3.8 周期信号的傅里叶变换

1、2021/6/161 3.8 3.8 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 主要内容主要内容 重点：重点：正弦、余弦信号的傅里叶变换正弦、余弦信号的傅里叶变换 难点：难点：一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换 正弦、余弦信号的傅里叶变换正弦、余弦信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换 2021/6/162 周期信号周期信号-傅里叶级数傅里叶级数 非周期信号非周期信号-傅里叶变换傅里叶变换 周期无穷大周期无穷大 求和变求积分求和变求积分 周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函 数存在并认为它有意义的前提下，

2、绝对可积条件就成为数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为 不必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。不必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。 目的：目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来， 使傅里叶变换得到广泛应用。使傅里叶变换得到广泛应用。 2021/6/163 一一、正弦、余弦周期信号的傅里叶变换正弦、余弦周期信号的傅里叶变换 111 cos()()()t ：余弦信号 F 111 sin()()()tj 正弦信号： F 0 00 f( )(),0 jt tF e F 21( ) t F 0 00 ,02() jt e F 202

3、1/6/164 频谱频谱 0 t twtf 1 cos)( 1 0 t twtf 1 sin)( 1 w 0 w 0 w 0 )(wF w 0 w 0 w 0 )(wjF 2021/6/165 例子例子 0 t 2 )(tf E 2 其频谱图为：其频谱图为： w 0 0 w 2 0 w )(wG 2 E 0 w 有限长的余弦信号有限长的余弦信号 有限长余弦信号有限长余弦信号f f0 0(t)(t)的宽度的宽度 增大时，频谱增大时，频谱F F0 0( ( ) )越来越越来越 集中到集中到1 1的附近，当的附近，当 ，有限长余弦信号就变成无穷长，有限长余弦信号就变成无穷长 余弦信号，此时频谱在余弦

4、信号，此时频谱在1 1处成为无穷大，而在其他频率处均处成为无穷大，而在其他频率处均 为零。即此时频谱变为位于为零。即此时频谱变为位于1 1的两个冲激函数。的两个冲激函数。 2021/6/166 二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换 1 1 ( ) 2 jnt n n n n f tF Fn e 一般周：期信号 F 令周期信号令周期信号f(t)f(t)的周期为的周期为T T1 1，角频率为，角频率为 1 1=2=2 f f1 1 2 21 1 1 )( 1 T T jwt n dtetf T F 其中：其中： 2021/6/167 1. 1.单脉冲信号的傅里叶变换单脉冲信号的

5、傅里叶变换 式）（单脉冲的傅里叶变换 单脉冲信号：从周期脉冲信号单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)f(t)中截取一个中截取一个 周期，得到单脉冲信号。周期，得到单脉冲信号。 2 2 0 1 1 )()( T T jwt dtetfwF 单脉冲的傅里叶变换单脉冲的傅里叶变换F F0 0( ( ):):为非周期信号直接用傅里为非周期信号直接用傅里 叶变换定义公式。叶变换定义公式。 2021/6/168 v2.2.利用单脉冲信号求周期信号的傅里叶变换利用单脉冲信号求周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数的系数周期信号的傅里叶级数的系数FnFn等于单脉冲信号的傅里等于单脉冲信号的傅里 叶变换叶变换

6、F F0 0( ( ) )在在n n 1 1频率点的值乘以频率点的值乘以1/T1/T1 1。 1 1 1 2 21 )( 1 nww T T jwt n dtetf T F 或写成或写成 1 )( 1 )( 0 1 nwwn wF T wF 周期信号与单脉冲信号的关系：周期信号与单脉冲信号的关系： 可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的 傅里叶级数的系数。傅里叶级数的系数。 2021/6/169 例例3-103-10 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。 解：画波形解：画波形 n T nTtt

7、)()( 1 单位冲激函数的间隔为单位冲激函数的间隔为T T1 1，用符号，用符号 T T(t)(t) 表示周期单位冲激序列：表示周期单位冲激序列： w 0 )(wF 1 0 t )(t 1 0t )(t 1 1 T 1 T 0w n F 1 1T 1 w 1 w 1 2w 1 2w FSFS 2021/6/1610 可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于 =0,=0,1 1, , 2 2 1 1, , n n 1 1, , 的频率分量，且分量大小相等，的频率分量，且分量大小相等， 均等于均等于1/T1/T1 1。 n tjnw nT

8、eFt 1 )( 0t )(t 1 1 T 1 T 0w )(wF 1 w 1 w 1 w 1 2w 1 2w FT T T(t)(t)是周期函数，求其傅里叶级数：是周期函数，求其傅里叶级数： 1 2 21 1 )( 1 1 1 T dtetf T F T T jwt n n tjnw T e T t 1 1 1 )( 2021/6/1611 求求 T T(t)(t)的傅里叶变换。的傅里叶变换。 n n FT T nwwFtf)(2)( 1 1 1 T Fn 又 n FT TT nwwwttf)()()( 11 可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换

9、中只包含位 于于 =0,=0,1 1, , 2 2 1 1, , n n 1 1, , 频率处的冲激函数，其频率处的冲激函数，其 强度大小相等，均等于强度大小相等，均等于 1 1 。 。 2021/6/1612 例例3-113-11 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和 傅里叶变换。傅里叶变换。 0 )(tf E 2 2 TT t 解：先求矩形单脉冲信号解：先求矩形单脉冲信号f f0 0(t)(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F F0 0(w)(w) 0 t )( 0 tf 1 2 2 ) 2 ()( 0 w SaEwF 0w 2 2 )( 0 wF E 2021/6/

10、1613 再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数F Fn n 0 ) (tf E 2 2 TT t w 1 2 T 0 2 2 n F 1 T E ) 2 ()( 1 1 1 0 1 1 nw Sa T E wF T F nwwn n tjnw e nw Sa T E tf 1 ) 2 ()( 1 1 求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数： 2021/6/1614 最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换F(w)F(w)。 n nww nw SawEwF)() 2 ()( 1 1 1 看出：周期信号频谱是离散的；看出：周期信号频谱是离散的； 非周期信号的频谱是连续