杆件的内力分析与内力图

1、第第5章章 杆件的内力分析与内力图杆件的内力分析与内力图 第一节第一节 内力及截面法内力及截面法 外力分为： 体积力：作用在物体整个体积上，是非接触力。 表面力：作用在物体表面上，是接触力。 常见的是：分布力，集中力，约束力（限制物体运动 的力）等。 1. 外力：其它物体对所研究物体（这儿指杆件） 的作用。又称外载，荷载，载荷。 内力的三个概念： （1 1）附加内力：只研究由外力作用而引起的那部分内力。）附加内力：只研究由外力作用而引起的那部分内力。 （2 2）连续分布：在研究物体内处处存在，无间断即是分布内力。）连续分布：在研究物体内处处存在，无间断即是分布内力。 （3 3）截面上分布内力的

2、合力：我们指的内力是指分布内力的合力）截面上分布内力的合力：我们指的内力是指分布内力的合力。 2. 内力：物体内部原子相互作用的力。 3. 暴露内力的方法- 截面法 用截面法求内力的三步骤： （1）截开； （2）代替； （3）平衡 求内力的三步骤：截开、代替、平衡 （1）截截开开：在需要求内力的截面处，假想地假想地将杆截成二部分； （2）代代替替：将两部分中的任一部分留下，并把弃去部分对留下 部分的作用代之以杆在截开面上的内力内力（力力或力偶力偶）； 【可见内力就是物体两部分之间的相互作用力。】 （3）平衡平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外 力算得截开面上的未知内力。 注意：在使

3、用注意：在使用截面法截面法之前之前不允许不允许使用使用 力的可移性原理力的可移性原理，因为将外力移动后，因为将外力移动后 就改变了杆件的变形性质，内力也随就改变了杆件的变形性质，内力也随 之改变。之改变。 第二节第二节 轴力与轴力图轴力与轴力图 一一. . 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 此类受轴向外力作用的等截面直杆称为此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆拉杆或或压杆压杆。 受力特点：直杆受到作用线与轴线重合的外力受力特点：直杆受到作用线与轴线重合的外力F作用。作用。 变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。 F F F F 截面法是求构件内力的基本方

4、法。一般可分为三个步骤为：截面法是求构件内力的基本方法。一般可分为三个步骤为： F F F FN 1.1.截截: : 沿沿mm横截面假想地将杆横截面假想地将杆 截开成两部分；截开成两部分； 2.2.留留: : 留下杆件的任意部分为研究留下杆件的任意部分为研究 对象，将弃去部分对留下部对象，将弃去部分对留下部 分的作用用内力代替；分的作用用内力代替； 3.3.平衡平衡: : 对留下部分写平衡方程求对留下部分写平衡方程求 出内力。出内力。 0X F FN N 0FF N FF m m 由于由于拉、压杆所受的拉、压杆所受的外力作用线外力作用线 与杆件的轴线重合，内力的作用与杆件的轴线重合，内力的作用

5、 线也与杆件的轴线重合，所以称线也与杆件的轴线重合，所以称 为为轴力轴力FN。 （1）当作用于杆上的集中外力的个数多于两个时，需要对）当作用于杆上的集中外力的个数多于两个时，需要对 杆进行杆进行分段分段，再用截面法求出各段的轴力，最后做出整个杆，再用截面法求出各段的轴力，最后做出整个杆 件的件的轴力图轴力图。 （2）轴力图中：横轴代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。）轴力图中：横轴代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。 标出轴力值及正负号（一般：标出轴力值及正负号（一般：正值正值画在横轴画在横轴上方上方，负值画在负值画在 横轴下方横轴下方）。）。 （3）轴力只与外力有关，截面）轴力只与外力有关，截面

6、 形状变化不会改变轴力大小。形状变化不会改变轴力大小。 FN x 轴力图轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。 注意：在使用注意：在使用截面法截面法之前之前不允许不允许使用使用 力的可移性原理力的可移性原理，因为将外力移动后，因为将外力移动后 就改变了杆件的变形性质，内力也随就改变了杆件的变形性质，内力也随 之改变。之改变。 例题例题2.1 已知 F1= 10 kN；F2 = 20 kN； F3 = 35 kN；F4 = 25kN；试画出图示杆试画出图示杆 件的轴力图。件的轴力图。 0X N11 0FF FN1 F1 解：解：1 1、计算杆件各段的轴力。、计

7、算杆件各段的轴力。 F3F2 F1F4 ABCD ABAB 段段 N212 10 kNFFF BCBC 段段 FN3 F4 FN2F1 F2 N221 0FFF kN图 N F x 25 10 1 1 2 2 3 3 N11 10 kNFF 0X 段CD N34 25 kNFF 2、绘制轴力图、绘制轴力图。 0X 4N3 0FF kN N F _ 10 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴力及轴力图 例例 试作图示杆的轴力图。试作图示杆的轴力图。 求支反力求支反力 kN10 R F 解：解： A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 600300500400 1800 FR 2 2

