第11章 影响线及其应用(李廉锟_结构力学-中南大学2013年课件)

1、第十一章第十一章 影响线及其应用影响线及其应用 11-1 影响线的概念影响线的概念 11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线用静力法作单跨静定梁的影响线 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 11-6 桁架的影响线桁架的影响线 11-9 最不利荷载位置最不利荷载位置 11-10 换算荷载换算荷载 11-11 简支梁的绝对最大弯矩简支梁的绝对最大弯矩 11-12 简支梁的包络图简支梁的包络图 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值 11-8 铁路和公路的标准荷载

2、制铁路和公路的标准荷载制 本章总结本章总结 移动荷载：移动荷载：荷载大小、方向荷载大小、方向不变不变，荷载作，荷载作 用点用点随时间随时间改变改变，结构所产生，结构所产生加速度加速度的反应的反应 与静荷载反应相比与静荷载反应相比可以忽略可以忽略，这种特殊的作，这种特殊的作 用荷载称移动荷载。用荷载称移动荷载。(车辆荷载车辆荷载、人群荷载人群荷载、 吊车荷载吊车荷载等等) 固定荷载：固定荷载：荷载的大小、方向和作用点在荷载的大小、方向和作用点在 结构的空间位置上是固定不变的。结构的空间位置上是固定不变的。 一、移动荷载一、移动荷载 结构在固定荷载作用下，其反力和各处的内力与结构在固定荷载作用下，

3、其反力和各处的内力与 位移也是不变的。位移也是不变的。 11-1 影响线的概念影响线的概念 在结构分析和设计中，必须解决以下问题：在结构分析和设计中，必须解决以下问题： （1）某量值的变化范围和变化规律；）某量值的变化范围和变化规律； （2）计算某量值的最大值，作为设计的依据。）计算某量值的最大值，作为设计的依据。 这就要先确定最不利荷载位置这就要先确定最不利荷载位置即使结构某量即使结构某量 值达到最大值的荷载位置。值达到最大值的荷载位置。 影响线是解决以上问题最方便的工具和手段。影响线是解决以上问题最方便的工具和手段。 结构在移动荷载作用下，其反力和各处的内力与结构在移动荷载作用下，其反力和

4、各处的内力与 位移位移( (统称为量值统称为量值) )将随着荷载位置的不同而变化。将随着荷载位置的不同而变化。 11-1 影响线的概念影响线的概念 数字和量纲均为数字和量纲均为1 1，可以在实，可以在实 际移动荷载可到达的范围内移动。际移动荷载可到达的范围内移动。 影响线定义影响线定义: :当一个方向不变的单位荷载在结构当一个方向不变的单位荷载在结构 上移动时，表示结构某指定截面处的某一量值变化上移动时，表示结构某指定截面处的某一量值变化 规律的函数图形，就称为该量值的影响线。规律的函数图形，就称为该量值的影响线。 二、影响线的概念二、影响线的概念 最典型的移动荷载：最典型的移动荷载： 单位移

5、动荷载单位移动荷载 11-1 影响线的概念影响线的概念 F=1 FR F=1 FR =1 F=1 FR =0 Y X 3/4 1/2 1/4 1 -反力反力FR的影响线的影响线 单位移动荷载作用下某单位移动荷载作用下某 物理量随荷载位置变化规物理量随荷载位置变化规 律的图形。律的图形。 F=1 FR =3/4 l/4 F=1 FR =1/2 l/2 F=1 FR =1/4 3l/4 11-1 影响线的概念影响线的概念 F x l B =1 A 1 y 1 y 2 1 在研究移动荷载作用所产生的影响时，在研究移动荷载作用所产生的影响时，只要把单只要把单 位移动荷载作用下对某量值的影响分析清楚，根

6、据叠位移动荷载作用下对某量值的影响分析清楚，根据叠 加原理，可求得各种实际移动荷载对该量值的影响。加原理，可求得各种实际移动荷载对该量值的影响。 FF1 2 2211 yFyFFB FB的影响线的影响线 绘制影响线的方法：绘制影响线的方法： 静力法静力法静力平衡条件；静力平衡条件； 机动法机动法虚位移原理。虚位移原理。 11-1 影响线的概念影响线的概念 3. 根据函数关系，绘制出该量值的影响线。若影根据函数关系，绘制出该量值的影响线。若影 响线为正值，则绘于响线为正值，则绘于y 轴正向；反之，绘于轴正向；反之，绘于y 轴负向。轴负向。 一、简支梁的影响线一、简支梁的影响线 用静力法绘制图示简

7、支梁用静力法绘制图示简支梁AB的反力、弯矩和剪的反力、弯矩和剪 力影响线。力影响线。 建立坐标系建立坐标系以以A点为坐标原点，以点为坐标原点，以x 表示表示 荷载荷载 F=1作用点的横坐标。作用点的横坐标。 用用静力法静力法作静定梁影响线的基本步骤：作静定梁影响线的基本步骤： 1. 建立坐标系。选取坐标原点，以建立坐标系。选取坐标原点，以F=1的移动的移动 方向为方向为x轴（轴（x 轴的指向可以任意假设），以与轴的指向可以任意假设），以与F=1 指向相反的方向作为指向相反的方向作为y 轴正方向建立坐标系。轴正方向建立坐标系。 2. 建立静力平衡方程，将该量值表示为建立静力平衡方程，将该量值表示

