第7章《平面图形的认识(二)》考点+易错15页

1、第7章平面图形的认识(二)考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 和平移有关的图形周长、面积计算【考点解读】本考点解题时，一般运用平移的性质(如:连接平移前后对应点的线段的长等于平移的距离)来解决有关图形的周长、面积计算问题.例1 如图所示是重叠的两个直角三角形，将直角三角形沿方向平移到.如果cm，cm，cm，那么图中阴影部分的面积为 cm2.分析:阴影部分是一个梯形，用我们目前所学的知识无法求出该梯形的上、下底和高，因而不能运用梯形的面积公式求其面积.注意到是由经过平移得到的，因此，即，于是 (cm2).答案:26【规律技法】本题考查平移的性质:经过平移，对应点所连的线段平行(或在同一条直线

2、上)且相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等.解题的关键是找到平移的对应点.【反馈练习】1. (2018苏州期中)如图，将沿方向平移2 cm得到.若的周长为16 cm，则四边形的周长为( )A. 16 cm B. 18 cm C. 20 cm D. 22 cm点拨:由平移的性质可知cm，.2. (2018扬州期末)如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长m，宽m，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小路的宽均为1 m，那么小明沿着小路的中间从出口到出口所走的路线(图中虚线)长为 m.点拨:分别求出小明横向和纵向移动的距离即可.考点2 利用平行线的性质

3、和三角形内角和定理求角度大小【考点解读】本考点解题时要熟练掌握平行线的性质与三角形内角和定理，这是解题的基础，要善于分解图形，即将较复杂的图形分解出“两条平行线被第三条直线所截”与“三角形”的图形，然后分析各角之间的联系.例2 (2017重庆)如图，是上一点，平分交于点，求的度数.分析:由互补的性质求出的度数，由角平分线的定义得出的度数，再由平行线的性质即可求出的度数.解答:因为，所以.因为平分，所以.因为，所以.【规律技法】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.例3 (2017宁波)已知直线，将一块含30角的直角三角尺按如图方式放置()，其中两点分别落在直线上.若，则的度数

4、为( ) A. 20 B. 30 C. 45 D. 50分析:如图，因为，所以.因为，所以.答案:D【规律技法】平行线的性质:两直线平行，同位角相等;两直线平行，内错角相等;两直线平行，同旁内角互补.【反馈练习】3.如图，已知，交于点，于点.若，则 .点拨:先由得到，再根据三角形内角和定理计算得出即可.4.如图，已知直线，若，则 .点拨:过点作直线或直线的平行线，从而把分成两个角，根据“两直线平行，内错角相等”可得.考点3 多边形的内角和公式【考点解读】在理解的基础上熟记多边形的内角和公式，并明确可以根据公式由多边形的边数求得这个多边形的内角和，也可以由多边形的内角和求得这个多边形的边数.例4

5、 (2017云南)若一个多边形的内角和为900，则这个多边形是( ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形分析:设这个多边形的边数为.由多边形的内角和公式，得，解得.故这个多边形是七边形.答案:C【规律技法】本题考查了多边形的内角和公式的应用，将已知数据代入求解即可.例5 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080，那么原多边形的边数为( ) A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9分析:设内角和为1 080的多边形的边数是.由题意，得，解得.故原多边形的边数为7或8或9.答案:D【规律技法】已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题来解决.【

6、反馈练习】5. (2018无锡期末)如果一个多边形的每一个外角都等于60，那么这个多边形一定是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形点拨:每一个外角都等于60，则每一个内角都等于120.设这个多边形是边形，则可得方程，解方程即可.本题也可根据“多边形的外角和为360”求解.6.下面的多边形中，内角和为540的是( )点拨:由多边形的内角和公式得出内角和为540的多边形的边数即可.考点4 三角形的三边关系【考点解读】“三角形的任意两边之和大于第三边”是解决问题的理论依据，在实际应用时，可以根据“较小两边之和是否大于最大边”来判断.例6 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周