8、 F4= 20kN F3=25kNF2=55kNF1=40kN A B C D E 3 31 14 4 注意假设轴力为拉力注意假设轴力为拉力 拉）(kN10 1N F 横截面横截面1-11-1： 拉）(kN50 N2 F 横截面横截面2-22-2： FR 2 2 F4= 20kN F3=25kNF2=55kNF1=40kN A B C D E 3 31 14 4 FRFN1 1 1 A FR F1 FN2 A B 2 2 此时取截面此时取截面3-33-3右边为分离体方便，右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。仍假设轴力为拉力。 拉）(kN20 4N F 横截面横截面3-33-3： 压）kN(5

9、 3N F 同理同理 FR 2 2 F4= 20kN F3=25kNF2=55kNF1=40kN A B C D E 3 31 14 4 F3 F4 FN3 3 3 D E F4 FN4 4 4 E 由轴力图可看出由轴力图可看出 kN50 2Nmax,N FF 20 10 5 FN图图(kN) FR 2 2 F4= 20kN F3=25kNF2=55kNF1=40kN A B C D E 3 31 14 4 50 x 例例: 作图示杆件的轴力图，并指出作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max | FN |max=60 kN FN2= 660kN FN1=30kN 1 1 30kN FN1

10、60kN FN图图 30kN 0X N1 300F 解：解：1 1、计算杆件各段的轴力。、计算杆件各段的轴力。 ABAB 段段 BCBC 段段 N2 600F 0X 2、绘制轴力图、绘制轴力图。 90kN60kN30kN AB C 2 2 1 1 2 2 60kN FN2 + 第三节第三节 扭转和扭矩图扭转和扭矩图 汽车传动轴汽车传动轴 一一. 扭转的概念扭转的概念 1.1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。杆表面上的纵向线变成螺旋线。 受力特点受力特点： 圆截面直杆受到作用面位于横截面内的外力偶作用。圆截面直杆受到作用面

11、位于横截面内的外力偶作用。 变形特点变形特点： Me Me 二二. . 传动轴上外力偶矩的计算传动轴上外力偶矩的计算 转速转速：n(转转/分分) 输入功率输入功率：P(kW) Me 1分钟输入功：分钟输入功： PPW60000100060 1分钟分钟me作功作功 eee nMnMMW2) 12( WW 三三. . 截面法求扭转时的内力截面法求扭转时的内力 - -扭矩扭矩 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩， 用符号用符号T表示。表示。 扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。 仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表

12、明沿杆轴，表明沿杆轴 线各横截面上扭矩的变化情况。线各横截面上扭矩的变化情况。 扭矩扭矩T的的正负正负规定规定 右手螺旋法则右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+), (+), 反之为反之为 负负(-)(-) 例例 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输主动轮输 入的功率入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分，三个从动轮输出的功率分 别为：别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩

13、mkN9 .15mN) 300 500 1055. 9( 3 1 M mkN78. 4mN) 300 150 1055. 9( 3 32 MM mkN37. 6mN) 300 200 1055. 9( 3 4 M 解：解： 2 2 1 1 3 3 M1 M2 M3 M4 ABCD 分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩 mkN78. 4 21 MT m9.56kN )( 322 MMT mkN37. 6 43 MT 2 2 1 1 3 3 M1 M2 M3 M4 ABCD T1 1 1 x M2 A T2 A M2 B M3 2 2 x T3 3 3 D M4 x 扭矩图扭矩图 Tmax = 9

14、.56 kNm 在在BC段内段内 M1 M2 M3 M4 ABCD 4.78 9.56 6.37 T 图(kNm) 第四节第四节 弯曲内力和内力图弯曲内力和内力图 桥式吊梁桥式吊梁 1 一一. . 平面弯曲的概念平面弯曲的概念 镗刀杆镗刀杆 火车轮轴火车轮轴 弯曲特点弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为以弯曲变形为主的杆件通常称为梁梁 二二. 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 、梁的剪力和弯矩、梁的剪力和弯矩 l alF FA 取左侧分离体分析任一横截面取左侧分离体分析任一横截面m-m 上的内力上的内力 l alF FF A S l Fa FB x l alF xFM

15、 A m m x a AB F FB FA FA FS y A m m x x C M 0 y F 0 C M 由其右边分离体的平衡条件同样可得由其右边分离体的平衡条件同样可得 0 y F 0 C M l alF FFF B S 0 S B FFF 0 xlFxaFM B 切向应力的合力，切向应力的合力， 称为称为剪力剪力 法向应力的合力，称为法向应力的合力，称为弯矩弯矩 x l alF xaFxlFM B FB a m m x AB F FA FA FS y A m m x x C M M FS m F m B C FB 剪力剪力-正负号规定：使梁有正负号规定：使梁有左上右下左上右下错动趋势

