不定积分与定积分复习课PPT学习教案

1、会计学1 不定积分与定积分复习课不定积分与定积分复习课PPT课件课件 设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界， 记记,max 21n xxx ，如 如果果不不论论对对,ba 在在,ba中中任任意意插插入入 若若干干个个分分点点 0121nn axxxxxb 把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为 1 iii xxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取 一一点点 i （ ii x ），作作乘乘积积 ii xf )( ), 2 , 1( i 定义定义 1 1、定积分的概念与性质定积分的概念与性质 1 () n ii i Sf

2、x 并并做做和和 怎怎样样的的分分法法， b a Idxxf)( ii n i xf )(lim 1 0 被积函被积函 数数 被积表达式被积表达式 积分变量积分变量 积积分分区区间间,ba 也也不不论论在在小小区区间间, 1ii xx 上上 点点 i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于 确定的极限确定的极限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf 在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为 积分上限积分上限 积分下限积分下限 积分和积分和 注意：注意： （1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， b a dxxf

3、)( b a dttf)( b a duuf)( （2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的的取法是任意的. （3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时， 而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关. 称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积. 定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限 定积分的思想和方法：定积分的思想和方法： 分割分割化整为零化整为零 求和求和积零为整积零为整 取极限取极限精确值精确值定积分定积分 求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变） 取极限取极限 b a dxxgxf)(

4、)( b a dxxf)( b a dxxg)(. （此性质可以推广到（此性质可以推广到有限多个有限多个函数作和的情况）函数作和的情况） 性质性质1 1 线性性质线性性质 则则0)( dxxf b a . . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf， 性质性质2 2 单调性质单调性质 则则dxxf b a )( dxxg b a )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，推论：推论： 设设M及及m分分别别是是函函数数 )(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值， 推论：推论： 则则 )()()(abMdxxfabm b a . .

5、 性质性质3 3 绝对值不等式绝对值不等式 dxxf b a )(dxxf b a )(.)(ba b a dxxf)( b c c a dxxfdxxf)()(. 补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba, 性质性质4 4 区间可加性区间可加性 性质性质5 5 积分中值定理与均值公式积分中值定理与均值公式 ( ) ( )( )( ) bb aa f x g x dxfg x dx 如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续， 使使dxxf b a )()(abf . . )(ba 积分均值公式积分均值公式 (993 ( )( )( )

6、 A( )( ) B( )( ) C( )( ) D( )( ) f xF xf x f xF x f xF x f xF x f xF x 年年数数一一，分分) ) 设设是是连连续续函函数数，是是的的原原函函数数，则则 （ ）当当是是奇奇函函数数时时，必必是是偶偶函函数数； （ ）当当是是偶偶函函数数时时，必必是是奇奇函函数数； （ ）当当是是周周期期函函数数时时，必必是是周周期期函函数数； （ ）当当是是单单调调增增函函数数时时，必必是是单单调调增增函函数数 ( )( ) ( )( ) ( )(0)0 (A) f xf x f xf x f xf 导导函函数数、原原函函数数以以及及奇奇偶偶

7、性性的的关关系系： 为为奇奇函函数数的的导导函函数数与与原原函函数数都都是是偶偶函函数数 为为偶偶函函数数的的导导函函数数一一定定是是奇奇函函数数 的的原原函函数数只只有有满满足足才才是是奇奇函函数数 (054( )( ) A( )( ) B( )( ) C( )( ) D( )( ) F xf x MN MN F xf x F xf x F xf x F xf x 年年数数一一，分分) ) 设设是是连连续续函函数数 的的一一个个原原函函数数，“”表表示示 的的充充分分必必要要条条件件是是，则则必必有有 （ ）是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数 （ ）是是奇奇函函数数是是偶偶函函数数 （ ）是是

8、周周期期函函数数是是周周期期函函数数 （ ）是是单单调调函函数数是是单单调调函函数数 (A)理理由由同同上上题题 (094 ( ) 1,3 yf x 年年数数一一，分分) ) 设设函函数数在在区区 间间上上的的图图形形为为 0 ( )( )d x F xf tt 则则函函数数= =的的图图形形为为: : x 12 O ( )f x 1 3 1 2 1 x 12O ( )F x 1 3 1 (A) x 12 O ( )F x 1 3 1 (B) x 12 O ( )F x 1 3 1 (C) x 12 O ( )F x 1 3 1 (D) 12 3 123213 312231 (973 , (

