2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形

1、2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形知识点1.等腰三角形的性质与判定：例1.如图，在中，平分为的中点，为延长线上的一点，且.（1）求的长；（2）求证：是等腰三角形.知识点2.等腰三角形的存在性问题：例2.如图，在矩形中，平分，点从点以每秒2个单位沿方向向点运动，点从点以1个单位沿方向向点运动，设运动时间为秒，的面积为.（1）若时，求证：；（2）求关于的函数关系式及的最大值；（3）在运动的过程中，能否成为等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.例3.如图，若抛物线与轴相交于，与轴相交于，.（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上一动点，过点作轴于点，连结，当的面积最大时，求

2、点的坐标；（3）在直线上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.基础训练：一、选择题：1.如图，在中，的垂直平分线交于和，则的周长为（ ） 2.如图，在中，平分，则的周长为（ ） 3.如图，分别平分，若，的周长为（ ） 4.如图，在中，于点，则（ ） 第1题 第2题 第3题 第4题二、解答题：5.如图，在中，点分别在边上，.（1）求证：是等腰三角形；（2）求证：；（3）当时，求的度数.6.如图，点分别在的边上，的平分线交于点，连接.（1）求证：；（2）求证：平分；（3）试判断与的数量关系，并说明理由.7.如图，在中，为的中点，动点从点出发以的速度在线段上向终点运

3、动，设动点运动时间为秒.（1）求的长；（2）当的面积为，求的值；（3）动点从点出发以的速度在射线上运动，当与点同时出发，当点运动到终点时，点也停止运动，是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.能力训练：8.如图，在中，在上运动（不与重合），连接，作，交线段于.（1）当时，求和的度数；（2）当为何值时，；（3）当为何值时，为等腰三角形.挑战压轴题：9.如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于，过画直线，点在二次函数图象上，以为圆心的圆与直线相切，切点为.（1）求二次函数的解析式；（2）若点在轴正半轴上，求的长；（3）若在轴的右侧，求点的坐标；（4）若的半径为，求点的坐标.2019-

4、2020年中考数学专题练习等腰三角形7 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径 1-1 例1 如图1-1，ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且BAM=CAN，MN=AN，求MAC的度数 分析 AB=AC，MN=AN可知ABC和AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找

5、所求角间的关系 练习1 1如图，已知ABC中，AB=AC，AD=AE，BAE=30，则DEC等于（ ）A75 B10 C12.5 D18 2如图，AA、BB分别是ABC的外角EAB和CBD的平分线，且AA=AB=BB，A、B、C在一直线上，则ACB的度数是多少？ 3如图，等腰三角形ABC中，AB=BC，A=20D是AB边上的点，且AD=BC，连结CD，则BDC=_ 1-5 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由 分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角

6、形等，从而达到解决问题的目的 练习21已知如图1-6，在ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DEBC，E为垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2如图1-7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D是ABC内一点，且DAC=DCA=15，则BD与BA的大小关系是（ ） ABDBA BBD”或“”或“”）1-16 1-17 例5 已知：如图1-17，ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？ 分析 延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段 解：延长CE

7、到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，AE=EB 练习51如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、AD交于点P过B作BQAD于Q，请说明BP是PQ的2倍1-182如图1-19，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE平分ABC，CEBE，那么CE是BD的几分之几？1-19 3已知：如图1-20，在ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的_倍1-20 答案:练习11解：设DEC=x， AD=AE， ADE=AED x=AEC-ADE=（B+30）-ADE=（B+30）-（C+x） AB=AC，B

8、=C 2x=30，x=15，故选C2解：AB=BB， BAB=BBA，BBD=BAB+BBA=2BAB 又CBB=DBB， ACB=CBB+CBB=3CAB 设CAB=x，ACB=3x，CBD=4x，又AA=AB， A=ABA=CBD=4x AA平分EAB AAB=（180-x） 又AAB=180-（A+ABA）=180-8x （180-x）=180-8x x=12，故ACB=363解：如图，作AEDBAC，连结EC 则AED=BAC=20， DAE=ADE=B=ACB=80 CAE=DAE-BAC=80-20=60 又AB=AE=AC， ACE是正三角形，AE=EC=ED DEC=AEC-A

9、ED=40 EDC=（180-DEC）=70 BDC=180-（ADE+EDC）=30练习2 1解：AB=AC，B=C DEBC，DEB=FEC=90 在RtDEB与RtFEC中， B=C，BDE=F FDA=BDE， FDA=F，故AD=AF2解：以AD为边在ADB内作等边ADE，连结BE 则1=2=3=60 AE=ED=AD DAC=15， EAB=90-1-DAC=15 DAC=EAB 又DA=AE，AB=AC， EABDAC EBA=DCA=15 BEA=180-EBA-EAB=150 BED=360-BEA-AED=150 BEA=BED 又EB=EB，AE=ED BEABED，BD

10、=BA 故选择C3解：延长AD到G，使DG=AD，连结BG， BD=DC，BDG=CDA，AD=DG， ADCBDE AC=BG，G=EAF， 又BE=AC，BE=BG G=BED，而BED=AEF， AEF=AFE，故FA=FE练习31解：ABC是等边三角形， AB=BC=CA ABC=ACB=BAC=60 又BD=AF=CE， ABDBCECAF 1=2=3 BAC-1=ABC-2=ACB-3 即CAK=ABG=BCH 又AB=BC=CA， ABGBCHCAK AGB=BHC=CKA 即KGH=GHK=GKH 故GKH是等边三角形2解：由于ABC与CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，

11、得知： CA=CB，CD=CE，ACD=BCE， 故ACDBCE ADC=BEC，AD=BE 又DM=AD，EN=BE， DCMECN DCM=ECN，CM=CN 又ECN+NCD=ECD=60， NCM=MCD+NCD=60 CMN是等边三角形3解：连结BP ABC与CDP均为等边三角形， AC=BC，CD=CP，ACB=DCP=60 1=2， ADCBPC CBP=DAC=60 RBP=RBA+ABC+CBP=60+60+60=180， R、B、P三点共线 又RAQ=RAB+BAC+CAQ=60+60+60=180， R、A、Q三点共线 而AQ=AE=AD=BP， RQ=RA+AQ=RB+

12、BP=RP 又R=60，PQR是等边三角形 故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形练习41解：SACB=SAPB+SAPC， 即ABCF=ABPD+ABPE CF=PD+PE2解：AC=AB，CAE=BAD，AE=AD， AECADB CE=BD 又BD=BC+CD=AC+CD CE=AC+CD3解：ABC和BDE均为等边三角形 ABE=60-EBC=CBD，AB=BC，BE=BD ABECBD AE=CD又AB=AC， AD=AC+CD=AB+AE练习51解：CAB=C=60，AE=CD，AB=AC，ADCBEA，CAD=EBA 又BPQ=PAB+PBA=PAB+CAD=60， 在RtPQB中，PBQ=30， BP=2PQ 2解：延长CE交BA的延长线于F， 1=2，BEC=BEF=90，BE=BE， BECBE