材料力学 第三章 扭 转

1、 3-1 概概 述述 工程上有一些直杆，在外力作用下，其变形是横截面绕工程上有一些直杆，在外力作用下，其变形是横截面绕 着杆轴线转动，这种变形称为着杆轴线转动，这种变形称为扭转扭转。以扭转为主要变形的杆。以扭转为主要变形的杆 件称为件称为轴（轴（shaft）。 外力特点：外力特点：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于外力是一平衡力偶系，作用在垂直于 杆轴线的平面内。杆轴线的平面内。 变形特点：变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对转动，任所有横截面绕杆轴线作相对转动，任 意两横截面之间产生相对角位移，称为意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角扭转角， 用用j j表示；纵向线也随之转过一角度表示；纵向

2、线也随之转过一角度g g。 T T 1 1. 扭矩用扭矩用Mx表示，单位：表示，单位：Nm, kNm。 2 2. 符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截 面外法线方向，与其余面外法线方向，与其余4指转向相同的扭矩为正，指转向相同的扭矩为正， 反之为负。反之为负。 3 3. 计算方法：截面法计算方法：截面法 扭矩图扭矩图 以平行于杆轴线的坐标为以平行于杆轴线的坐标为x坐标，表示横截面坐标，表示横截面 的位置；以垂直于杆轴线的坐标为的位置；以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，表示坐标，表示 各横截面扭矩各横截面扭矩Mx的大小，画出的图形称为的大小，画出的图形称

3、为扭矩图扭矩图。 例例 画出如图所示圆轴的扭矩图。画出如图所示圆轴的扭矩图。 T3T TT 123 32 1 ABCD 3-2 圆杆扭转时的应力圆杆扭转时的应力 一、横截面上的应力一、横截面上的应力 O Mx r T T 周线周线 纵线纵线 周线周线 纵线纵线 1 1. 变形几何关系变形几何关系 （1 1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2 2）所有的纵线都转过了同一角度）所有的纵线都转过了同一角度g g。 a b c d dx a b c d dx TT 周线周线 纵线纵线 a b c d dx （

4、1 1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变， 绕杆轴线相对转动。绕杆轴线相对转动。 （2 2）所有的纵线都转过了同一角度）所有的纵线都转过了同一角度g g。 平面假设：平面假设：横截面变形后仍为平面，并如同刚片一样仅横截面变形后仍为平面，并如同刚片一样仅 绕杆轴线做相对转动，其上任一半径始终保持为直线。绕杆轴线做相对转动，其上任一半径始终保持为直线。 dx c r a b O d O c d dj j g g g g f e c d d c 周线周线 纵线纵线 a b c d dx f e g dj j dx g g tang g = = =

5、ee dx g g = = dj j dx = = dj j dx dx c r a b O d O c d dj j g g f e g g f e g 2 2. 物理物理关系关系 切应变发生在垂直于半径的切应变发生在垂直于半径的 平面内，从而切应力也垂直平面内，从而切应力也垂直 于半径。于半径。 根据实验得到，在弹性范围内根据实验得到，在弹性范围内 =G 剪切胡克定律剪切胡克定律 g G为切变模量为切变模量 c d d c 横截面上切应力的分布规律横截面上切应力的分布规律 Mx o =G 3 3. 静力学关系静力学关系 o Mx dA r dA Mx= dA A Mx= G2 dA A d

6、j j dx A dj j dx G2dA dj j dx =G A 2dA A dj j dx G2dAMx dj j dx G dj j dx Mx G = Mx = max Mxr = Mx r G 二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算 1. 1. 实心圆截面实心圆截面 A 2dA d 4 32 d 3 16 dA=2d A 2dA = 22d 0 d/2 d d o r 2. 2. 空心圆截面空心圆截面 D d o d D 4 32 D 4 32 d 4 32 D 3 16 3.3.薄壁圆环截面薄壁圆环截面 3 0P 2 rI = r0 D d d0 o 2

