漆林伟：16 微积分基本定理

1、 授课教师：授课教师：西北师大附中西北师大附中 漆林伟漆林伟 微积分基本定理是微积分中最重要、最微积分基本定理是微积分中最重要、最 辉煌的成果！辉煌的成果！ -深奥的道理往往很浅显，深奥的道理往往很浅显， 浅显的道理往往很深刻！浅显的道理往往很深刻！ -数学源于生活。数学源于生活。 学习数学要联系生活学习数学要联系生活! ! 2.定积分的几何意义定积分的几何意义 _2 _11 1 0 1 0 xdx dx 练习：说出下列定积分的几何意练习：说出下列定积分的几何意 义以及计算结果。义以及计算结果。 1 _-14 _3 1 1 2 1 0 2 dxx dxx 练习：说出下列定积分的几何意练习：说出

2、下列定积分的几何意 义以及计算结果。义以及计算结果。 3 1 3.定积分的物理意义定积分的物理意义 _)2(-t 1 0 2 dt 生活生活实例实例1 1 数学源于生活。学习数学要联系生活数学源于生活。学习数学要联系生活! ! () () 4 2 4 2 =5 t 5t =10 v t sv td d 解法一： = = 生活生活实例实例2 2 () () 2 1 2 1 10 t 10t15(m) v tt sv t d t d 解法一： = = 思考思考1： 以上两个问题都是要求运动物体在一段时间以上两个问题都是要求运动物体在一段时间 内的位移，各有几种算法？共同点是什么？内的位移，各有几种

3、算法？共同点是什么？ 你发现了什么规律？此规律适合非均匀变速直线你发现了什么规律？此规律适合非均匀变速直线 运动吗？运动吗？ ( )( )( ), ( )= ( ). b a Sv t dts bs a v ts t其中， =- 几何画板演示几何画板演示 () ()() 2 11 2 00 =- +2 5 t=- +2t1.667(km) 3 v tt sv t dtd 解法一： = 蝌 3 2 1 t-2, 3 t t-2, 5 s=10 3 sxx vsx ss 解法二： 当（ )时 （ )（ ) （ )-（ )= （km） =+ =+ 思考思考2： 以上问题有第二种解法吗？如果有？先要求

4、以上问题有第二种解法吗？如果有？先要求 出什么？出什么？ 思考思考3： 以上发现的规律可以推广到一般的函数吗？以上发现的规律可以推广到一般的函数吗？ 推广后的结论是什么？你相信它的正确性吗？推广后的结论是什么？你相信它的正确性吗？ ( )( )( ), ( )= ( ). b a Sv t dts bs a v ts t其中， =- 微积分基本定理：微积分基本定理： 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则， b a aFbFxxf)()(d)( 这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of cal

5、culus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula). ).()()(d )( )()()( aFbFxFxxf xFaFbF b a b a b a 所以 又可以记作 说明：说明： 牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积只要求出被积 函数函数 f f( (x x) )的一个原函数的一个原函数F F( (x x) )，然后，然后计算原函数计算原函数 在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F( (b b ) ) F F( (a

6、a) )即可即可. .该公式把该公式把 计算定积分归结为求原函数的问题。计算定积分归结为求原函数的问题。 例例 计算下列定积分计算下列定积分 解解（）（） ( )( )|( )( ) b b a a f x dxF xF bF a 找出找出f(x)的原的原 函数是关键函数是关键 dx x 2 1 1 1 2 1 22xdx x x 1 ln 2ln1ln2lnln 1 2 1 2 1 xdx x 31222 222 1 2 1 2 xxdx dxx x 2 1 2 1 4）（ 2 1 2 1 2 1 3xdxdx x ）（ 练习练习: _4 1 0 3 dxx _15 1 0 32 dxxxx

7、 _2 _11 1 0 1 0 xdx dx 牛顿 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家。1642年生于英 格兰林肯郡的一个村庄,1727年在伦敦 病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学 院，1665年获文学士学位。随后两年在 家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一 生大多数重要科学创造的蓝图。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积 分和经典力学的创建。 返回返回 莱布尼兹 莱布尼兹，德国数学家、哲学家， 和牛顿同为微积分的创始人。 他父亲是莱比锡大学伦理学教授， 家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。 1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学 学习几何，1666年在纽伦堡阿尔

8、特多夫取得法学博士 学位。 莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相 比，他的著作包括数学、历史、语言、生物 、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。 返回返回 1682年8月，天空中出现了一颗用肉眼可见的亮彗 星，它的后面拖着一条清晰可见、弯弯的尾巴。 当时，年仅26岁的英国天文学家哈雷对怀着极大的 兴趣，全身心地投入到对彗星的观测和研究中去了。 在通过大量的观测、研究和计算后他大胆地预言， 1682年出现的那颗彗星，将于1758年底或1759年初再 次回归。哈雷作出这个预言时已近50岁了，而他的预言 是否正确，还需等待50年的时间。 在哈雷去世10多年后，1758年底，这颗第一个被预

9、报回归的彗星被一位业余天文学家观测到了，它准时地 回到了太阳附近。后人为了纪念他，把这颗彗星命名为 “哈雷彗星”。 哈雷彗星的发现与微积分哈雷彗星的发现与微积分 在哈雷的工作中，引力问题是个关键。哈雷为此在哈雷的工作中，引力问题是个关键。哈雷为此 专程于专程于1684年去剑桥向牛顿求教，并于当年年底年去剑桥向牛顿求教，并于当年年底 得到牛顿的证明结果。哈雷非常高兴，鼓励并资得到牛顿的证明结果。哈雷非常高兴，鼓励并资 助牛顿出版他的名著助牛顿出版他的名著自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理。 世界公认的最早的一次哈雷彗星的观测记载见于世界公认的最早的一次哈雷彗星的观测记载见于 史记史记秦始皇本纪

10、秦始皇本纪。中国人最早发现哈雷彗星，。中国人最早发现哈雷彗星， 并对它做出详细记载，但却没有掌握它的运行规并对它做出详细记载，但却没有掌握它的运行规 律及预报它重新出现的时间。律及预报它重新出现的时间。 1.这这节课你学到了一些节课你学到了一些什么知识？什么知识？ 微积分基本定理微积分基本定理 ).( )()()()(xFxfaFbFdxxf b a ，其中 牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式 2.我们是如何得到微积分基本定理的？我们是如何得到微积分基本定理的？ 微积分公式反映了哲学上的微积分公式反映了哲学上的 什么原理？什么原理？ 1. 课本第课本第55页，页，A组第组第1题，题，B组第组第1题。题。 2. 思考题：思考题： 你可以依据你可以依据8个导数公式给出一些定积分计个导数公式给出一些定积分计 算公式吗？算公式吗？ 3. 思考题：思考题： 汽车以每小时汽车以每小时3