7、长为( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20分析:因为题中没有指明底边和腰的长，所以分类讨论如下:当4为腰长时，4+4=8，故此种情况不存在;当8为腰长时，符合题意.综上可知此三角形的周长为8+8+4=20.答案:C【规律技法】当题目中的条件没有明确说明时，需分类讨论考虑所有情况，并验证每种情况是否成立.例7 已知，为三角形的三边长，且，满足，则第三边长的取值范围是 .分析:由题意，得，解得.因为，所以.答案: 【规律技法】(1)当几个非负数的和为0时，这几个非负数都等于0;(2三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【反馈练习】7. (2018南京期末)已知一个等

8、腰三角形的两边长分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为 .点拨:根据腰长和底边长的不同分类讨论，再排除其中不能成立的结果即可.8. (2018扬州期末)如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是( ) A. 10 B. 11 C. 16 D. 2 6点拨:先求出第三边长的取值范围，再取其中的偶数即为第三边长.考点5 三角形中的重要线段【考点解读】三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，尤其三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分，为计算线段的长度、角的度数、三角形的周长和面积都起到很大的作用.例8 如图，已

9、知.(1)画的中线，高.判断与的面积是否相等，说明理由;(2)画中边上的高和中边上的高，并利用(1)的结论说明：.分析:先画出中线和高，注意钝角三角形的高的画法;在图中，利用是和的公共高且，即可判断，在图中，根据可得，所以.解答:(1) 的中线，高如图所示. 与的面积相等，理由如下:因为边上的中线，所以.因为，所以.(2) 的高和的高如图所示.因为所以，所以.【规律技法】(1)三角形的中线平分三角形的面积;(2)等底等高的三角形的面积相等.【反馈练习】9.如图，是的两条角平分线，若，则 .点拨:三角形的三条角平分线交于同一点.10.如图，为的中线，为的中线. (1)在中作边上的高; (2)若的

10、面积为60，求点到边的距离.点拨:三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.易错题辨析易错点1 平行线的判定张冠李戴例1 如图，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是( )A. B. C. D. 错误解答:A，B或D 错因分析: 和是直线被直线所截形成的内错角，由可得;和是直线被直线所截形成的内错角，由可得;与是直线被直线所截形成的内错角，由可得;与是直线被直线所截形成的同旁内角，由可得.找错直线关系会导致判断错误.正确解答:C易错辨析:实际判定时，一定要分清哪两条直线被哪一条直线所截.易错点2 在复杂图形中找不到基本图形例2 如图，直线分别和直线相交于点，平分，平分.若，你能说明和也平行吗?

11、错误解答:因为平分，所以.因为平分，所以.因为，所以，所以，所以.错因分析:能在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角和同旁内角，是运用平行线的判定和性质的前提;认清同位角、内错角和同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线，而和不是直线被某条直线所截得的同位角，错解由于找错了同位角而导致错误.正确解答:因为平分， 所以. 因为平分， 1_.所以.因为，所以，所以.因为，是直线被直线所截得的同位角，所以.易错辨析:在运用平行线的性质或判定时，要正确认识“三线八角”.易错点3 找错平移前后图形对应点例3如图，线段经过平移有一端点到达点，画出线段平移后的线段.错误解

12、答:错因分析:平移是由平移的方向和距离决定的，本题中未指明哪一端点(还是)移动到点，故应有两种情况，即点平移到点或点平移到点.正确解答:如图，线段的位置有两种情况:当点平移到点时，则点在点的下方，因此图中的线段即为所求当点平移到点时，则点在点的上方，因此图中的线段即为所求.易错辨析:本题没有明确平移前后图形的对应点，应分情况作图.易错点4 忽略条件不明确引起的分类讨论例4 已知等腰三角形的周长为16 cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为4 cm的两个三角形，求该等腰三角形的各边长.错误解答:设等腰三角形中，腰上的中线把分成和，所以和的周长之差等于与的长度之差，所以cm.设cm，则cm，

13、所以，解得，所以cm，cm.错因分析:本题由于分析时考虑欠周密而导致漏掉cm这种情况，虽然这种情况不存在，但必须经过分析说明.同时，由题意画出图形，以便思考和书写解题过程，这是正确的解题方法，但本题的错解中也忽略了这一步骤.正确解答:设等腰三角形中，是中线. 如图，若cm，设cm，则cm，所以，解得.所以cm，cm，符合题意.如图，若cm，设cm，则cm，所以，解得.所以cm，cm.因为边长为4 cm，4 cm，8 cm的三条线段不能构成三角形，所以这种情况不成立.综上所述，这个等腰三角形的三边长分别为cm，cm，cm.易错辨析:当题目中未给出明确图形时，需根据实际情况分类讨论，避免漏解.易错