7、 0P 2 rW = 例例 直径为直径为50mm的传动轴。电动机通过的传动轴。电动机通过A轮输入功率，轮输入功率， 由由B、C和和D轮输出。已知轮输出。已知A、B、C和和D轮所受力偶矩分别为轮所受力偶矩分别为 TA= =3.18kNm，TB=1.43kNm，TC= =0.80kNm，TD=0.95kNm。 （1 1）作轴的扭矩图）作轴的扭矩图,(2,(2）求轴的最大切应力。）求轴的最大切应力。 Mx /kNm x + - - 1.43 1.75 0.95 解：解：1.1.作扭矩图作扭矩图 2.2.最大切应力最大切应力 Mx /kNm x + - - 1.43 1.75 0.95 2.2.最大切

8、应力最大切应力 mkN75.1 max = x M 16 05. 014. 3 16 33 P = d W MPa4 .71 105 .24 1075. 1 6 3 P max max = = W M x 36 m105 .24 = 解：解： 各横截面上扭矩均为各横截面上扭矩均为Mx=T=10kN m （1 1）实心圆截面）实心圆截面 d T T D/2 T T D 34 3933 P m1096. 1 16 m10)100(14. 3 16 = = d W 例例 直径直径d =100mm的实心圆轴，两端受力偶矩的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kNm作作 用，求横截面上的最大切应力。若改用内、

9、外直径比值为用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大切应力是多少？的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大切应力是多少？ MPa0 .51N/m100 .51 m1096. 1 mN1010 26 34 3 P max max = = W M x d T T 34 3933 P m1096. 1 16 m10)100(14. 3 16 = = d W （1 1）实心圆截面）实心圆截面 （2 2）空心圆截面）空心圆截面 D/2 T T D )1 ( 44 1 2 2 2 = D d mm115=D 344 393 4 3 P m108 . 2)5

10、 . 0(1 16 m10)115(14. 3 )1 ( 16 = = D W MPa7 .35N/m107 .35 m108 . 2 mN1010 26 34 3 P max max = = W M x MPa0 .51N/m100 .51 m1096. 1 mN1010 26 34 3 P max max = = W M x 实心：实心： 空心：空心： 由面积相等，且内、外直径比由面积相等，且内、外直径比 =0.5 =0.5 例例 两空心圆轴，两空心圆轴，横截面面积相等，横截面面积相等，内、外直径比值内、外直径比值 分别为分别为0.6和和0.8，在相同扭矩作用下，在相同扭矩作用下，问哪一个

11、的最大切问哪一个的最大切 应力大？应力大？ 0.6D1 T T D1 0.8D2 T T D2 G1 G2 d 2d G2 G1 Mx (b) dx dy dz 三、切应力互等定理三、切应力互等定理 x dx (a) o o ( dydz)dx =( dxdz)dy = 扭转圆轴纵截面上切应力？扭转圆轴纵截面上切应力？ 切应力互等定理：切应力互等定理：在任何受力杆在任何受力杆 件中，过件中，过一点一点相互相互垂直垂直的两个截面上，的两个截面上， 垂直于两截面交线的切应力大小相等，垂直于两截面交线的切应力大小相等， 并共同指向或背离这两面的交线。并共同指向或背离这两面的交线。 这是材料力学中普遍

12、适用的一个定理这是材料力学中普遍适用的一个定理dx dy dz o o = 3-3 圆杆扭转时的变形圆杆扭转时的变形扭转超静定问题扭转超静定问题 dj j dx Mx G dj jdx j j = = dj j Mxdx G MxG Mxl G j j = = 例例 图示钢制实心圆截面传动轴。已知：图示钢制实心圆截面传动轴。已知：T1 =0.82kNm， T2 =0.5kNm， T3 =0.32kNm，lAB=300mm， lAC=500mm。 轴的直径轴的直径d=50mm，钢的切变模量，钢的切变模量G=80GPa。试求截面。试求截面C相相 对于对于B的扭转角。的扭转角。 解解: : AB、A

