相似三角形期末复习

1、相似三角形期末复习相似三角形期末复习 知识要点知识要点+练习提高练习提高 -万州德澳中学初三数学备课组万州德澳中学初三数学备课组 像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果 其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的 比， 如 （或a bc d），那么， 这四条线段叫做成比例线段成比例线段，简称比例 线段此时也称这四条线段成比例 d c b a 本章主要知识要点本章主要知识要点 d c b a dcba： 1.基本形式为：基本形式为： 或或 ， 2.比例中项：比例中项： ._ 82._82 比例中项是 的与线段的比例中项是与数cmcm4 cm4 当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时， 即即

2、a b b c = ， (或或 a：b=b：c)， 那么线段那么线段 b 叫做叫做a 和和 c 的的比例中项比例中项. 2 ac b 即：即： 如图如图, ,点点 C C 把线段把线段 AB AB 分成两条线段分成两条线段 AC AC 和和 BC ,BC , 如果如果 AC ABAC BC = 那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割(golden section),(golden section), 点点 C C 叫做叫做线段线段 AB AB 的黄金分割点的黄金分割点, , AC AC 与与 AB AB 的比叫做黄金比的比叫做黄金比. . C AB 5 1 2 0

3、.618AC ABAC BC = ACAB AC BC = AC2=AB BC 3.黄金分割：黄金分割： 3.黄金分割：黄金分割： ACB ._, 2ACABABC则的黄金分割点，线段是线段 15 1若m是5和4的比例中项，则m= , 2（2008 河北）如图：等腰ABC顶角A360，B的平分线BD交 AC于D，则 下列结论不成立的是（ ） A、BCAD B、点D是AC的黄金分割点。 C、 D、 A B C D DABCCC 2 BC CD BC AB 52 D 判定方法判定方法 相似形相似形 相似多边形相似多边形 相似三角形相似三角形 应用应用 性质性质 知识点知识点1 定义：定义： 对应角

4、相等、对应角相等、对应边成比例对应边成比例的三角形叫做相似三角形。的三角形叫做相似三角形。 相似比：相似比： 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 ABC ABC,如果如果BC=3,BC=1.5,那么那么 ABC 与与 ABC的相似比为的相似比为_. 2 1 相似三角形的常见判定方法有：相似三角形的常见判定方法有： （1）、）、利用两组对应角相等证明相似利用两组对应角相等证明相似 （2）、）、利用两边夹一角证明相似利用两边夹一角证明相似 （3）、）、利用三边对应成比例证明相似利用三边对应成比例证明相似 （1）对应角相等对应角相等,对应

5、边成比例对应边成比例 （2）相似三角形对应高、中线的比等于相似比相似三角形对应高、中线的比等于相似比 （3）相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相 似比的平方似比的平方 知识点知识点2 知识点知识点3 预备定理预备定理 三角形相似的判定方法有哪几种三角形相似的判定方法有哪几种? ? 预备定理预备定理 A BC DE DE A B C DEBC, DEBC, ADEADEABCABC 知识点知识点2 相似三角形判定定理相似三角形判定定理1 1：两个角对应相等的两个三角：两个角对应相等的两个三角 形相似形相似 ABCDEF 知识点知识点2 相似三角形判

6、定定理相似三角形判定定理2 2：两边对应成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似的两个三角形相似. . ABAB DEDE = = ACAC DFDF ABCDEF 知识点知识点2 相似三角形判定定理相似三角形判定定理3 3：三边对应成比例的两：三边对应成比例的两 个三角形相似个三角形相似. . ABAB DEDE = = ACAC DFDF = = BCBC EFEF ABCDEF 知识点知识点2 A D E B A C B A B C D ADE绕点A 旋转 D C A D E BC A BC D E B C A D E 点E移到与C点 重合 ACB=Rt CDAB *

7、相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾： 1 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例、相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2 2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比 等于相似比等于相似比 3 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方、相似三角形的面积比等于相似比的平方 知识点知识点3 1,相似比：相似比： 相似三角形的相似三角形的，叫做相似三角形的相似比。，叫做相似三角形的相似比。 练习练习: ABC ABC,如果如果BC=4,BC=14,那么那么 ABC与与 ABC的相似比为的相似比为_. 2 7 A A P P B B C C

8、1 1、若若 ACP ACPABCABC，AP=4AP=4，BP=5BP=5，则，则AC=_AC=_， ACP ACP与与ABCABC的相似比是的相似比是_，周长之比是，周长之比是 _，面积之比是，面积之比是_。 6 6 2 2 : 3: 3 2 2 : 3: 3 练一练练一练 4 : 94 : 9 2 2、如图：已知、如图：已知ABCABCCDBCDB9090，ACAC5cm5cm， BC=3cmBC=3cm，当当BDBD取多少取多少cmcm时时 ABCABC和和BDCBDC相似？相似？ 4 4 D D A A B B C C 5 5 3 3 知识点一：知识点一： 测量不能直接到达顶部的物体

