第1和2章数学物理方法

1、使用教材：使用教材：数学物理方法，梁昆淼编数学物理方法，梁昆淼编 参考教材：参考教材： （1 1）、数学物理方法，姚端正等编）、数学物理方法，姚端正等编 （2 2）、数学物理方法教程，潘忠程编）、数学物理方法教程，潘忠程编 第一章第一章 复变函数复变函数 1.2 1.2 复变函数复变函数 1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数 1.4 1.4 解析函数解析函数 1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算 第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 1.5 1.5 多值函数多值函数 式中式中 x、y为实数，称为为实数，称为 复数的实部与虚部复数的实部与虚部 （一）（一） 复数复数 yixz 1i

2、 rz 几何表示：几何表示： 1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算 复数：复数： )Re(zx )Im(zy 复平面复平面 r ),(yxA x y yixz )/(xyarctg 22 yx 为复数的模为复数的模 为复数的辐角为复数的辐角 cosx siny 1、 复数表示复数表示 由于辐角的周期性，由于辐角的周期性， 辐角有无穷多辐角有无穷多 cosxsiny )/(xyarctgArgz kArgz2 )2, 1, 0(k zarg 为辐角的主值，为主为辐角的主值，为主 辐角，记为辐角，记为 zarg r ),(yxA x y Argz r x y Argz Argz r x y

3、 r x y Argz iz31例：求例：求 的的Argz与与argz 解：解：z位于第二象限位于第二象限 x y arctgz arg)3( arctg 3 2 kzArgz2arg 3 2 2 k 复数的三角表示：复数的三角表示：sincosiz 复数的指数表示：复数的指数表示：)sin(cosiz i e ik e 2 i i e 1 ik ei ) 2/32( 应用：应用： ), 1, 0(k 1 ik e ) 2/2( （二）（二） 无限远点无限远点 共轭复数：共轭复数： * )sin(cosiz )sin(cosi i e N S z A Riemann球面球面复复球面球面 零点零

4、点无限远点无限远点 )( 2 1 cos ii ee )( 2 1 sin ii ee i )/()(arg 2121 xxyyarctgz )( 221121 iyxiyxzz （三）复数的运算（三）复数的运算 1、复数的加减法、复数的加减法 iyyxx)()( 2121 x y 2 z 2 x 2 y 1 z 1 x 1 y 21 xx 21 zz 21 yy 21 zz 2 21 2 21 )()(yyxx 有三角有三角 关系：关系：2121 zzzz 2121 zzzz )( 221121 iyxiyxzz 2、复数的乘法、复数的乘法 )()( 12212121 yxyxiyyxx 2

5、1 2121 ii eezz )( 21 21 i e )sin()cos( 212121 i 2121 zzzz 2121 argarg)arg(zzzz iyx iyx z z 22 11 2 1 3、复数的除法、复数的除法 2 1 2 1 i i e e )( )( 2222 2211 iyxiyx iyxiyx 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 yx yxyx i yx yyxx 或指数式：或指数式： iyx iyx z z 22 11 2 1 )( 2 1 2 1 21 i e z z )sin()cos( 2121 2 1 i 4、复数的乘方与方根、复数的乘方与方

6、根 )sin(cosnin n 乘方乘方 nin ez)( inn e 故：故： ninsincos n i)sin(cos 方根方根 n in ez nin e /1 nkin e /)2(/1 故故k取不同值，取不同值， 取不同值取不同值 n z )3,2,1 ,0(k nkinn ez / )2(/ 1 ninn ezk /1 0 ninn ezk / )2(/1 1 ninn ezk / )4(/1 2 )/2(/1ninn eznk nin e /1 )/2(/1ninn eznk nin e /1 3 8 3/ )2(3/1 8 ki e 0k 例：求例：求 之值之值 3 8 3

