2.2.2_双曲线的简单几何性质(内容全面,共3课时)[教资优择]

1、2.3.22.3.2 双曲线简单的几何性质双曲线简单的几何性质 ( (一一) ) 1基础课件 1 12 2 2 m y m x 复习引入复习引入 m2或或m1 求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程 a=4,b=3，焦点在，焦点在x轴上；轴上； 焦点为焦点为(0,6),(0,6)，经过点，经过点(2,5) 已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y轴的轴的 双曲线，则实数双曲线，则实数m的取值范围是的取值范围是_m2 1 916 2 2 y x 1 1620 2 2 x y 2基础课件 222 bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2aa0 e 1 e是

2、表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大 （1）定义：）定义： （2）e e的范围的范围： （3）e e的含义：的含义： 11)( 22 22 e a c a ac a b 也增大增大且时，当 a b e a b e,), 0(), 1 ( 的夹角增大增大时，渐近线与实轴e 7基础课件 a c e 222 bac 二四个参数中，知二可求、在ecba （4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2 ( 5 ) 的双曲线是等轴双曲线离心率2e 8基础课件 x y o 的简单几何性质 二、导出双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y -a a b -b （1）范围）范围:

3、 ayay, （2）对称性）对称性:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称 （3）顶点）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线）渐近线: x b a y （5）离心率）离心率: a c e 9基础课件 小小 结结 ax 或 ax ay ay 或 )0 ,( a ), 0(a x a b y x b a y a c e ) ( 222 bac 其中 关于关于 坐标坐标 轴和轴和 原点原点 都对都对 称称 性性 质质 双曲线双曲线 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 范围范围 对称对称 性性 顶点顶点

4、 渐近渐近 线线 离心离心 率率 图象图象 10基础课件 例例1 :求双曲线求双曲线的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长, 焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。 解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程 可得可得:实半轴长实半轴长a=4 虚半轴长虚半轴长b=3 半焦距半焦距c= 焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率离心率: 渐近线方程渐近线方程: 144169 22 xy 1 34 2 2 2 2 xy 534 22 4 5 a c e xy 3 4 例题讲解例题讲解 11基础课件 1 2 2 2 2 b y a x 的方程为解：依题意可设双曲线 81

5、62aa，即 10, 4 5 c a c e又 36810 22222 acb 1 3664 22 yx 双曲线的方程为 xy 4 3 渐近线方程为 )0 ,10(),0 ,10( 21 FF 焦点 . 4 5 16 线和焦点坐标程，并且求出它的渐近 出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在 ，离心率离是已知双曲线顶点间的距 x e 例例2: 12基础课件 1、若双曲线的渐近线方程为、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线则双曲线 的离心率为的离心率为 。 2、若双曲线的离心率为、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角，则两条渐近线的夹角 为为 。 4 , 3 yx 课堂练习课堂练习 13基础课件

6、与双曲线与双曲线 22 1 916 xy 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点( 3,2 3) ； 与双曲线与双曲线 22 1 164 xy 有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点(3 2,2) 例例3 :求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程： 例题讲解例题讲解 14基础课件 法二：法二：巧设方程巧设方程,运用待定系数法运用待定系数法. 设双曲线方程为设双曲线方程为 , 22 (0) 916 xy 22 ( 3)(2 3) 916 1 4 22 1 9 4 4 双曲线的方程为 xy 15基础课件 法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为 22 1 164 xy kk 16040kk

7、 且且 22 1 128 xy 双曲线方程为双曲线方程为 22 (3 2)2 1 164kk , 解之得解之得k=4, 22 22 2 1, 20 12(30) xy mm m 或设 求得舍去 16基础课件 1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的应的双曲线的应 用用 22 22 22 22 1 (0) xy ab xy ab 与共渐近线的双曲线系 方程为， 为参数 ， 0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线； 0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；a0)，求点，求点M的轨迹的轨迹. c x 2 a a c M 解：解：设点 设点M(x,y)到到l的距离为的距离为d，则，则