9、)0 ( )0( )0 ( )( )() 1 ( )( ) () 2 AB CD b a a b f xfxfx Sf x dxSf b ba Sf af bba SSSSSS SSSSSS 年年数数一一，分分) ) 设设在在区区间间上上 ， 令令 , , ， ，则则 （ ） ；（ ） （ ） ；（ ） ( )0 ( )0( fx fx 函函数数单单调调减减少少 凹凹) )弦弦( (割割线线) )在在函函数数上上方方 1 2 3 ( ) ( )() 1 ( )( ) () 2 b a Sf x dx ABCD Sf b ba ABCE Sf af bba ABCD , , 曲曲边边梯梯形形面面

10、积积 ， 矩矩形形面面积积 ， 梯梯形形面面积积 213 (B) SSS x y ab D CE AB O ( )f x 0 (074( ) 3, 22,3 2,00,2 ( )( )d 35 A(3)(-2)B(3)(2) 44 35 C( 3)(2)D( 3)(-2) 44 x yf x F xf tt FFFF FFFF 年年数数一一，分分) ) 如如图图，连连续续函函数数在在区区间间 ，上上的的图图形形分分别别是是直直径径为为1 1的的上上, ,下下半半圆圆 周周，在在区区间间，上上的的图图形形分分别别是是直直径径为为2 2的的上上, , 下下半半圆圆周周, ,设设，则则下下列列结结论

11、论正正确确的的是是 （） ；（ ） （） ；（） x y o 12 3 1 2 3 4 1 0 4 2 0 1212 2121 tan (034 d d tan A1 B1 C1 D1 x Ix x x Ix x IIII IIII 年年数数二二，分分) ) 设设， ，则则 （ ） （ ） （ ） （ ） tan 0, 4 x x 方方法法一一： 考考虑虑函函数数在在的的单单调调性性 2 222 22 tansectansincos cos 2sin2 0, 0, 2cos4 xxxxxxx xxxx xx x xx 44 12 00 tan4tan4 11 tan tan 1dd(B) 4t

12、an xxx xxx xx IxIx xx tan0, 4 x 方方法法二二： 考考虑虑函函数数在在的的凹凹凸凸性性 3 2sin tan0, 0,tan cos4 x xxx x 凹凹 切切线线在在函函数数下下方方， 弦弦( (割割线线) )在在函函数数上上方方 44 12 00 4 tan(0,0),(0,) 4 4tan4 tan1 tan tan 1dd(B) 4tan x xyxy xxx xx xx xx IxIx xx 在在点点的的切切线线为为在在区区间间的的弦弦为为 2 2、不定积分与定积分的计算不定积分与定积分的计算 如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数

13、)(xF的的 即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ， 导函数为导函数为)(xf， 在在区区间间I内内，函函数数)(xf的的带带有有任任意意 常数项的原函数常数项的原函数 不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. . 注意：注意：每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函的函 数都没有原函数数都没有原函数. 基基 本本 积积 分分 表表 kCkxkdx()1(是常数是常数); );1( 1 )2( 1 C x dxx ;ln)3( Cx x dx 说明：说明： , 0 x ,ln Cx x dx )ln(, 0 xx, 1 )( 1 x x x ,)ln(

14、 Cx x dx ,|ln Cx x dx 简写为简写为.ln Cx x dx dx x 2 1 1 )4( ;arctanCx dx x 2 1 1 )5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx x dx 2 cos )8( xdx 2 sec;tanCx x dx 2 sin )9( xdx 2 csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxe x )12(;Ce x dxa x )13(; ln C a a x xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhC

15、x ;coslntan)16( Cxxdx ;sinlncot)17( Cxxdx ;)tanln(secsec)18( Cxxxdx ;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx ;arctan 11 )20( 22 C a x a dx xa 基基 本本 积积 分分 表表 补补 充充 ;ln 2 11 )22( 22 C xa xa a dx xa ;arcsin 1 )23( 22 C a x dx xa .)ln( 1 )24( 22 22 Caxxdx ax ;ln 2 11 )21( 22 C ax ax a dx ax 凑微分法 ( ) ln( ); ( ) fx dxf

