数字信号处理ch4_3脉冲响应不变法

1、 对转换提出的两点要求：对转换提出的两点要求： 1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳 定的。定的。 2、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响，、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响，S平面的平面的 虚轴对应虚轴对应Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。 如何将如何将转变为转变为? p, s p, sH(s)H(z) 频率频率 变换变换 设计模拟设计模拟 滤波器滤波器 AF到到DF 的转换的转换 1 1 1 i sT i T s se z 1 11 1 i sT i s se z H

2、(s)h(t)h(n)H(z) 拉氏反变换拉氏反变换抽样抽样t=nTZ变换变换 1 ()() j j ass j z e k H eHjjk T 1 ( ) N i a i i A Hs ss 1 1 ( ) 1 i N i sT i TA H z ez 1 1 22 1 () s s 1 11 1 1 212 1 1cos 1 2cos T TT z eT z eTz e 1 1 22 1 ()s 1 11 1 1 212 1 sin 1 2cos T TT z eT z eTz e 对转换提出的两点要求：对转换提出的两点要求： 1、因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳、因果稳定

3、的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳 定的。定的。 2、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响，、数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响，S平面的平面的 虚轴对应虚轴对应Z平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。平面的单位圆，相应的频率之间呈线性关系。 2 () ()(2 ) jTM sTjTTjTMT T zeee ee e ( )( ) sT a z e HsH z T re T 0,1 0,1 0,1 r r r 1 ()() j j ass j z e k H eHjjk T 存在频谱混叠，故不能用存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设脉冲响应不变法设 计计高通、带阻高通、带阻等等

4、滤波器。滤波器。 数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位脉冲响应，时域特性逼近好。的单位脉冲响应，时域特性逼近好。 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 ( ) c c H s s 利用脉冲响应不变法求利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。 1 ( ) 1 c c T T H z ez j j (e ) 1e c c T T H e (j ) j c c H 利用单极点利用单极点H

5、(s) 与与H(z)的映射关系，可得的映射关系，可得 AF与与DF的频率响应分别为的频率响应分别为 其中其中 T，抽样频率为抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下的幅度响应如下 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 ( ) c c H s s 利用脉冲响应不变法求利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。 0510152025 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hz DF AF fsam=50 Hz 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为设一阶模拟低通滤波器的系统函数为 ( ) c c H s s 利用脉冲响应不变法求

6、利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出，并分别画出AF与与DF的幅度响应。的幅度响应。 020406080100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hz DF AF fsam=200 Hz 1. 1. 将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 k 转换为转换为 模拟滤波器的频率指标模拟滤波器的频率指标 k 2. . 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。 3. 利用脉冲响应不变法，将利用脉冲响应不变法，将H(s)转换转换H(z)。 / kk T p, s p, sH(s)H(z) = /T设计模拟设计模拟 滤波器滤波器 脉冲响应不变脉冲响应不

7、变 利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DLF，满足，满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB (1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标将数字低通指标转换成模拟低通指标 = / T. p=0.2/T, s=0.6/T, p 2dB, s 15dB (2) 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 （BW型）型） s p 0.1 100.1 10sp 101 log () 101 2log (/) N =2 s s c 0.11/2 (101) N =0.8013 /T a 2 1 ( ) ()21 cc Hs ss 6421. 0)(

8、1356. 1)( 6421. 0 2 sTsT 利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DLF，满足，满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB (3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 极点为极点为s1=( 0.5678 + 0.5654j)/T, s2=( 0.5678 0.5654j)/T 利用利用 1 1 1 i sT i T ssez 可得可得DF的系统函数为的系统函数为 1 12 0.3448 ( ) 1 0.95710.3212 z T H z zz a 12 0.5678j0.5

9、678j ( )Hs ssss ：AF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量 ：抽样频率：抽样频率 ：DF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量 u脉冲响应不变法的脉冲响应不变法的MATLAB实现实现 利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DF，满足，满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As

10、=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,s); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10(0.1*Ap)-1)(1/N/2); %determine the AF-BW filter numa,dena=butter(

11、N,wc,s); 利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DF，满足，满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB %determine the DF filter numd,dend=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm); xlabel(Normalize

12、d frequency); ylabel(Gain,dB); %computer Ap As of the designed filter w=Wp Ws; h=freqz(numd,dend,w); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2); 利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DF，满足，满足 p=0.2 , s=0.6 , p 2dB, s 15dB 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -18 -16 -14 -1