13、C两轴段的扭矩分别两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kNm， Mx2 =0.32kNm。 T2T1 T3 d BAC lAClAB T2T1 T3 d BAC lAClAB T1T3 d AC lAC AC P 2 GI lM ACx AC =jrad0033. 0 05. 0 32 1080 5 . 0320 49 = = Mx1=0.5kNm Mx2 =0.32kNm lAC=500mm G=80GPa d=50mm T2T1 T3 d BAC lAClAB T2T1 T3 d BAC lAClAB Mx1=0.5kNm Mx2 =0.32kNm lAB=300mm G=80GPa d=50m

14、m AC AB P 1 GI lM ABx AB =j rad00310.= rad0002. 0= ABACBC jjj 49 050 32 1080 30500 . . = 二、扭转超静定问题二、扭转超静定问题 杆在扭转时，如支座反力仅用静力平衡方程不能求出，杆在扭转时，如支座反力仅用静力平衡方程不能求出， 这类问题称为这类问题称为扭转超静定问题。扭转超静定问题。 其求解方法与拉压超静定问题类似。其求解方法与拉压超静定问题类似。 ABC T ab TA TB ABC T ab TA TB 变形协调条件变形协调条件 A、B两固定端两固定端, , CA与与CB 的的 数值相等。数值相等。 PP

15、 1 GI aT GI aM Ax CA =j PP 2 GI bT GI bM Bx CB =j 故故 BA T a b T = 从而从而 TTT BA =平衡方程平衡方程 T ba b TA =T ba a TB = 思考题：思考题： 横截面面积相同的空心圆杆与实心圆杆，它们的强横截面面积相同的空心圆杆与实心圆杆，它们的强 度、刚度哪一个大？但工程中为什么使用实心杆较多？度、刚度哪一个大？但工程中为什么使用实心杆较多？ 3-4 扭转时材料的力学性能扭转时材料的力学性能 由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得T- j j 曲线曲线 TMrr x = 00 )2( 2

16、 0 2 r T = jg 0 rl = jg l r0 = 故可得故可得 - -曲线曲线 r0 =G剪切胡克定律剪切胡克定律 E、G、v的关系的关系 )1 (2 = E G p 剪切比例极限剪切比例极限 s 剪切屈服极限剪切屈服极限 可得切应力强度极限可得切应力强度极限b 3-5 扭转圆杆的强度计算和刚度计算扭转圆杆的强度计算和刚度计算 一、强度计算一、强度计算 等直圆杆扭转时的强度条件为等直圆杆扭转时的强度条件为 式中式中Mxmax 是危险截面上的扭矩。是危险截面上的扭矩。 P W M xmax max = 三方面的强度计算：三方面的强度计算：校核强度校核强度、设计截面设计截面和和容许力偶

17、矩容许力偶矩。 max Mxmax WP Mxmax WP Mxmax WP = u n u 极限切应力极限切应力 对于脆性材料对于脆性材料u=b 对于塑性材料对于塑性材料u=s =（0.5-0.60.5-0.6） 塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 =（0.8-1.00.8-1.0） 容许切应力容许切应力 例例 直径为直径为50mm的实心传动轴。电动机通过的实心传动轴。电动机通过A轮输入轮输入 功率，由功率，由B、C和和D轮输出。已知轮输出。已知A、B、C和和D轮所受力偶轮所受力偶 矩分别为矩分别为TA= =3.18kNm，TB=1.43kNm，TC= =0.80kNm， TD=0.95kN

18、m, =75MPa。 （1 1）作轴的扭矩图）作轴的扭矩图,(2,(2）校核轴的切应力强度。）校核轴的切应力强度。 d 解：解： （1 1）轴的扭矩图）轴的扭矩图 Mx 1.43 (kNm) 0.95 1.75 - + - d （2 2）校核轴的切应力强度校核轴的切应力强度 AC段截面扭矩绝对值最大段截面扭矩绝对值最大 Mx 1.43 (kNm) 0.95 1.75 - + - 轴的最大切应力轴的最大切应力 MPa3 .71N/m103 .71 m 16 05. 0 mN1075. 1 26 3 3 3 P max max = = W M x kNm =75MPa 故该轴满足切应力强度要求。故