7、8 3/3/1 8 i e31 i 1k 3 8 i e 3/1 8 2 2k 3 8 3/53/1 8 i e 31 i 22 2 * yxzzz 注意：注意： )( 2 yixyixzzz xyiyx2 22 1）、）、 2）、）、 zzzRe)( 2 1 * zzz i Im)( 2 1 * 3）、）、)( 2 1 )( 2 1 * 2 * 1 * 21 zzzz 例：讨论式子例：讨论式子 在复平面上的意义在复平面上的意义2)/1Re(z 解：解： 2)/1Re(z yixzyixz 11 22 yx yix 22 )/1Re( yx x z 2 2 22 x yx 222 ) 4 1

8、() 4 1 (yx 为为 圆上各点圆上各点 例：计算例：计算 解：解：令令 ibaW ibaz)sin(cosiz 2/1 )sin(cosizibaW ) 2 2 sin() 2 2 cos( 2/1k i k z ) 2 sin() 2 cos( 2/1 1 izW ) 2 2 sin() 2 2 cos( 2/1 2 izW 22 baz 22 sin ba b 22 cos ba a 2 cos1 2 sin 例：计算例：计算ncos3cos2coscos 解：解： nsin3sin2sinsin 令令 nacos3cos2coscos nbsin3sin2sinsin )sin3s

9、in2sin(sin cos3cos2coscos ni nibaW )sin(cos )2sin2(cos)sin(cos nin ii iniii eeee 32 iniii eeeeW 32 )1(32 niiii eeeWe inii eeWWe )1( 1 )1( i ini e ee W )( )( 2/2/2/ 2/)2/1(2/ iii inii eee eee )( )( 2/2/2/ 2/)2/1(2/ iii inii eee eee W ) 2/sin(2 ) 2/sin() 2/cos() 2/ 1sin() 2/ 1cos( i inin bia nacos3cos

10、2coscos ) 2/sin(2 ) 2/sin() 2/ 1sin( n nbsin3sin2sinsin 1.2 1.2 复变函数复变函数 （一）、复变函数的定义（一）、复变函数的定义 Ezyxivyxuzfw),(),()( iyxz 对于复变集合对于复变集合E E中的每一复数中的每一复数 有一个或多有一个或多 个复数值个复数值 w称为的称为的z复变函数复变函数z称为称为w的的宗量宗量 22 )(vuzfw u v arctgzf)(arg （二）、区域概念（二）、区域概念 0 zz由由 确定的平面点集，称为定点确定的平面点集，称为定点z0的的 邻域邻域 （1 1）、邻域）、邻域 （2

11、 2）、内点）、内点 定点定点z0的的 邻域全含于点集邻域全含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的内点的内点 （3 3）、外点）、外点 定点定点z0及其及其 邻域不含于点集邻域不含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的外点的外点 （4 4）、镜界点）、镜界点 定点定点z0的的 邻域既有含邻域既有含 于于E内，又有不含于内，又有不含于E内内 的点，称的点，称z0为点集为点集E的的镜镜 界点。界点。 0 z 内点内点 镜界点镜界点 外点外点 0 z 内点内点 镜界点镜界点 外点外点 （5 5）、区域）、区域 A）全由内点组成）全由内点组成 B）具连通性：点集中任）具连通性：点集中任 何两点都

12、可以用一条折线何两点都可以用一条折线 连接，且折线上的点属于连接，且折线上的点属于 该点集该点集。 （6 6）、闭区域）、闭区域 区域连同它的边界称为闭区域，如区域连同它的边界称为闭区域，如1z 表示以原点为圆心半径为表示以原点为圆心半径为1 1的闭区域的闭区域 （7 7）、单连通与复连通区域）、单连通与复连通区域 单连通区域：区域内任意闭单连通区域：区域内任意闭 曲线，其内点都属于该区域曲线，其内点都属于该区域 （三）、复变函数例（三）、复变函数例 )( 2 1 sin iziz ee i z )( 2 1 cos iziz eez )( 2 1 zz ee i shz )( 2 1 zz