16、xC f x 2 ( ) arctan( ); 1( ) fx dxf xC fx ( )( ) ( ); f xf x efx dxeC 2 ( ) arcsin( ); 1( ) fx dxf xC fx ( )( )( ); xx ef xfx dxf x eC 第二类换元法 （一）三角代换：（一）三角代换：目的是化掉根式是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有 22 )1(xa 可令可令;sintax 22 )2(xa 可令可令;tantax 22 )3(ax 可令可令.sectax （二）为了化掉根式除采用三（二）为了化掉根式除采用三 角代换外还可用

17、角代换外还可用双曲代换双曲代换. 1sinhcosh 22 tt taxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式 （三）积分中为了化掉根式是否一定（三）积分中为了化掉根式是否一定 采用三角代换（或双曲代换）并不是采用三角代换（或双曲代换）并不是 绝对的，需根据被积函数的情况来定绝对的，需根据被积函数的情况来定. 5 2 1 x dx x 例例： 22 1 dx xa 例例： （四）当分母的阶较高时（四）当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换. 1 t x 7 1 (2)dxx x 例例： 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的 根式根式 时，可采用令时，可采

18、用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数） lk xx, n tx n （五）（五） 3 1 . (1)dxxx 例例: : 定积分应用换元公式时应注意定积分应用换元公式时应注意: （1） （2） .udvuvvdu 分部积分公式 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数 或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂就考虑设幂 函数为函数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整假定幂指数是正整 数数) u 若被积函数是幂函数和对数函数或若被积函数是幂函数和对数函数或 幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对幂函数和反三角函数的乘积，

19、就考虑设对 数函数或反三角函数为数函数或反三角函数为 .u 注意：循环形式的出现注意：循环形式的出现 （对同一类函数使用两次分部积分公式）（对同一类函数使用两次分部积分公式） 有理函数的积分 mm mm nn nn bxbxbxb axaxaxa xQ xP 1 1 10 1 1 10 )( )( 方法方法 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和. （1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为 k ax)( , )()( 1 21 ax A ax A ax A k kk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中其中 k AA

20、A, 21 都是常数都是常数. （2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其，其 中中 k qpxx)( 2 则分解后为则分解后为04 2 qp qpxx NxM qpxx NxM qpxx NxM kk kk 212 22 2 11 )()( 其中其中 ii NM ,都是常数都是常数), 2 , 1(ki . 特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为; 2 qpxx NMx 使用待定系数法确定未知常数使用待定系数法确定未知常数 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之一

21、般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR 令令 2 tan x u , 1 2 sin 2 u u x , 1 1 cos 2 2 u u x uxarctan2 du u dx 2 1 2 dxxxR)cos,(sin. 1 2 1 1 , 1 2 22 2 2 du uu u u u R （万能置换公式）（万能置换公式） 简单无理函数的积分 类型类型),( n baxxR ),( n ecx bax xR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. . n n axb uaxb cxe 令令或或 指数有理式和指数无理式的积分 () (,) (,) () xx nxxx n

22、xx P eaeb R eaebR e Q ecee 形形如如，等等 ln , x dt text dx t t 做做指指数数代代换换：，则则 关关于于变变量量 的的有有理理式式或或无无理理式式 2 arctan (016 d x x e x e 年年数数一一，分分) ) 求求 方方法法： 换换元元结结合合分分部部积积分分 ln(1) (005(ln) ( )d x fx x f xx 年年数数二二，分分) ) 设设， 计计算算 ln(1)ln(1) (ln)(ln,)( ) t t t xe fxtx xef t xe ln(1) ( )d x x e f xxdx e arctan 23