19、该轴满足切应力强度要求。 Mxmax GIp max 等直圆杆扭转的刚度条件为等直圆杆扭转的刚度条件为 精密机器：精密机器： 一般传动轴：一般传动轴： 钻杆：钻杆： =(0.150.3)=(0.150.3)o o / /m =(0.32.0)=(0.32.0)o o / /m =(2.04.0)=(2.04.0)o o / /m 例例 一传动轴如图一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力所示。设材料的容许切应力 =40MPa，切变弹性模量，切变弹性模量G=810MPa，杆的容许，杆的容许 单位长度扭转角单位长度扭转角= =0.20/m。试求轴所需的直径。试求轴所需的直径。 解：（解：（1

20、 1）轴的扭矩图）轴的扭矩图 Mx (kNm) 3.5 7 + + Mx (kNm) 3.5 7 + + 36 6 3 p mm101750 Pa1040 mN107 = =. max x M W max max = p W M x mm96 mm1017501616 3 36 3 = = . P W d max max = p GI M x 4745 164 3 p mm10512m10512 m 180 2010108 mN107 = = . . max Pa G M I x mm126 105123232 4 7 4 P = = .W d 4745 164 3 p mm10512m105

21、12 m 180 2010108 mN107 = = . . max Pa G M I x Mx (kNm) 3.5 7 + + 综合考虑，应取综合考虑，应取d=126mm 例例 直径直径D=100mm的轴，由两段联接而成；联接处加凸的轴，由两段联接而成；联接处加凸 缘，并在缘，并在D0=200mm的圆周上布置的圆周上布置8个螺拴紧固，如图个螺拴紧固，如图3-153-15所所 示。已知轴在扭转时的最大切应力为示。已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa；螺栓的容许切；螺栓的容许切 应力应力=60MPa，试求螺拴所需直径，试求螺拴所需直径d。 解：解： = = 8 1i iir FT 0Q 4DT

22、F/= 16 3 P D WT maxmax = kN117 164 0 3 Q . max = = D D FF 则 = 2 Q Q Q 4 d F A F mm119 1060 101174 4 6 3 Q . . = = F d 3-6 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转 变形特征翘曲变形特征翘曲 非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生 翘曲（翘曲（warping）。）。 自由扭转：自由扭转：两端自由的非圆截面直杆，受一对外力偶矩扭转时，两端自由的非圆截面直杆，受一对外力偶矩扭转时， 各横截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力

23、。各横截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力。 约束扭转：约束扭转：若杆端存在约束或杆的各横截面扭矩不同，扭转若杆端存在约束或杆的各横截面扭矩不同，扭转 后各横截面上翘曲程度不同，横截面上除有切应力外，还有后各横截面上翘曲程度不同，横截面上除有切应力外，还有 附加正应力。附加正应力。 由约束扭转产生的附加正应力，在实体截面杆中很小，由约束扭转产生的附加正应力，在实体截面杆中很小， 可忽略不计；但在薄壁截面杆中不能忽略。可忽略不计；但在薄壁截面杆中不能忽略。 角点切应力等于零角点切应力等于零; ; 边缘各点切应力边缘各点切应力 沿切线方向沿切线方向; ; 最大切应力发生最大切应力发生 在长

24、边中点。在长边中点。 1 max b h 一、矩形截面杆一、矩形截面杆 （2 2）切应力和单位长度扭转角的计算）切应力和单位长度扭转角的计算 最大切应力最大切应力 短边中点的切应力短边中点的切应力 单位长度杆的扭转角单位长度杆的扭转角 、为与为与h/ /b有关的系数。有关的系数。 h和和b分别为矩形截面的长边和短边；分别为矩形截面的长边和短边； T W M x = max max g= 1 T GI M x = 3 T bW= 4 T bI= 1 max b h 对于狭长矩形截面对于狭长矩形截面)(10= h m 最大切应力最大切应力 单位长度杆的扭转角单位长度杆的扭转角 2 T 3 h M W M xx = max 3 T 3 Gh M GI M xx = 二、开口薄壁截面杆二、开口薄壁截面杆 = = n i ii x i h G M 1 3 3 i n i ii