13、eechz zsin 可大于可大于1 1 zizezz zi argln)ln(ln arg )cos(sin2)( 2 1 2222 xxee yy 例：求方程例：求方程 sinz=2 iyxz 解：解： )( 2 1 sin iziz ee i z 设设 2 1 )()(yixiyixi ee i )( 2 1 yixyix eeee i )sin(cos)sin(cos 2 1 yy exixexix i cos)(sin)( 2 1 xeeixee yyyy cos)(sin)( 2 1 sinxeeixeez yyyy 2 2sin)( 2 1 xee yy 0cos)( 2 1 x

14、ee yy 0cos x kx2 2 4 yy ee 4 yy ee 014 2 yy ee )32ln( y 014 2 yy ee 或或)32ln( y iyxz kx2 2 )32ln(2 2 ik （四）、极限与连续性（四）、极限与连续性 设设w=f(z)在在z0点的某邻域有定义点的某邻域有定义 对于对于 00，存在，存在 0,0,使使 0 zz 有有 0 )(wzf 称称z - z0时时w0为为极限极限，计为，计为 0 )(lim 0 wzf zz 注意：注意：z在全平面，在全平面，z - z0须以任意方式须以任意方式 若有若有)()(lim 0 0 zfzf zz 称称f(z)在在

15、z0点连续点连续),(),( ),(),( 00 00 yxvyxv yxuyxu 0 zz 1.3 1.3 导数导数 w=f(z)是是在在z点点 及其邻域定义及其邻域定义 的单值函数的单值函数 z zfzzf z zf zz )()( lim )( lim 00 在在z点存在，并与点存在，并与 z - 0的方式无关，则的方式无关，则 dz df z zfzzf zf z )()( lim)( 0 例：例：证明证明f(z)=zn在在复平面上每点均可导复平面上每点均可导 证：证： z zzz nn z )( lim 0 )( 2 ) 1( lim 121 0 nnn z zzz nn nz 1

16、n nz 例：例：证明证明f(z)=z*在在复平面上均不可导复平面上均不可导 证：证： z zzz z * 0 )( lim z z z * 0 lim z z y x * 0 0 lim 1lim 0 0 y y y x z z y x * 0 0 lim 1lim 0 0 x x y x 求导法则求导法则 dz dw dz dw ww dz d 21 21 )( dz dw w dz dw www dz d 1 2 2 121 )( )( 2 1 w w dz d dz dw dw wdF wF dz d)( )( 2 2 2121 w wwww 下面讨论复变函数可下面讨论复变函数可 导的

17、必要条件导的必要条件 y v y u i yix viu zf y x 0 0 lim)( ),(),()(yxivyxuzf yi viu y x 0 0 lim x v i x u yix viu zf y x 0 0 lim)( x viu x y 0 0 lim 比较两式有比较两式有 y v x u x v y u 称为科西称为科西-黎曼条黎曼条 件（件（C.R.C.R.条件）条件） C.R.C.R.条件不是条件不是可导可导 的充分条件的充分条件 例：例：证明证明 在在z=0处满足处满足C.R.条件，但在条件，但在 沯沯z=0处不可导处不可导 证：证： 0 )0 , 0()0 ,( l

18、im 0 0 x uxu x u z z xyzf)( xyu 0v 0 0 z y u 0 0 z y v 0 0 z x v 满足满足C.R.条件条件 在在z=0处处 但在但在z=0处，若处，若 一定，一定，00 i ez i z ez f sincos lim 0 随随 而变，故而变，故在在z=0 处不可导处不可导 下面讨论下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导的充分条件点可导的充分条件 证明：证明： 1）u,v在在z处满足处满足C.R.条件条件 2）u,v在在z处有连续的一阶偏微商处有连续的一阶偏微商 因为因为u,v在在z处有连续的一阶偏微商，所以处有连续的一阶偏