8、 |MFc da 即即 22 2 ()xcyc aa x c 化简得化简得(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设设c2a2 =b2， 22 22 1 xy ab (a0,b0) 故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线的双曲线. 222 ()|axcyacx 22224222 (2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化为: M 点点M的轨迹也包括双的轨迹也包括双 曲线的左支曲线的左支. 一、第二定义一、第二定义 30基础课件 双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不

9、在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的 距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是 双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线 的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率. 对于双曲线对于双曲线 22 22 1 xy ab 是相应于右焦点是相应于右焦点F(c, 0)的的 右准线右准线 类似于椭圆类似于椭圆 2 a x c 是相应于左焦点是相应于左焦点F(-c, 0) 的的左准线左准线 2 a x c x y o F l M F 2 a x c l 2 a x c 点点M到左焦点与

10、左准线的距到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义离之比也满足第二定义. 31基础课件 想一想：想一想：中心在原中心在原 点，焦点在点，焦点在y轴上轴上 的双曲线的准线的双曲线的准线 方程是怎样的？方程是怎样的？ x y o F 相应于上焦点相应于上焦点F(c, 0)的是的是上准线上准线 2 y a c 2 y a c 相应于下焦点相应于下焦点F(-c, 0)的是的是下准线下准线 2 y a c 2 y a c F 32基础课件 例例2 2、点、点M M（x,yx,y）与定点）与定点F F（5,05,0），的距离），的距离 和它到定直线：和它到定直线： 的距离的比是常的距离的比是常 数数 ,

11、 , 求点求点M M的轨迹的轨迹. . l 16 5 x 5 4 y 0 l d 33基础课件 例例3、 已知双曲线已知双曲线 22 1, 169 xy F1、F2是它的左、右焦点是它的左、右焦点. 设点设点A(9,2), 在曲线上求点在曲线上求点M，使，使 2 4 | 5 MAMF 的值最小的值最小,并求这个最小值并求这个最小值. x y o F2 M A 16 5 x 由已知：由已知：解：解：a=4, b=3, c=5, 双曲线的右准线为双曲线的右准线为l: 5 4 e 作作MNl, AA1l, 垂足分别是垂足分别是N, A1, N 2 |5 |4 MF MN 2 4 | | 5 MFMN

12、 A1 2 4 | | 5 MAMFMAMN 1 |AA 当且仅当当且仅当M是是 AA1与双曲线的交点时取等号与双曲线的交点时取等号, 令令y=2, 解得解得: 4 13 2 x 4 13 ,2 , 3 M 即即 29 . 5 最最小小值值是是 34基础课件 归纳总结归纳总结 1. 双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的 距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是 双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线 的准线的准线

13、，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率。 2. 双曲线的准线方程双曲线的准线方程 对于双曲线对于双曲线 22 22 1, xy ab 准线为准线为 2 a x c 对于双曲线对于双曲线 22 22 1 yx ab 准线为准线为 2 a y c 注意注意: :把双曲线和椭圆的知识相类比把双曲线和椭圆的知识相类比. 35基础课件 椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法 判断方法判断方法 0 （1）联立方程组）联立方程组 （2）消去一个未知数）消去一个未知数 （3） 复习: 相离相切相交 二、直线与双曲线的位置关系二、直线与双曲线的位置关系 36基础课件 1) 位置关系

14、种类位置关系种类 X Y O 种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点， 一个交点或两个交点一个交点或两个交点) 37基础课件 2)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数 X Y O X Y O 相离相离:0:0个交点个交点 相交相交:一个交点一个交点 相交相交:两个交点两个交点 相切相切:一个交点一个交点 38基础课件 3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程 直线与双曲线的直线与双曲线的 渐进线平行渐进线平

15、行 相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式 0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0 直线与双曲线相离直线与双曲线相离 40基础课件 相切一点相切一点: =0 相相 离离: 0 注注: 相交两点相交两点: 0 同侧：同侧： 0 异侧异侧: 0 一点一点: 直线与渐进线平行直线与渐进线平行 12 xx 12 xx 41基础课件 特别注意直线与双曲线的特别注意直线与双曲线的 位置关系中：位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支两解，两解不一定同支 42基础课

