望值是多少？(2)当当 a=b=2角角时，应订多少？纯收入期时，应订多少？纯收入期 望值为多少？望值为多少？(3)只订只订 30份，纯收入期望值为多少？份，纯收入期望值为多少？ )7()( 0)()( )( 0 0 ba a dxxf dxxfadxxfb dQ QCdE Q Q Q 解得解得 需求量需求量 x3031

31、323334353637 P(x)0.05 0.08 0.15 0.20 0.30 0.12 0.07 0.03 P(x)0.05 0.13 0.28 0.48 0.78 0.90 0.97 1.00 解解：(1) a/(a+b)=0.25，查表可知，查表可知 Q=32。期望净收入为。期望净收入为 角角28.31)08. 005. 02(431)()32()13(132 31 30 x xPx (2) a/(a+b)=0.5，查表可知，查表可知 Q=34。同理期望净收入为。同理期望净收入为64.24角角 (3)显然期望净收入为显然期望净收入为 2 30=60角角(最保守的决策最保守的决策) 2

32、5优讲借鉴 情报的价值情报的价值 需求量需求量 x3031323334353637 P(x)0.05 0.08 0.15 0.20 0.30 0.12 0.07 0.03 P(x)0.05 0.13 0.28 0.48 0.78 0.90 0.97 1.00 假设假设 P(x) 是市场需求的真实分布是市场需求的真实分布 完全情报指完全情报指100%可靠，因此，在完全情报下的决可靠，因此，在完全情报下的决 策：按情报订购策：按情报订购 但是在事先研究的情况下，我们只能假定获得需但是在事先研究的情况下，我们只能假定获得需 求求x的情报的概率就等于它出现的概率的情报的概率就等于它出现的概率P(x)

33、因此，全情报的期望收入为：因此，全情报的期望收入为： 37 30 30 0.0531 0.0832 0.1533 0.2 2 34 0.335 0.1236 0.0737 0.03 66.82 x axP x 26优讲借鉴 10.4.2 随机需求存储模型随机需求存储模型 II 缓冲储备量缓冲储备量 缓冲储备量缓冲储备量 t 0 B s Q t2t2 E(y) y y t2=t2备运期备运期 s 为订货点，备运期为订货点，备运期 t2 为常数，为常数， 备运期内总需求为随机变量备运期内总需求为随机变量 y 已知已知 y 的概率分布的概率分布 P(y)，有备运，有备运 期期 总需求的期望值总需求的期望值 1 )()( y yyPyE s y yPR 0 )( 备运期内不缺货的概率为备运期内不缺货的概率为 备运期内缺货的概率为备运期内缺货的概率为 1 R 若给定若给定 R 很高，则订货点很高，则订货点 s 提高，当提高，当 s E(y)，就出现了缓冲储，就出现了缓冲储 备量备量 B， 有有 B = s E(y)，即即订货点订货点 s =