19、微商，所以u,v 的的 微分存在微分存在 dy y u dx x u du dy y v dx x v dv idvdudf)()(dy y v dx x v idy y u dx x u dy y v i y u dx x v i x u )()( 由由C.R.条件条件 dy x u i y u dx y u i x u )()( 此式此式 z无论以什么无论以什么 趋于零都存在，趋于零都存在， idvdudf C.R.方程的极坐标表示：方程的极坐标表示： dy x u i y u dx y u i x u )()( )(idydx y u i x u y u i x u dz df 故故f(

20、z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导点可导 当考虑当考虑 z沿沿径向和沿径向和沿 恒向趋于零时，有恒向趋于零时，有 vu1 vu1 例：试推导极坐标下的例：试推导极坐标下的C.R.方程：方程： 方法一：方法一： vu1 vu1 当分别考虑当分别考虑 z沿沿径向径向 和沿恒向趋于零时，和沿恒向趋于零时， i ez ),(),()(ivuzf 沿沿径向趋于零径向趋于零 i e ivuivu dz df ),(),(),(),( lim 0 ),(),(),(),( lim 0 ii e vv i e uu ),(),(),(),( lim 0 ii e vv i e uu dz df

21、i e v i u1 )( 沿沿恒向趋于零恒向趋于零 ),(),(),(),( lim 0 ii ei vv i ei uu dz df i e uiv1 ) 1 ( vu1 vu1 方法二：方法二： 从直角坐标关系出发从直角坐标关系出发 sincosyx y y ux x uu sincos y u x u y y vx x vv sincos y v x v sincos x v y v sincos x u y u sincos x v y vu sincos x u y uv 同理同理 )cossin( y u x uu )sincos( x v y vv vu1 vu1 例：证明例：

22、证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析在复平面上解析 ，且且 f(z)=f(z)。 1.4 1.4 解析函数解析函数 若若w=f(z)是是在在z0点及其邻域上处处可导，称点及其邻域上处处可导，称f(z)在在z0解析解析 若若w=f(z)是是在在区域区域 B上任意点可导，称上任意点可导，称f(z)在在区域区域 B 解析解析 证：证： yev yeu x x sin ,cos ye x u x cos ye y u x sin ye x v x sin ye y v x cos yieyezf xx sincos)( )(zf 满足满足C.R.条件条件 且一阶偏导连续且一阶偏导连

23、续 后面可证在某区域上的解析函数后面可证在某区域上的解析函数 ，在该区域上有任意在该区域上有任意 阶导数。阶导数。 由由C.R.条件条件 y v x u x v y u 前一式对前一式对x 求导，后式对求导，后式对y 求导，相加求导，相加 0 2 2 2 2 y u x u 同理同理 0 2 2 2 2 y v x v 0)( 2 2 2 2 u yx 0)( 2 2 2 2 v yx u(x,y)和和v(x,y)都满足二维都满足二维 Laplace 方程方程 又特别称为又特别称为共轭调和函数共轭调和函数 性质性质1、f(z)在在区域区域 B 解析，解析，u(x,y)和和v(x,y)为为共轭调

24、和函数共轭调和函数 令：令： k z j y i x 称为梯度称为梯度(gradient) 矢量矢量 二维二维 表示表示 )()(k z j y i x k z j y i x 2 2 2 2 2 2 zyx 2 2 2 2 2 2 yx 三维表示三维表示 2 2 2 2 2 2 3 zyx k z f j y f i x f f 0 2 u0 2 v 由由C.R.条件条件 y v x u x v y u 两式相乘两式相乘 0 y u y v x v x u 0)()( j y v i x v j y u i x u 即即 或或 0vu 表示表示正交与vu Laplace 方方 程表示为：程表

25、示为： 性质性质 2、u(x,y)=常数与常数与 v(x,y)=常数曲线正交常数曲线正交 而而u 和和v 分别是分别是u(x,y)=常数常数 v(x,y)=常数常数的法向向量的法向向量 若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一条件，求另一 共轭调和函数，方法如下：共轭调和函数，方法如下： C.R.条件条件 y v x u x v y u 上式为全微上式为全微 分，因为分，因为 dy y v dx x v dv 方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关） 设已知设已知 u(x,y)， 求求v(x,y) dy x