8、为x 的函数。的函数。 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 1. 支座反力的影响线支座反力的影响线 (1) 反力反力FyA的影响线的影响线 取梁整体为隔离体，由取梁整体为隔离体，由 0)(1 xllFM yAB FyA的影响线方程为的影响线方程为 l x l xl FyA 11 )0(lx FyA 是是x 的一次函数，影响线为一直线。的一次函数，影响线为一直线。 只需定出两点的纵坐标即可绘出影响线。只需定出两点的纵坐标即可绘出影响线。 把正的纵坐标画在基线的上面并标上正号。把正的纵坐标画在基线的上面并标上正号。 1, 0 yA Fx0, yA Flx F l ba C

9、A B FyA FyB =1 x 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 (2) 反力反力FyB 的影响线的影响线 由由 0 lFxFM yBA 得得 l x l x FFyB )0(lx 此即此即FyB 的影响线方程。由两点的纵坐标的影响线方程。由两点的纵坐标 即可绘出即可绘出FyB 的影响线的影响线. 由于单位荷载由于单位荷载F=1的量纲是的量纲是1 1，所以反力影响线的，所以反力影响线的 纵坐标的量纲也是纵坐标的量纲也是1 1。 0, 0 yB Fx 1, yB Flx b l a FyB =1F x C A B FyA 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静

10、定梁的影响线 2.弯矩的影响线弯矩的影响线 作弯矩的影响线时，首作弯矩的影响线时，首 先明确要作哪一个截面的弯先明确要作哪一个截面的弯 矩影响线。现拟作图示简支矩影响线。现拟作图示简支 梁截面梁截面C 的弯矩影响线。的弯矩影响线。 当荷载当荷载F=1在截面在截面C的左方移动时，为了计算简便，的左方移动时，为了计算简便， 取梁中取梁中CB段为隔离体，并规定以使梁下面纤维受拉段为隔离体，并规定以使梁下面纤维受拉 的弯矩为正，由的弯矩为正，由MC = 0 ，得，得 由此可知，由此可知，MC 的影响线在截面的影响线在截面C 以左部分为一直以左部分为一直 线，由两点的纵坐标线，由两点的纵坐标 00 C

11、xM， )0(axb l x bFM yBC b l a FyB =1F x C A B FyA C ab xa M l ， 即可绘出即可绘出AC 段段MC 的的 影响线。影响线。 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 当荷载当荷载F =1在截在截 面面C 的右方移动时，的右方移动时， 取梁中取梁中 AC 段为隔离段为隔离 体，再由体，再由 MC = 0 ，得，得 由此可知，由此可知，MC 的影响线在截面的影响线在截面C 以右部分也为一直线，以右部分也为一直线， 由两点的纵坐标由两点的纵坐标 C ab xaM l ，0 C xlM， )(lxaa l xl aFM yAC

12、 b l a FyB =1F x C A B FyA 即可绘出即可绘出BC段的段的MC影响线。影响线。 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 MC 的全部影响线是由两段直线所组成，的全部影响线是由两段直线所组成，直线的直线的 相交点位于截面相交点位于截面C 处的纵坐标顶点。通常称截面以处的纵坐标顶点。通常称截面以 左的直线为左直线，截面以右的直线为右直线。左的直线为左直线，截面以右的直线为右直线。 分析弯矩影响线方程可以看出，分析弯矩影响线方程可以看出，MC的左直线为反力的左直线为反力FyA 的影响线将纵坐标乘以的影响线将纵坐标乘以b而得到，右直线可由反力而得到，右直线可

13、由反力FyB的影的影 响线将纵坐标乘以响线将纵坐标乘以a而得到。因此，可以利用而得到。因此，可以利用FyA和和 FyB的影的影 响线来绘制弯矩响线来绘制弯矩MC的影响线：在左、右两支座处分别取纵的影响线：在左、右两支座处分别取纵 坐标坐标a、b，将它们的顶点各与右、左两支座处的零点用直，将它们的顶点各与右、左两支座处的零点用直 线相连，则这两根直线的交点与左、右零点相连部分就是线相连，则这两根直线的交点与左、右零点相连部分就是 MC的影响线。这种利用已知量值的影响线来作其他量值影的影响线。这种利用已知量值的影响线来作其他量值影 响线的方法，能带来较大的方便。响线的方法，能带来较大的方便。 由于

14、单位荷载由于单位荷载F=1的量纲是的量纲是1，故弯矩影响线的，故弯矩影响线的 量纲为长度的量纲。量纲为长度的量纲。 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 3.剪力影响线剪力影响线 作剪力影响线同样要作剪力影响线同样要 先指定截面的位置，并分先指定截面的位置，并分 别考虑荷载别考虑荷载F=1在指定截在指定截 面的左方和右方移动。现面的左方和右方移动。现 拟作图示简支梁截面拟作图示简支梁截面C的的 剪力影响线。剪力影响线。 当荷载当荷载F=1在截面在截面C的左方移动时，取右边的左方移动时，取右边CB段段 为隔离体，并规定使隔离体有顺时针转动趋势的剪为隔离体，并规定使隔离体有顺

