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文档简介

1、数学物理方法中的Matlab应用细杆热传导问题 问题叙述：求解细杆导热问题，初始温度为零，一端保持零度，另一端的温度为At（A是常数，t代表时间）。分析： （1） （2） （3）解本题时，希望将边界条件化为齐次时，仍保持泛定方程为齐次，令 （4）代入泛定方程（1），整理后有： （5）为了得到关于v的齐次泛定方程，就要选择（4）中的f（x）和g（x），使（5）式中的后面几项消去。显然，若f（x）取x的一次式，则f （x）=0，因此选即可。从而在（5）中，因所以。同时又为了得到齐次边界条件，可按下列方程决定g（x）： （6） （7）对（6）积分两次： 由边界条件（7）： （8） （9）由（5）式得

2、齐次泛定方程： （10）由（2）和（9）得初始条件： （11）由（3）和（9）得初始条件： （12）对于（10）（11）和（12）的定解问题，其解为： 此处，我们选择铁作为细杆的材质。查询资料得：铁的热传导系数 铁的比热容 铁的密度为则可计算得： 编写程序：A=1;l=20;a=0.00472;t=x;g=linspace(-pi,pi,25);x=linspace(0,20,20);G,X=meshgrid(g,x);Y=sin(G);Z=cos(G);mesh(X,Y,Z);axis equal;f1=0;for n=1:1:6f2=(1/n3)*exp(-n2*pi2*a2)*t/l2).*sin(n*pi.*X./l); f1=f1+f2;endf=A*t.*(1-X./l)-(l2*A)/(6*a2).*(X./l).3-3.*(X./l).2+2.*(X./l)+(2*A*l2)/(pi3*a2)*f1;fun=f;surf(X,Y,Z,fun)colormap(jet)colorbar( horiz )输出的三维图形：红色：温度较高部分蓝色：温度较低部分 结论：1、热能由x=0端输入，传向x=l端；2、x=l端不接收热能，热能都被部分吸收；3、随着时间的增长，所得图像看上去不改变，但它们所对应的数值变大了。并且它们之间的温度梯度随着时间的增长而变

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