14、点5 误用多边形内角和公式导致错误例5 已知多边形的内角和是900，求这个多边形的边数.错误解答:因为，所以这个多边形的边数为5.错因分析:误以为多边形的内角和公式是.正确解答:因为，所以多边形的边数为7.易错辨析:多边形的内角和公式是.反馈练习1.若一个多边形的每个内角均为120，则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形点拨:用两种方式表示内角和，列方程求解.2.已知三角形的两边长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( ) A. 5 B. 6 C. 12 D. 16点拨:根据三角形的三边关系判断.3.如图，在中，于点，于点，是 的平分线，则图中与相等的角(不

15、包含)的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6点拨:通过两直线平行得到同位角相等且内错角相等.4.一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180，求这个多边形的边数及内角和的度数.点拨:通过多边形内角和公式列方程求解.5.如图，已知，点E在射线上，且，. (1)求的度数; (2)若平行移动，则的值是否随之变化?若变化，找出规律或求出其变化范围;若不变，求出这个比值.点拨:(1)根据平行线及角平分线的性质解答;(2)根据平行线的性质可得出，.探究与应用探究1 过一点作已知直线的平行线例1 如图，两点在河的同一侧，点在河的另一侧，为了求得的度数，过两点分别引两条平行线，测得，.请你计算

16、的度数.点拨:若过点作的平行线，则根据平行线的性质，与的度数都可求出，这样可把的度数转化为与度数的差.解答:如图，过点作.因为，所以.因为，所以，所以，所以.因为，所以.规律提示 1.当已知和未知的转化不明显时，常常通过作辅助线的方法加以解决，过一点作已知直线的平行线是平行问题中常见的作辅助线的方法.2.条件和结论相反，其说理过程也相反.【举一反三】1.如图，已知，若，则 .探究2 无具体角度的计算及说明例2 如图，点在上，分别平分，.若，求的度数.点拨:由题意，得.由及分别平分，可知.解答：因为，平分， 所以. 同理. 因为， 所以，所以，所以.规律提示分析主要从以下两个方面进行：(1)由因

17、导果，即从已知条件出发推出相应结论;(2)执果索因，即要得到结论需具备什么条件.【举一反三】2.如图，已知，和分别平分和.你能得到吗?请说明理由.探究3 与三角形中线有关的面积计算例3 如图，的三条中线交于点.若，求图中阴影部分的面积.点拨:根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可知的面积为阴影部分面积的3倍.解答:因为的三条中线交于点，所以，所以.因为，所以.同理可得.因为，所以，所以.规律提示 求三角形面积的有关结论和方法:三角形一边上的中线把三角形的面积分成相等的两部分;利用三角形边与高的关系，即抓住等底同高或同底等高;三角形的重心把三角形的中线分为1:2两部分(重心到顶点的距

18、离占2份).【举一反三】3.如图，分别是的边的中点，连接.若cm2，则的面积为( ) A. 4 cm2 B. 6 cm2 C. 8cm2 D. 12 cm2 探究4 多边形的内角和定理的综合运用例4 如图，.(1)试说明: ;(2)若，求的度数.点拨:(1)根据三角形的内角和定理和补角的性质，用和表示出，再根据整理可得证;(2)根据三角形的内角和定理和补角的性质，用和表示出，再根据整理可得，最后利用三角形的内角和定理求解.解答:(1)在中，.因为，所以.因为，所以.(2)在中，.因为，所以.因为，所以.因为，所以.因为，所以.规律提示在三角形中证角相等或求角度，要充分利用三角形的内角和定理.【举一反三】4.如图，试说明:.例5 如图，已知，求的度数.点拨:说明，得出四个角之间的关系.解答:如图，延长交于点.因为，所以.因为，所以，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.规律提示复杂图形中角的计算一般通过添加辅助线，将图形转化成常见的多边形，然后运用多边形的内角和定理求