15、时针转动趋势的剪 力为正，则力为正，则 l x FF yBC S )0(ax 当荷载当荷载F=1在截面在截面C的的右方右方移动时，取左边移动时，取左边AC段为隔离段为隔离 体，则体，则 b l a FyB =1F x C A B FyA l xl FF yAC S )(lxa 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 由以上两式可知：在截面由以上两式可知：在截面C以左，剪力的以左，剪力的FSC影影 响线与响线与FyB的影响线的各纵坐标数值相等，但符号相的影响线的各纵坐标数值相等，但符号相 反；在截面反；在截面C 以右，剪力以右，剪力FSC的影响线与的的影响线与的FyA影响影响

16、 线完全相同。据此，可作出剪力线完全相同。据此，可作出剪力FSC 的影响线，显的影响线，显 然，它的左直线与右直线相互平行，且在截面然，它的左直线与右直线相互平行，且在截面C 处处 发生突变，突变值为发生突变，突变值为1。 l x FF yBC S )0(ax l xl FF yAC S )(lxa 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 二、伸臂梁的影响线二、伸臂梁的影响线 伸臂梁影响线的伸臂梁影响线的 作法与简支梁类似。作法与简支梁类似。 1.1.反力反力FyA 、FyB 的影响线的影响线 仍以仍以A点为坐标原点，以点为坐标原点，以x表示荷载表示荷载F=1作用点作用点

17、的横坐标，向右为正，向左为负。利用整体平衡条的横坐标，向右为正，向左为负。利用整体平衡条 件，可分别求得反力件，可分别求得反力 FyA 、FyB 的影响线方程为的影响线方程为 )( 1 21 llxl l x F l x F yB yA F x CAB FyAFyB =1 DE ll1l2 ba 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 当当F=1位于位于A点以左时，点以左时，x 为负值。以上两方为负值。以上两方 程与简支梁的反力影响线方程完全相同，在梁的程与简支梁的反力影响线方程完全相同，在梁的 全长范围内都是适用。全长范围内都是适用。 因此只需将简支梁的反力影响线向两个伸

18、臂因此只需将简支梁的反力影响线向两个伸臂 部分延长，即得伸臂梁的反力影响线部分延长，即得伸臂梁的反力影响线 。 )( 1 21 llxl l x F l x F yB yA F x CAB FyAFyB =1 DE ll1l2 ba 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 当荷载当荷载F=1在截面在截面C 的左方移动时，弯矩的左方移动时，弯矩MC 和剪力和剪力FSC影响线方程为影响线方程为 2. .两支座之间的截面弯矩和剪力两支座之间的截面弯矩和剪力 影响线影响线 yBC yBC FF bFM S )( 1 axl 当荷载当荷载F=1在截面在截面C C的的 右方移动时，弯矩

19、右方移动时，弯矩MC和剪和剪 力力FSC 影响线方程为影响线方程为 yAC yAC FF aFM S )( 2 llxa 由影响线方程绘出由影响线方程绘出MC和和FSC影响线。影响线。 也可也可将简支梁相应截面的将简支梁相应截面的MC和和FSC影响线的左、右影响线的左、右 直线两伸臂部分延长而得伸臂梁的直线两伸臂部分延长而得伸臂梁的MC和和FSC影响线。影响线。 F x CA B FyAFyB =1 DE ll1l2 ba 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 3. 截面截面K的弯矩的弯矩MK和剪力和剪力FSK影响线影响线 在求伸臂部分上任一指定截面在求伸臂部分上任一指定

20、截面K的弯矩的弯矩MK 和剪和剪 力力FSK影响线时，改取影响线时，改取K点为坐标原点，并规定点为坐标原点，并规定x以向以向 左为正。左为正。 当荷载当荷载F=1在截面在截面K的左方移动时，取截面的左方移动时，取截面K以以 左部分为隔离体，则由平衡条件可得弯矩左部分为隔离体，则由平衡条件可得弯矩MK和剪力和剪力 FSK影响线方程为影响线方程为 1 SK K F xM ） 1 0(lx x ba C ABDEK d =1F 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 当荷载当荷载F=1在截面在截面K的右方移动时，任取截面的右方移动时，任取截面K以以 左部分为隔离体，则左部分为隔离

21、体，则 0 0 SK K F M 据此可绘出弯矩据此可绘出弯矩MK和剪力和剪力FSK 影响线。影响线。 只有当荷载作用在只有当荷载作用在DA段时，才对段时，才对MK 、 FSK 有影响。有影响。 x ba CA BDEK d =1F 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 4. 支座处截面的剪力影响线支座处截面的剪力影响线 对于支座处截面的剪力影响线，需按支座左、对于支座处截面的剪力影响线，需按支座左、 右两侧截面分别考虑。右两侧截面分别考虑。 绘制支座绘制支座A左、右两侧的剪力影响线。左、右两侧的剪力影响线。 支座支座A左侧位于伸臂部分，故剪力左侧位于伸臂部分，故剪力FS

22、K左 左的影响 的影响 线，可由上面剪力线，可由上面剪力FSK 的影响线使截面的影响线使截面K趋于截面趋于截面A 左而得到。左而得到。 支座支座A右侧位于支座之间的跨中部分，故剪力右侧位于支座之间的跨中部分，故剪力 FSA右 右的影响线，可由前面剪力 的影响线，可由前面剪力FSC 的影响线使截面的影响线使截面C 趋于截面趋于截面A右而得到。右而得到。 x ba CAB =1 DEK d F 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 可见：用静力法绘制求某一量值的影响线，所可见：用静力法绘制求某一量值的影响线，所 用方法与在固定荷载作用下静力计算方法是完全相用方法与在固定荷载作