26、 u dx y u dv 2 2 2 2 )( x u y u y u y )( x u x 方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法 方法三、不定积分法方法三、不定积分法 方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关） 方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法 方法三、不定积分法方法三、不定积分法 例：已知解析函数实部例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y) 解：解： 故故u为调和函数为调和函数 2 2 2 y u 2 2 2 x u u(x,y)=x2-y2 x x u 2 y x v 2 dy y v dx x

27、v dv 方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法 y y u 2 x y v 2 xdyydx22 )0 ,(x ),(yx x y ),( )0 , 0( )22( yx xdyydxv Cxy 2 )0 ,(x ),(yx x y Cxdyydxv yx ),( )0 , 0( )22( Cxdyydx xdyydx yx x x ),( )0 ,( )0 ,( )0 , 0( )22( )22( 方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法 Cxyv 2 xdyydxdv22 )2(yxd Cxyv 2 )2()( 22 Cxyiyxzf iCz 2 u(x,y)=x2-y2 方法三、不定

28、积分法方法三、不定积分法 y x v 2 x y v 2 x视为参数有：视为参数有： )(2xxdyv )(2xxy )( 2xy x v 0)( xCx )( Cxyv 2 例：已知解析函数例：已知解析函数f(z)实部实部 求求 v(x,y) 解：解： 化为极坐标求解化为极坐标求解 uv1 0)(, )( 222 22 f yx yx u ),(),()(ivuzf 4 2222 sincos u 2 )2cos( 3 )2sin(2 uv 2 )2cos(2 d v d v dv dddv 23 )2cos(2)2sin(2 )2sin( 2 d Cv 2 )2sin( ),(),()(i

29、vuzf 2 )2cos( u iCizf)2sin()2cos( 1 )( 2 iC e zf i 22 1 )(iC z 2 1 0)(f 0C 2 1 )( z zf 第二章第二章 复变函数积分复变函数积分 2.2 2.2 柯西定理柯西定理 2.3 2.3 不定积分不定积分 2.4 2.4 柯西公式柯西公式 2.1 2.1 复变函数积分复变函数积分 作作 和和 x y 记：记： 2.1 2.1 复变函数积分复变函数积分 A B k 1k z k z 0 z n z k kkk zzf)( 1 k kkk l zzfdzzf)()( 1 )(,(),()(idydxyxivyxudzzf

30、),(),(),(),(dyyxudxyxvidyyxvdxyxu ll dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf),(),(),(),()( 例：计算积分例：计算积分 l zdzRe ), 1 ( i A x y 1 i 分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图 (1) (2) 解解 (1) O B xz Re ll ixdyxdxzdzRe 由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关 ll ixdyxdxzdzRe 1 0 1 0 ixdyxdx 2 1 (2) ll ixdyxdxzdzRe 1 0 1 0 ixdyxdx

31、i 2 1 例：计算积分例：计算积分 l dzz 2 yx2 ), 2(i A x y 2 i 分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图 (1) (2) 解解 l dzz 2 10:y O B xyiyxz2 222 ll dyyxxydxixydydxyxdzz)(22)( 22222 (1) )4()2(44)2()4( 222 1 0 222 dyyyydyidyyydyy 3/)112(i 例：计算积分例：计算积分 l dzz 2 20:0:xyOB ), 2(i A x y 2 i 分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图 (1) (2) 解解 (2) O B 10:2:yxBA xyiyxz2 222 ll dyyxxydxixydydxyxdzz)(22)( 22222 l dzz 2 2 0 1 0 2 1 0 2 )4()4(dyyidyydxx 3/)112(i 由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关 （一）、单连通区域（一）、单连通区域 0)( l