13、2 -10 -8 -6 -4 -2 0 Normalized frequency Gain,dB p = 1.72dB s = 14.2dB 四、思 考 题 用脉冲响应不变法设计一个低通数字滤波器，用脉冲响应不变法设计一个低通数字滤波器， 已知模拟归一化低通滤波器的传递函数为已知模拟归一化低通滤波器的传递函数为 模拟截止频率模拟截止频率fc为为1kHz，采样频率，采样频率fs为为4kHz。 （1）试求数字低通滤波器的系统函数？）试求数字低通滤波器的系统函数？ （2）画出其级联型网络结构图。）画出其级联型网络结构图。 1 ( ) (2)(1) H p pp 四、思 考 题 用脉冲响应不变换法设计

14、无限脉冲响应 (IIR)数字低通滤波器，要求通带截止频 率 rad，通带衰减不大于3dB，阻 带截止频率 rad，阻带衰减不 小于20dB。以巴特沃斯(Butterworth)模 拟低通滤波器为原型，采样间隔T=2s。 0.2 p 0.5 s 作 业 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器型带通滤波器 l=6 rad/s, u=8 rad/s, s1=4 rad/s, s2=11 rad/s, p 1 dB, s 32dB。 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p 1dB, s 40dB 试设计

15、一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤波器 p=1dB; s=20dB; l=10; u=30; s1=19; s2=21。 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p 1dB, s 40dB (1) 将高通指标转换为原型低通滤波器技术指标将高通指标转换为原型低通滤波器技术指标 , p1dB, s 40dB (2) 设计设计BW型原型低通滤波器型原型低通滤波器 s p 0.1 100.1 10sp 101 log () 101 3.28 2log (/) N 取取N=4 s 5 s c 0.11/

16、2 5.033 10 (101) N ps 1/(2 5000),1/(2 1000) 设计满足下列条件的模拟设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, p 1dB, s 40dB (2) 设计设计BW型原型低通滤波器型原型低通滤波器 N=4， c=5.033 10 5 BW型原型低通滤波器的系统函数为型原型低通滤波器的系统函数为 a 22 cccc 1 ( ) (/)0.7654/1(/)1.8478 /1 G s ssss (3) 由变换由变换HHP(s)=GL (1/s)获得高通滤波器获得高通滤波器 171329344 4 HP 105585.

17、 1100497. 2103478. 110192. 5 )( ssss s sH 18 443921318 6.4166 10 1.3152 108.6485 103.3315 106.4166 10ssss 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器型带通滤波器 l=6 rad/s, u=8 rad/s, s1=4 rad/s, s2=11 rad/s, p 1 dB, s 32dB。 (1) 由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数 2 ul B 2 0 48 ul (2) 确定原型低通滤波器的阻带截频确定原型低通滤波器的阻带

18、截频 4 )( 1s1p2p 2p1p 2 s1 1s 3182. 3 )( s21p2p 2p1p 2 s2 s2 3182. 3,min s2s1s 故故 (3) 设计满足下列指标的原型低通滤波器设计满足下列指标的原型低通滤波器 dB32,3182. 3,dB1, 1 sspp AA 6346. 3 )/(log2 ) 110 110 (log ps10 1 . 0 1 . 0 10 p s A A N取取N=4 3211 . 1 ) 110( 2/11 . 0 s c s NA 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器型带通滤波器 l=6 rad/s, u=8 r

19、ad/s, s1=4 rad/s, s2=11 rad/s, p 1 dB, s 32dB。 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器型带通滤波器 p1=6 rad/s, p2=8 rad/s, s1=4 rad/s, s2=11 rad/s, Ap 1 dB, As 32dB。 (3) 设计设计BW型原型低通滤波器型原型低通滤波器N=4， c=1.3211 1/8478. 1)/(1/7654. 0)/( 1 )( c 2 cc 2 c L ssss sH (4) 将原型低通滤波器转换为带通滤波器将原型低通滤波器转换为带通滤波器HBP(s) Bs s s sHsH 2

20、 0 2 )()( LBP )10304. 2100971. 010103. 02( 7372.48 332334 4 ssss s )10304. 2102343. 010103. 0100049. 0( 1 3323334 ssss 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器型带阻滤波器 p=1dB; s=20dB; l=10; u=30; s1=19; s2=21。 (1) 由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数 2 1s2s B399 2s1s 2 0 (2) 确定原型低通滤波器的通带截频确定原型低通滤波器的通带截频 0669.0 )( s2s1 2 p1 p1s1s2 p1 1198.0 )( s2s1 2 p2 p2s1s2 p2 故故 1198.0,max p2p1p 试设计一个满足下列指标的试设计一个满足下列指标的BW型带