23、用下静力计算方法是完全相 同的，都是取隔离体，建立平衡条件来求解。不同同的，都是取隔离体，建立平衡条件来求解。不同 之处仅在于作影响线时，作用的荷载是一个移动的之处仅在于作影响线时，作用的荷载是一个移动的 单位荷载，因而所求得的量值是荷载位置单位荷载，因而所求得的量值是荷载位置x的函数，的函数， 即影响线方程。即影响线方程。 注意：当荷载作用在结构的不同部分上所求量注意：当荷载作用在结构的不同部分上所求量 值的影响线方程不相同时，应将它们分段写出，并值的影响线方程不相同时，应将它们分段写出，并 在作图时注意各方程的适用范围。在作图时注意各方程的适用范围。 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静

24、力法作静定梁的影响线 三、影响线与内力图的比较三、影响线与内力图的比较 影响线表示当单位荷载沿结构移动时，某指定影响线表示当单位荷载沿结构移动时，某指定 截面处的某一量值的变化情形；截面处的某一量值的变化情形； 内力图表示在固定荷载作用下，某种量值在结内力图表示在固定荷载作用下，某种量值在结 构所有截面上的分布情形。构所有截面上的分布情形。 由某一个内力图，不能看出当荷载在其他位置时由某一个内力图，不能看出当荷载在其他位置时 这种内力将如何分布。这种内力将如何分布。 由某一量值的影响能看出单位荷载处于结构的由某一量值的影响能看出单位荷载处于结构的 任何位置时，该量值的变化规律，但其不能表示其任

25、何位置时，该量值的变化规律，但其不能表示其 他截面处的同一量值的变化情形。他截面处的同一量值的变化情形。 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 MC的影响线上，纵坐标的影响线上，纵坐标 yK 代表荷载代表荷载F=1作用作用 在点在点 K 时，在截面时，在截面C的弯矩的弯矩 MC 的大小。的大小。 弯矩图上，纵坐弯矩图上，纵坐MK 标代表固定荷载标代表固定荷载F 作用于作用于 C 点时，截面点时，截面K 所产生的弯矩。所产生的弯矩。 Fx l ba C A B =1 K yK MC的的影响线 ab l M图 Fab l MK (a) l ba C B K F A (b) F

26、x l ba C A B =1 K yK 的的影响线 ab l M图 Fab l M (a) l ba C B K F A (b) K MC 11-2 用静力法作静定梁的影响线用静力法作静定梁的影响线 荷载有时不是直接作用而是通过纵横梁系间接荷载有时不是直接作用而是通过纵横梁系间接 地作用于结构。地作用于结构。 主梁只在各横梁主梁只在各横梁 处处( (结点处结点处) )受到集中受到集中 力作用。对主梁来说，力作用。对主梁来说， 这种荷载称为间接荷这种荷载称为间接荷 载或结点荷载。载或结点荷载。 首先，作出直接荷载作用下主梁某量值（首先，作出直接荷载作用下主梁某量值（MC） 的影响线。对于间接荷

27、载来说，在各结点处的纵坐的影响线。对于间接荷载来说，在各结点处的纵坐 标都是正确的。标都是正确的。 其次，考虑荷载其次，考虑荷载F=1在任意两相邻结点（在任意两相邻结点（D、E） 之间的纵梁上移动时的情况。之间的纵梁上移动时的情况。 DE BA C 主梁 纵梁 横梁(节点) F=1 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线 在间接荷载作用下在间接荷载作用下, 主梁将在主梁将在D、E处分别受到结处分别受到结 点荷载点荷载 (d-x)/d 和和 x/d 的作用的作用。设直接荷载作用下影响。设直接荷载作用下影响 线在线在D、E 处的纵坐标分别为处的纵坐标分别为yD和和yE，则则根据影响

28、线根据影响线 的定义和叠加原理可知，在上述两结点荷载作用下的定义和叠加原理可知，在上述两结点荷载作用下 MC 值应为值应为 CDE dxx Myy dd 可见可见: : MC在在DE 段内段内 的影响线为一直线的影响线为一直线, 由由 在在D处，处，x=0 , MC=yD 在在E处，处，x=d , MC=yE 可知，用直线连接纵坐标可知，用直线连接纵坐标yD和和yE的顶点就是的顶点就是MC在在 DE段这部分的影响线。段这部分的影响线。 AB DE F=1 x dd d-x d x C 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线 （2）然后取各结点处的纵坐标，并将其顶点在然后取各结点

29、处的纵坐标，并将其顶点在 每一纵梁范围内连以直线。即得到在间接荷载作用每一纵梁范围内连以直线。即得到在间接荷载作用 下该量值的影响线下该量值的影响线 。 例：求下图所示主次梁结构的主梁影响线例：求下图所示主次梁结构的主梁影响线 a =1F K B A 间接荷载作用下影响线的一般方法归纳如下：间接荷载作用下影响线的一般方法归纳如下： （1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线；首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线； 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线 a =1F K B A FyB 的影响线的影响线 Mk 的影响线的影响线 FSk 的影响线的影响线 11-3 间接荷载作用