9、的高度，通常使用在测量不能直接到达顶部的物体的高度，通常使用在“同一时刻物同一时刻物 体的物体的高度和影长成正比体的物体的高度和影长成正比”来解决。来解决。 例例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量 金字塔的高度金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒，先竖一根已知长度的木棒OB，比较棒子的，比较棒子的 影长影长AB与金字塔的影长与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度，即可近似算出金字塔的高度OB， 如果如果OB1，AB2，AB274， 求金字塔的高度求金字塔的高度OB。 知识点二：知识点二： 例例2我军一小分队到达

10、某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具， 就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在，再在 河的这一岸上选点河的这一岸上选点B和和C，使，使ABBC，然后选点，然后选点E，使，使ECBC， 用眼睛测视确定用眼睛测视确定BC和和AE的交点的交点D，此时如果测得，此时如果测得 BD120米，米，DC60米，米，EC50米，就能算出两岸间距离米，就能算出两岸间距离AB。 知识点三：知识点三：证明比例式或等积式证明比例式或等积式 例例3：如图已知：如图已知D、E是是ABC的边的边AB、

11、AC上的点，且上的点，且 ADEC求证：求证：ADABAEAC 证明证明: ADE=C, A=A: ADE=C, A=A AEDAEDABCABC( (两角对应相等两角对应相等, ,两三角形相似两三角形相似) ) = = AD AE AC AB ADABAEAC 作业作业: :如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中,E,E是是DCDC中点中点,FC= BC.,FC= BC. 求证求证: : ADEFAEEC 1 4 证明证明:四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形 BC=CD=ADBC=CD=AD，D=C=90D=C=90 EE是是BCBC中点，中点，FC= BCFC= BC 1

12、 4 1 2 DE AD 1 2 CF CE DECF ADCE ADEADEECFECF（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） A A B BC C D D E E F F = = AD AE EC EF ADEFAEEC 例题：例题： 如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，E为为BC上一点，上一点，DFAE于于F. (1)ABE与与ADF相似吗？请说明理由相似吗？请说明理由. (2)若若AB=6，AD=12，BE=8，求，求DF的长的长. (3) 若若AE=x, BE=y, AF=6，AD=12, y与与x之间有怎样的之间有怎样的 函数关系？函数

13、关系？ 例题教学例题教学: : 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一 个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45 （1 1）求证：）求证：ABDABDDCEDCE ADCADC是是ABDABD的外角的外角 ADC=ADE+2=B+1ADC=ADE+2=B+1 ）2 2 1 1 证明：证明：AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90 B=C=45B=C=45 又又ADE=45ADE=45 ADE=BADE

14、=B 1=21=2 ABDABDDCEDCE（两角相等，两三角形相似）（两角相等，两三角形相似） A A B BC C D D E E 拓展提高拓展提高 （2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量 x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值 解：解：ABDABDDCEDCE 1 1 x y 1y 2x ABBD CDCE 1 12 x yx 即 12yxx 2 21yxx 2 21 22 02 yx x 当当 2 2 x 时时 1 2 y 最小值 A A B BC

15、 C D D E E 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一 个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45 拓展提高拓展提高 B B C C A A Q Q P P 8 16 2cm/秒秒 4cm/秒秒 例例4 4、在、在ABCABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,AB=8cm,BC=16cm,点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB 边向边向B B点以点以2cm/2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动

16、，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC向点向点C C 以以4cm/4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P P、Q Q分别从分别从A A、B B同时出发，同时出发， 经几秒钟经几秒钟BPQBPQ与与BACBAC相似？相似？ 拓展提高拓展提高 9、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=8厘米，厘米， BC=16厘米，点厘米，点P从点从点A开始沿开始沿AB边向点边向点 B以以2厘米厘米/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点B开始开始 沿沿BC边向点边向点C以以4厘米厘米/秒的速度移动，若秒的速度移动，若 P,Q分别从分别从A,B同时出发，则经多少秒时同时出发，则经多少秒时 PBQ可与可与ABC相似？相似？ B P C A Q 例例5 5、如图、如图,DEBC,EFAB,DEBC,EFAB,且且S S ADEADE=25,S =25,S CEFCEF=36. =36. 求求ABCABC的面积的面积. . A A B BC C D D E E F F 2525 3636 解：解：DEBCDEBC，EFABEFAB A=CEFA=CEF，AED=CAED=C ADEADEEFCEFC 5 6 A E C E DEBCDEBC ADEADEABCABC S S ADEADE=25 =25 S S ABCABC=121 =