章末专题复习

1、章末专题复习章末专题复习 小专题小专题( ( 一一 ) )根的判别式的四种常见应用根的判别式的四种常见应用 小专题小专题 -3- 一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系如下:当0时,一元二次方程有两个不相 等的实数根;当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当0, 原方程有两个不相等的实数根. 小专题小专题 -6- 小专题小专题 -7- 小专题小专题 -8- 小专题小专题 -9- 小专题小专题 -10- 类型3根据条件证明方程根的情况 7.已知m2+2m-3=0.求证:关于x的方程x2-2mx-2m=0有两个不相等的实数根. 解:m2+2m-3=0,m2+2m=3, =4m2+8m=4(

2、 m2+2m )=120, 原方程有两个不相等的实数根. 8.已知关于x的一元二次方程x2-ax+a=1. ( 1 )求证:对于任意实数a,方程总有实数根; ( 2 )若方程的一个根是3,求a的值及方程的另一个根. 解:( 1 )x2-ax+a=1,x2-ax+a-1=0, =a2-41( a-1 )=a2-4a+4=( a-2 )2, ( a-2 )20,对于任意实数a,方程总有实数根. ( 2 )把x=3代入原方程,得a=4. 把a=4代入原方程,得x2-4x+3=0.x1=3,x2=1. 方程的另一个根是1. 小专题小专题 -11- 类型4根的判别式和根与系数的关系相结合 9.已知关于x

3、的方程x2-kx-2=0. ( 1 )试判断方程根的情况; ( 2 )设方程的两根为x1,x2,若2( x1+x2 )x1x2,求k的取值范围. 解:( 1 )=( -k )2-4( -2 )=k2+80, 方程有两个不相等的实数根. ( 2 )由题意得x1+x2=k,x1x2=-2, 代入不等式2( x1+x2 )x1x2, 得2k-2,k-1. k的取值范围是k-1. 小专题小专题 -12- 小专题小专题 -13- 11.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2( m+1 )x+m2+5=0的两实数根. ( 1 )若( x1-1 )( x2-1 )=28,求m的值; ( 2 )已知等腰

4、ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长. 小专题小专题 -14- 解:( 1 )根据题意得=4( m+1 )2-4( m2+5 )0, 解得m2, x1+x2=2( m+1 ),x1x2=m2+5, ( x1-1 )( x2-1 )=28,即x1x2-( x1+x2 )+1=28, m2+5-2( m+1 )+1=28, 整理得m2-2m-24=0, 解得m1=6,m2=-4,而m2, m的值为6. 小专题小专题 -15- ( 2 )x1,x2恰好是ABC另外两边的边长,而等腰ABC的一边长为7, 当7为腰长时,x=7必是一元二次方程x2-2( m+1

5、)x+m2+5=0的一个解,把x=7代入方程得49- 14( m+1 )+m2+5=0, 整理得m2-14m+40=0,解得m1=10,m2=4, 当m=10时,x1+x2=2( m+1 )=22,解得x2=15,而7+715,故舍去; 当m=4时,x1+x2=2( m+1 )=10,解得x2=3,则三角形周长为3+7+7=17; 当7为底边长时,x1=x2,则m=2,方程化为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3,则3+37,故舍去. 所以这个三角形的周长为17. 小专题小专题( ( 二二 ) )一元二次方程的解法归类一元二次方程的解法归类 小专题小专题 -17- 一元二次方程的解法有:直接

6、开平方法、配方法、公式法、因式分解法.在解方程的过程中, 要根据一元二次方程的特点选择合适的方法;先考虑能否用直接开平方法和因式分解法解,不 能用这两种方法解,再用公式法或配方法,公式法是解一元二次方程通用的方法,可以解所有的 一元二次方程. 类型1易于直接开平方的一元二次方程 1.一元二次方程( x-2018 )2+2017=0的根的情况是 ( D ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 小专题小专题 -18- 小专题小专题 -19- 小专题小专题 -20- 类型3用因式分解法解一元二次方程 5.一元二次方程x2-5x=0的根是 ( B ) A

7、.x=-3 B.x1=0,x2=5 C.x=3D.x1=0,x2=3 6.一元二次方程x( x-3 )=3-x的根是 ( C ) A.-1B.3 C.-1和3 D.1和2 7.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为12. 小专题小专题 -21- 8.解下列方程. ( 1 )-x2+3=-2x; 解:原式可化为x2-2x-3=0, ( x+1 )( x-3 )=0, x+1=0或x-3=0,解得x1=-1,x2=3. ( 2 )x( x+3 )=2x+6. 解:x( x+3 )=2x+6, x( x+3 )-2( x+3 )=0, ( x+3 )(

8、 x-2 )=0, x+3=0或x-2=0,解得x1=-3,x2=2. 小专题小专题 -22- 小专题小专题 -23- 小专题小专题 -24- 小专题小专题 -25- ( 2 )采用类似的方法解方程:( x2-2x )2-x2+2x-6=0. 解:设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0, 整理,得( y-3 )( y+2 )=0,得y=3或y=-2. 当y=3时,即x2-2x=3,解得x=-1或x=3; 当y=-2时,x2-2x=-2,=4-80,此时x无实数解. 综上所述,原方程的解为x1=-1,x2=3. 小专题小专题 -26- 类型7新定义型解方程 15.现定义运算“”,对于任意实数a,b,都有ab=a2-6a+b,如:35=32-63+5,若x2=9,则实数 x的值是 ( B ) A.-7或1 B.7或-1 C.7或-2 D.-7或2 16.定义新运算:对于任意实数a,b都有ab=a2+ab,如果34=32+34=9+12=21,那么 方程x2=0的解为x=0或x=-2. 小专题