30、下的影响线间接荷载作用下的影响线 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线 作图示梁的作图示梁的MD、FSB影响线。影响线。 xF =1 P A BD H C 1m2m G 2m1m1m2m1m 2/3 B A HC 1m2m G 2m1m1m2m1m 2/3 4/3 1/3 D 2/3 BHC G 2/3 1/3 D MD影响线 1 1m2m2m1m1m2m1m 1/6 2/3 BAHCG 1/61/3 1/6 2/3 BHCG 1/61/3 B左FSB影响线 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线 11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线 xF

31、=1 P A BD H C 1m2m G 2m1m1m2m1m 1m2m2m1m1m2m1m A 1m2m2m1m1m2m1m 1 B AH C G 1 1 B H C G B右FSB影响线 机动法作影响线是以虚功原理为基础，把作内机动法作影响线是以虚功原理为基础，把作内 力或支座反力影响线的静力问题转化为作位移图的力或支座反力影响线的静力问题转化为作位移图的 几何问题。几何问题。 机动法有一个优点：不需经过计算就能很快绘机动法有一个优点：不需经过计算就能很快绘 出影响线的轮廓。因此对于某些问题，用机动法处出影响线的轮廓。因此对于某些问题，用机动法处 理特别方便。用静力法做出的影响线也可用机动

32、法理特别方便。用静力法做出的影响线也可用机动法 来校核。来校核。 以简支梁支座反力影响线为例，来说明机动法以简支梁支座反力影响线为例，来说明机动法 作影响线的原理和步骤。作影响线的原理和步骤。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 F x l ba C A B FyB =1 B P 一、求梁的支座一、求梁的支座B反力反力FyB的影响线的影响线 给体系以虚位移，列出虚功方程如下：给体系以虚位移，列出虚功方程如下： 将与将与FyB相应的约束支杆相应的约束支杆B 撤去，代以未知量撤去，代以未知量FyB ； 0 P FF ByB B yB F P 不论不论B为何值，比值为

33、何值，比值PB的变化规律恒为一的变化规律恒为一 定，令定，令B B=1 ，则得，则得 )(PxFyB P是与是与F 相应的位移（以与相应的位移（以与F正方向一致者为正）正方向一致者为正）, B 是与是与FyB相应的位移（以与相应的位移（以与FyB正方向一致者为正）。正方向一致者为正）。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 注意到注意到P 是以与力是以与力F 方向一致（方向一致（向下）向下）为正，当为正，当 P 向下时，向下时，FyB 为负；当为负；当P 向上时，向上时，FyB 为正。这就为正。这就 恰好与在影响线中正值的纵坐标绘在基线的上方相一恰好与在影响线中正

34、值的纵坐标绘在基线的上方相一 致致。 )(PxFyB F x l ba C A B FyB =1 B P 使使B =1 =1 的虚位移曲线的虚位移曲线P P 就代表了的就代表了的FyB 影影 响线，只是符号相反。响线，只是符号相反。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 (1) 撤去与撤去与Z相应的约束代以未知力相应的约束代以未知力Z 。 机动法作量值机动法作量值Z 的影响线的步骤如下：的影响线的步骤如下： (2) 使体系沿使体系沿Z 的正方向发生位移，作出荷载作用的正方向发生位移，作出荷载作用 点的竖向位移图（点的竖向位移图（P图），由此可定出图），由此可定出Z

35、 的影响线的的影响线的 轮廓。轮廓。 (3) 令令Z=1，可进一步定出影响线各竖距的数值。，可进一步定出影响线各竖距的数值。 (4) 横坐标以上的图形，影响线系数取正号；横横坐标以上的图形，影响线系数取正号；横 坐标以下的图形，影响线系数取负号。坐标以下的图形，影响线系数取负号。 F x l ba C A B FyB =1 B P 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 撤去与弯矩撤去与弯矩MC相应相应 的约束（即在截面的约束（即在截面C处处 改为铰结），代以一改为铰结），代以一 对等值反向的力偶对等值反向的力偶MC （下侧受拉为正）。（下侧受拉为正）。 给体系以虚

36、位移，求给体系以虚位移，求 得影响系数的数值，得影响系数的数值， 令令Z =1 ，即得到，即得到MC 影响线。影响线。 二、内力的影响线二、内力的影响线 1. 弯矩弯矩MC 的影响线的影响线 Fx l ba C A B FyA FyB =1 B b C MC A A l ab b 的影响线 C M （+） + 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 2. .剪力影响线剪力影响线 注意：由于截面注意：由于截面 C左右两侧不能发生左右两侧不能发生 相对角位移，故其虚相对角位移，故其虚 位移图中两直线应为位移图中两直线应为 平行直线，亦即平行直线，亦即FSC 影响线的左右

37、两直线影响线的左右两直线 是互相平行的。是互相平行的。 Fx l ba C A B FyA FyB =1 y F S F l b l a A B A B C C 1 SCCS F C的影响线 Z 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 例例11-1 试用机动法作图示静定多跨梁的试用机动法作图示静定多跨梁的MK、FSK、 MC、FSE和和FyD的影响线。的影响线。 1m G 1m 2m 2m C F D 1m3m F KB E 1m A H 3m x = G E FZB . K A H E F D B MKC K H Z G 的影响线 K M G 9 2 C F D