16、件 例例.已知直线已知直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4,试讨论实数试讨论实数k的取的取 值范围值范围,使直线与双曲线使直线与双曲线 (1)没有公共点没有公共点; (2)有两个公共点有两个公共点; (3)只有一个公共点只有一个公共点; (4)交于异支两点；交于异支两点； (5)与左支交于两点与左支交于两点. (3)k=1，或，或k= ； 5 2 (4)-1k1 ； (1)k 或k ； 5 2 5 2 5 2 (2) k ； 5 2 1 2 5 - k 1 k且且 43基础课件 1.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有 共有共有_条条. 变题变题:将点将点P(1,1)改为改

17、为 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的? 4 1 169 22 yx 1.两条两条;2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条. 交点的交点的 一个一个 直线直线 X Y O （1，1） 。 44基础课件 2.双曲线双曲线x2-y2=1的左焦点为的左焦点为F,点点P为左支下半支上任意一点为左支下半支上任意一点 (异于顶点异于顶点),则直线则直线PF的斜率的变化范围是的斜率的变化范围是_ 01， 3.过原点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的 取值范围是取值范围是 1 34 22 yx 3 2 3 ， 2

18、 45基础课件 例例4、如图，过双曲线、如图，过双曲线 的右焦点的右焦点 倾斜角为倾斜角为 的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|。 22 1 36 xy 2, F 30 三、弦长问题三、弦长问题 46基础课件 练习练习: : 1.1.过双曲线过双曲线1 169 22 yx 的左焦点的左焦点 F1 1作倾角为作倾角为 4 的直线与双曲线的直线与双曲线 交于交于A A、B B两点，则两点，则| |ABAB|=|= . . 2.2.双曲线的两条渐进线方程为双曲线的两条渐进线方程为20 xy，且截直线，且截直线30 xy 所得弦长为所得弦长为 8 3 3 ，则该双曲线的方程为

19、（，则该双曲线的方程为（ ） (A)(A) 2 2 1 2 x y (B)(B) 2 2 1 4 y x (C)(C) 2 2 1 2 y x (D)(D) 2 2 1 4 x y 192 7 47基础课件 韦达定理与点差法韦达定理与点差法 例例.已知双曲线方程为已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求：求： (1)以以2为斜率的弦的中点轨迹；为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；的弦的中点轨迹； (3)以定点以定点B(2,1)为中点的弦所在为中点的弦所在 的直线方程的直线方程. (4)以定点以定点(1,1)为中点的弦存在吗？为中点的弦存在吗？ 说明理由；说明理由

20、； 48基础课件 例. 2 2 2 2 y y 给给定定双双曲曲线线x-= 1,x-= 1,过过点点A(1,1)A(1,1)能能否否作作直直线线L L 2 2 使使L L与与所所给给双双曲曲线线交交于于两两点点P,Q,P,Q,且且A A是是线线段段PQPQ的的中中点点? ? 说说明明理理由由. . 11221122 解 : 假设存在P(x ,y ),Q(x ,y )为直线L上的两点,解 : 假设存在P(x ,y ),Q(x ,y )为直线L上的两点, 且PQ的中点为A,则有 :且PQ的中点为A,则有 : 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 y y x-= 1x-=

21、1 2 2 y y x-= 1x-= 1 2 2 1212121212121212 2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y ) ，即方程为 1212 1212 y - yy - y = 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1) x - xx - x 2 揶 V 2 2 2 2 2 2 y y x -= 1x -= 1 x - 4x + 3 = 0 0 x - 4x + 3 = 00,0, 原点原点O O（0 0，0 0）在以）在以ABAB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB OAOB，即，即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0, +1)=0, (a(a2 2+1) x+1) x1 1x x2 2 +a(x +a(x1 1+x+x2 2 )+1=0, )+1=0, 解得解得a=a=1.1. (1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点； 121222 2a2 xx,x x 3a3a 2