23、2 (039 d (1) x xe x x 年年数数二二，分分) )计计算算不不定定积积分分 方方法法： 换换元元结结合合分分部部积积分分 2 0 (104cosd_xx x 年年数数一一，分分) ) 方方法法： 定定积积分分换换元元结结合合分分部部积积分分 ln2 2 0 (965 1d x ex 年年数数二二，分分) )计计算算 2 1 x te 方方法法一一： 直直接接做做整整个个根根式式代代换换 =sin x et 方方法法二二： 做做根根式式下下的的三三角角代代换换 = x et方方法法三三： 做做指指数数代代换换 2 3 1 (925 1,0 ( )(2)d ,0 x xx f x

24、f xx ex 年年数数二二，分分) ) 设设，求求 00 (958 sin ( )d( )d x t f xtf xx t 年年数数二二，分分) ) 设设， 计计算算 方方法法： 变变限限积积分分函函数数的的定定积积分分一一般般使使用用分分部部积积分分 12 3 2 0 (05 11 ( ) (3,2) (0,0)(3,2) (2,4).( ) ()( ) Cyf x llC f x xx fx dx 年年数数一一， 分分) ) 如如图图，曲曲线线 的的方方程程为为， 点点是是它它的的一一个个拐拐点点，直直线线 与与 分分别别是是曲曲线线 在在 点点与与处处的的切切线线， 其其交交点点为为设

25、设函函数数 具具有有三三阶阶连连续续导导数数，计计算算定定积积分分 (1) ( ) (2) ( )( ) (3) ( )( ) b a b a d c Af x dx Af xg xdx Ayh ydy 2 22 12 ( ) (4) L: t (t) ( ) ( ) 1 (5) L:( ) ( ) 2 1 (6) ( )( ) 2 b a xt y Ay dxtt dt rAd Ad rr 2 2 (1) ( ) (0), 0, , , () ( ) 2 ( ) (2) ( ) (0), 0, , , () ( ) 2 ( ) (3) A= ( b x a b y a d y c d x c

26、 yf xyxa xbab Vf xdx Vxf xdx xyxyc ydcd Vydy Vyydy s x 若若已已知知截截面面积积), ( ) b a Vs x dx 则则 2 21 ( ) (0), 0, , () , ( )( ) b a yf xyxa xb ab x Af xfxdx 由由 围围成成的的图图形形绕绕轴轴旋旋转转 旋旋转转体体的的侧侧面面积积为为 2 2 1 1 0 0 0 0 1 2 ( ), ( ), ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) x x ex F xSx ex yF xtS t txtyF t S tSS t S t 设设表表示示夹夹在在 轴

27、轴与与曲曲线线 之之间间的的面面积积，对对任任何何表表示示 矩矩形形的的面面积积，求求 （） 的的最最小小值值。 22 00 22 1 2 2 121 21 2 22 1 2 1 2 14 8 10 2 11 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )() ( )() ( ) ( ) xx tt t t Sedxe S tteS tte Stt e t Stt eS e S e 解解： ， 驻驻点点 又又， 为为极极小小值值，也也是是最最小小值值。 2 0 01 20 ( , ) ( , ) , yxx x 设设一一抛抛物物线线过过两两 点点、且且试试确确定定 、 、的的值值使使抛抛物物线线

28、与与 轴轴围围成成 的的图图形形面面积积最最小小。 2 2 12 22 11 2 1 232 0 00 3 32 2 0 01 2 0 2 2 32 2222 111 323 ( , ),( , ) 0 2 2 0,1 0. () () ()()() yxxx xxxx Sxxdxxx 解解：代代入入点点得得和和 抛抛物物线线与与轴轴的的交交点点满满足足 易易见见故故面面积积 2 3 2 224 0 3 42 46 40 40 4 () () 6 ; (). dS d yx S S S 得得，（舍舍去去） ， ， 极极小小值值 2 2 2 , 1 1 1 2 yaxyx x a a x 1 1 1 1 设设直直线线与与抛抛物物线线所所围围 图图形形面面积积为为S 它S 它们们与与直直线线 所所围围图图形形面面积积为为S ，S ，且且 （ ）确确定定 的的值值使使SS 达SS 达到到最最小小， 并 并求求最最小小值值 （ ）求求该该最最小小值值对对应应的的平平面面图图形形绕绕 轴 轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体的的体体积积 1 22 12 0 3 2 01 1 323 11 0 22 1 20 2 1122 622 1 ()() , . () ()()