38、4 9 3 4 KB E A H 1 4 4 9 解解: :( (1) 撤去与撤去与 Z相应的约束代以相应的约束代以 未知力未知力Z，使体系使体系 沿沿Z Z 的正方向发生的正方向发生 位移，由此可定出位移，由此可定出 Z Z 的影响线的轮廓。的影响线的轮廓。 (2) 令令Z Z =1 =1， 可定出影响线各竖可定出影响线各竖 距的数值。距的数值。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 GBE K 1 CF A HD G E F H K K 3 3 4 4 1 4 3 2 3 4 4 1 K FS的影响线 G C F D 1 2 MC的影响线 1m G 1m 2m

39、 2m C F D 1m3m F KB E 1m A H 3m x = 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 的影响线 R F D 1.5 D G 1 FH 1m G 1m 2m 2m C F D 1m3m F KB E 1m A H 3m x = 的影响线 S F E 1 G 1 E C F H 2 D 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 可见：基本部分的内力（或支座反力）的影响线可见：基本部分的内力（或支座反力）的影响线 是布满全梁的，附属部分内力（或支座反力）的影响是布满全梁的，附属部分内力（或支座反力）的影响 线只在附属部分

40、不为零（基本部分上的线段恒等于线只在附属部分不为零（基本部分上的线段恒等于 零）。零）。 用机动法作连续梁的影响线和用机动法作静定用机动法作连续梁的影响线和用机动法作静定 多跨梁的影响线的原理一样，与量值对应的单位虚多跨梁的影响线的原理一样，与量值对应的单位虚 位移图即为该量值的影响线。位移图即为该量值的影响线。 三、机动法作连续粱的影响线三、机动法作连续粱的影响线 机动法作影响线是一个普遍适用的方法，不论机动法作影响线是一个普遍适用的方法，不论 结构的形式如何，也不论静定或超静定结构都可应结构的形式如何，也不论静定或超静定结构都可应 用。用。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作

41、单跨静定梁的影响线 注意：对静定结构为刚体虚位移图，由直线段组注意：对静定结构为刚体虚位移图，由直线段组 成；对超静定结构为变形体虚位移图，一般为曲线图成；对超静定结构为变形体虚位移图，一般为曲线图 形。形。 F=1 BCDEFK A 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 用机动法作连续梁某一量值用机动法作连续梁某一量值Z 影响线的具体步骤影响线的具体步骤 可归纳如下：可归纳如下： （1）去掉与所求量值）去掉与所求量值Z 相应的联系，代以所要求相应的联系，代以所要求 的量值的量值Z 的作用；的作用； （2）使体系沿）使体系沿Z 的正方向发生单位虚位移，得到的正方向

42、发生单位虚位移，得到 竖向虚位移图；竖向虚位移图； （3）在虚位移图上，标明正负号和各控制点的纵）在虚位移图上，标明正负号和各控制点的纵 坐标值，即得所求量值的影响线。坐标值，即得所求量值的影响线。 定性分析时，一般不计算各控制点的纵坐标值。定性分析时，一般不计算各控制点的纵坐标值。 11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线用机动法作单跨静定梁的影响线 多跨静定梁多跨静定梁具有基本部分和附属部分具有基本部分和附属部分 当当基本部分基本部分受力时，受力时，附属部分附属部分不受力不受力 当当附属部分附属部分受力时，受力时，基本部分基本部分必受力必受力 作影响线的步骤：作影响线的步骤： 1 1）先作量

43、值所在杆段影响线，它与相应单）先作量值所在杆段影响线，它与相应单 跨静定梁影响线相同跨静定梁影响线相同 2 2）相对于量值所在杆段为基本部分的杆段，）相对于量值所在杆段为基本部分的杆段， 竖标为竖标为0 0 3 3）相对于量值所在杆段为附属部分的杆段，）相对于量值所在杆段为附属部分的杆段， 其影响线为斜直线其影响线为斜直线 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 （ 1 M1 FyA影响线影响线 例：作例：作FyA 、 M1 、 M2 、 FS2 、 MB 、 FS3 、 FyC 、 FS4 、 FSC左左 、 FSC右右 影响线影响线 1 1 A BCD1 2 34 2m1m 1m1

44、m1m1m 1m2m1m1m FyA M1影响线影响线 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 M2影响线影响线M2 （ 1 1 A BCD1 2 34 2m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1m （ 1 MB FS2影响线影响线 2 MB影响线影响线 1 FS2 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 A BCD1 2 34 2m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1m FS3影响线影响线 1 FS3 1 FCy影响线影响线 FS4影响线影响线 1 FCy 1 FS4 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 A BCD1 2 34 2m1m 1m1m1m1m 1m2

45、m1m1m 1 FSC左左影响线影响线 FSC左左 FSC右右影响线影响线 FSC右右 1 在直角坐标系中在直角坐标系中,静定静定 结构的影响线是否一定是结构的影响线是否一定是 由直线段构成由直线段构成? 除了梁可用机动法除了梁可用机动法 作影响线作影响线,其它结构其它结构,如如 桁架、刚架、三角拱等，桁架、刚架、三角拱等， 是否也可用机动法？是否也可用机动法？ 11-5 多跨静定梁的影响线多跨静定梁的影响线 (4) 对于斜杆，为计算方便，可先绘出其水平或竖向分对于斜杆，为计算方便，可先绘出其水平或竖向分 力的影响线，然后按比例关系求得其内力影响线。力的影响线，然后按比例关系求得其内力影响线。

46、 (3) 桁架某杆件内力的影响线表示荷载沿承重弦移动时，桁架某杆件内力的影响线表示荷载沿承重弦移动时， 该杆件内力变化规律的曲线，其影响线方程，需通过计算该杆件内力变化规律的曲线，其影响线方程，需通过计算 单位移动荷载作用下该杆件的内力来获得。因此，静止荷单位移动荷载作用下该杆件的内力来获得。因此，静止荷 载作用时桁架内力的计算方法载作用时桁架内力的计算方法结点法和截面法结点法和截面法(截面法截面法 又包括力矩法和投影法又包括力矩法和投影法)，在此仍可应用。，在此仍可应用。 (2) 作用在桁架上的荷载一般是通过纵梁和横梁而作用作用在桁架上的荷载一般是通过纵梁和横梁而作用 到桁架结点上的，故上一

47、节所讨论的关于间接荷载作用下到桁架结点上的，故上一节所讨论的关于间接荷载作用下 影响线的性质，对桁架都是适用的。影响线的性质，对桁架都是适用的。 (1) 对于单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应对于单跨静定梁式桁架，其支座反力的计算与相应 单跨梁相同，故二者的支座反力影响线也完全一样。单跨梁相同，故二者的支座反力影响线也完全一样。 平面桁架的受力特点：平面桁架的受力特点： 11-6 桁架的影响线桁架的影响线 上承 下承 P=1 A R G R 方法：结点法与截面法 1、I.L RA及RG 0 C M 2、 . 1 NLI 1 取右隔离体以左在,1P A R G R 04 1 dRhN G

48、C M C P=1 h M NMhN C C 11 取左隔离体以右在,1P A BCDEFG abcdefg h l = 6d 1 N A BCDEFG abcdefg h l = 6d 1 N C 02 1 dRhN A C M h M NMhN C C 11 P=1 A B h d2 h d4 h d 3 4 1 .LNI P=1在B、C之间时，影响线为 直线段。 桁架影响线桁架影响线 P=1在B以左时 P=1在C以右时 上承 下承 P=1 A R G R 1 A R G R C P=1 A BCDEFG abcdefg h l = 6d 1 N A BCDEFG abcdefg h l

49、= 6d 1 N C P=1 A B h d2 h d4 3 4 6 421 1 d d dd l ba M CP C 点在 h d N 3 4 1 h d 3 4 1 .LNI 桁架影响线桁架影响线 A BCDEFG abcdefg h l = 6d c P=1P=1 A R G R A B 3. I.L N2 2 取截面 h M NM c c 2 0 h d 3 4 2 .LNI P=1 3 4、斜杆N3 Y NLI 3 . A BCDEFG abcdefg h l = 6d A R G R Y N3 Y N3 在以左： G Y RN 3 在以右： A Y RN 3 P=1 A R G R

50、 A B BC Y QN 3 1 1 6 1 3 2 Y NLI 3 . P=1 3 4、斜杆N3 Y NLI 3 . A BCDEFG abcdefg h l = 6d A R G R Y N3 Y N3 在以左： G Y RN 3 在以右： A Y RN 3 P=1 A R G R A B BC Y QN 3 1 1 6 1 3 2 Y NLI 3 . 平行弦桁架斜 杆轴力的YbC影响 线就是梁的节 间剪力QBC0影响线。 右下斜为正，右 上斜为负。 A BCDEFG abcdefg h l = 6d A R G R 5、竖杆N4 4 N4 P=1 P=1 A R G R A B 在C以左

51、： G RN 4 在D以右： A RN 4 CD QN 4 1 1 2 1 3 1 4 . NLI 下承 上承 6、N5 A BCDEFG abcdefg h l = 6d A R G R 5 1 5 . NLI 下承 上承 竖杆轴力NcC影响 线就是负的梁的节 间剪力QCD0影响线。 作桁架影响线时要 注意区分是上弦承 载，还是下弦承载。 注意：注意：作作平面平面桁架的影响线时，要注意区分桁桁架的影响线时，要注意区分桁 架是下弦承载（简称下承）还是上弦承载（简称上架是下弦承载（简称下承）还是上弦承载（简称上 承）。承）。 11-6 桁架的影响线桁架的影响线 例题；试绘制图示桁架例题；试绘制图

52、示桁架NFG、NCD、NFD影响线。影响线。 （一）（一）NFG影响线：影响线： 1、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面左在截面左 侧移动，研究其右半部：侧移动，研究其右半部： 0 D M02 1 rNdR FGB DBFG M r R r d N 11 12 2、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面右在截面右 侧移动，研究其左半部：侧移动，研究其左半部： 0 D M02 1 rNdR FGA DAFG M r R r d N 11 12 NFG影响线影响线 （二）（二）NCD影响线：影响线： 1、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面左在截面左 侧移动，研究其右半部：侧移动，研究

53、其右半部： 0 F M03 1 hNdR CDB FBCD M h R h d N 11 13 2、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面右在截面右 侧移动，研究其左半部：侧移动，研究其左半部： 0 F M0 1 hNdR CDA FACD M h R h d N 11 1 NCD影响线影响线 （三）（三）NFD影响线：影响线： 1、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面左在截面左 侧移动，研究其右半部：侧移动，研究其右半部： 0 K M0)( 2 rNalR FDB BFD R r al N 2 2、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面右在截面右 侧移动，研究其左半部：侧移动，研究其

54、左半部： 0 K M0 2 rNaR FDA AFD R r a N 2 NFD影响线影响线 一、一、 求位置已定的荷载作用下的量值求位置已定的荷载作用下的量值 F1 l ba C AB F2F3 y 1 y 2y 3 b l F C的影响线 a l S 先绘制出截面先绘制出截面C 的剪的剪 力影响线，由叠加原理力影响线，由叠加原理 求出截面求出截面C 的剪力的剪力FSC 。 求图示简支梁截面求图示简支梁截面 C 的剪力。的剪力。 i i C yFyFyFyFF 3 1 i332211S 1. 集中荷载作集中荷载作 用用 注意：注意：yi 应带正负符号。应带正负符号。 F1 l ba C AB

55、 F2F3 y 1 y 2y3 b l F C的影响线 a l S 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值 推广到一般情况。设有一组位置固定的集中荷推广到一般情况。设有一组位置固定的集中荷 载载F1 、F2 、 、Fn 作用于结构，结构的某一量值作用于结构，结构的某一量值Z 的影响线在各集中荷载作用点的纵坐标依次为的影响线在各集中荷载作用点的纵坐标依次为y1、 y2 、 、 yn ，则该量值，则该量值 Z 为为 i n i inn yFyFyFyFZ 1 2211 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值 将分布荷载沿其长度分为许多无限小的微段将分布荷载沿其长度分为许多无限小的微段dx。

56、 微段微段dx的荷载的荷载qxdx可作为一集中荷载，它引起的可作为一集中荷载，它引起的FSC的的 量值为量值为(qxdx y)，在，在mn区段内的分布荷载对量值区段内的分布荷载对量值 FSC 的影响为的影响为 n m x x x n m xC ydxqydxqFS 2. .分布荷载作用分布荷载作用 l ba a l b l q y x AB C mn 1 2 F C的影响线S mn q A B C qxdx x mn A mn A a l b l F C的影响线S dx x 利用利用FSC影响线影响线 求该分布荷载作用下求该分布荷载作用下 FSC的数值。的数值。 11-7 利用影响线求量值利用

57、影响线求量值 l ba a l b l q dx y x AB C mn F C的影响线S mn q A B C qxdx x mn x l b l a A nm A2 1 SC F 的影响线 推广到一般情况，利用某量值推广到一般情况，利用某量值 Z 的影响线求均的影响线求均 布荷载布荷载 q 作用下的作用下的Z 的影响量值的计算公式为：的影响量值的计算公式为： qAxyqF n m C d S ZqA 若若qx=q ，即对应均布，即对应均布 荷载情况，则上式变为荷载情况，则上式变为 A 为该均布荷载对应的影响线的面积的代数值。为该均布荷载对应的影响线的面积的代数值。 n m x x x n

58、m xC ydxqydxqFS A表示影响线在荷载分表示影响线在荷载分 布范围在布范围在mn区段内的面积。区段内的面积。 注意：注意：计算面积计算面积 A 时，应考虑影响线的正、负号。时，应考虑影响线的正、负号。 图示情况图示情况 A = A2A1。 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值 例例11-2 试利用影响线，求图示梁截面试利用影响线，求图示梁截面C 的弯矩的弯矩MC 和剪力和剪力FSC 。 DA E 2m6m2m3m 2.25m 1.5m 0.75m 0.375 0.25 0.75 =10kN=20kN F C的影响线 S MC的影响线 0.375 F2F1 =10kN/m q

59、C B 解解 先绘出双伸先绘出双伸 臂梁截面臂梁截面C的弯矩的弯矩 MC和剪力和剪力FSC的影响的影响 线，线，由上述公式求由上述公式求 弯矩弯矩MC和剪力和剪力FSC 。 mkN 25.11 )375. 0 2 1 65 . 1 2 1 (10010)25. 2(20 2211MMMC qAyFyFM DABC E F1 q F2 2m6m2m3m 1.5m =10kN/m =10kN=20kN MC的影响线0.75m 2.25m 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值 kN SSSS 375.24 ) 3375. 0 2 1 675. 0 2 1 (10010375. 020 2211

60、 qAyFyFF CCC DA E 2m6m2m3m 2.25m 1.5m 0.75m 0.375 0.25 0.75 =10kN=20kN F C的影响线 S MC的影响线 0.375 F2F1 =10kN/m q CB DABC E F1 q F2 2m6m2m3m 0.375 0.25 0.75 =10kN/m =10kN=20kN F C 的影响线 S 0.375 11-7 利用影响线求量值利用影响线求量值 11-8 铁路和公路的标准荷载制铁路和公路的标准荷载制 在移动荷载和可动荷载作用下，结构上各种量在移动荷载和可动荷载作用下，结构上各种量 值均将随着荷载位置的不同而变化，必须先确定