16、的剪力错动趋势的剪力 为为正正，反之为负，反之为负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向 下为正下为正)；或绕截面内一点；或绕截面内一点顺时旋转顺时旋转的剪力为的剪力为正正（反之为负）（反之为负） 弯矩弯矩M正负号规定：使梁变形呈上凹正负号规定：使梁变形呈上凹下凸下凸的弯矩为的弯矩为正正， 反之为负反之为负(梁梁上压下拉上压下拉的弯矩为正的弯矩为正)。 剪力剪力Fs和弯矩和弯矩M的符号规则：的符号规则： FS FS FS FS 剪力为剪力为正正 剪力为负剪力为负 M M M M 弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负 例例 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在

17、截面11、22、33和和44 横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。 解：支反力为解：支反力为 0 y F 0 A M032aFFaaFB )(2FFB FFF AB )(3 FFA x y A F B aa 2a 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FB FA 截面截面11 0 y F 0 1C M 0 1 aFM ) ( 1 顺顺FaM FF 1S 截面截面22 0 y F 0 2C M0 2 aFM ) ( 2 顺顺FaM 0 2S FFF A FFFF A 2 2S M1 FS1 F C1 1 1 FA M2 FS2 F C2 2 2 x y A F B aa 2a

18、1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FB FA 截面截面33 0 3 aFaFM A ) ( 3 逆逆FaM FFF B 2 4S 截面截面44 0 4 aFM B ) (2 4 顺顺FaM 0 3S FFF A FFFF A 2 3S x y A F B aa 2a 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FB FA 3 3 C3 M3 F FS3 FA FS4 M4 4 C4 FB 4 1 1、截面左侧梁段、截面左侧梁段 向上的外力向上的外力正剪力正剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶正弯矩正弯矩 截面右侧梁段截面右侧梁段 向上的外力向上的外力负剪力负剪力正弯矩正

19、弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶负弯矩负弯矩 内力内力 11223344 FS-F2F2F2F M-Fa-FaFa-2Fa x A F B 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FA=3FFB =-2F 2、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；集中力大小； 在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。集中力偶矩大小。 内力内力 11223344 FS-F2F2F2F M-Fa-FaFa-2Fa x A F B 1 1 2 2 4 4 3 3 Me =3Fa FA=3FFB

20、=-2F 、剪力方程和弯矩方程、剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则 分别称为分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。 )( SS xFF )(xMM 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 反映梁的横截面上的剪反映梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变力和弯矩随截面位置变 化的函数式化的函数式 q 解：解：任选一截面任选一截面x ， 写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程 x lxqxxFS0 lxqxxM02/ 2 依方程画出剪力图和弯矩图 FS x ql l 由剪力图、弯矩图可见。 最大剪力和弯矩分别

21、为: qlFS max 2/ 2 max qlM 例例: :悬臂梁受均布载荷悬臂梁受均布载荷q作用。作用。试写出剪力和弯矩方程，试写出剪力和弯矩方程， 并画出剪力图和弯矩图。并画出剪力图和弯矩图。 q x xM xFS 例例 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。 解：解：1 1、求支反力、求支反力 l Fb FA l Fa FB 2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出 x B l A F a b C FBFA AC段段 CB段段 lxa l Fa FxF B S ax l Fb xF0 S

22、 lxa xl l Fa xlFxM B )( axx l Fb xM0 x B l A F a b C FBFA FA x A M(x) FS(x) FB B FS(x) M(x) 3、作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 xl l Fa xM)( 2 l Fb xF S1 x l Fb xM 1 l Fa xF S2 FS Fb l x Fa l M x Fab l F B l A ab C 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变图发生突变，其突变 值等于集中力的大小，值等于集中力的大小， 从左向右作

23、图，突变从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的方向沿集中力作用的 方向。方向。 三三. . 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用 0 y F xq x xF d d S 0 C M xF x xM S d d xxqxFdd S 0 2 d ddd S x xxqxxFxMxMxM xxFxMdd S 0dd SSS xxqxFxFxF 略去略去 m mn n m m C n n q(x) FS(x) M(x) M(x)+dM(x) O F y x Me q(x) xdx FS(x)+dFS(x) xq x xM 2 2 d d xq x xF

24、d d S xF x xM S d d q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系间的微分关系 其中分布荷载集度其中分布荷载集度 q(x) 以以向上向上为为正正，向下为负。，向下为负。 O F y x Me q(x) 1. 微分关系的几何意义：微分关系的几何意义： )( )( S xq dx xdF 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度q的大小 。 )( )( S xF dx xdM 弯矩图上某点处的切线斜率斜率等于该点剪力的大小。 )( )( 2 2 xq dx xdM 在M图正向向下时，M 图的凸向与q方向一致。 3. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的弯矩、剪力与分布荷载集度之间的积分

25、关系积分关系 及几何意义及几何意义 B A X X B A S xxqxFd)()(d B A X X SASB xxqFFd)( 任何两个截面上的剪力任何两个截面上的剪力之差之差， 等于这两个截面间梁段上的荷载等于这两个截面间梁段上的荷载 图的面积。图的面积。 xxFMM B A X X SAB d)( 任何两个截面上的弯矩任何两个截面上的弯矩之差之差， 等于这两个截面间的剪力图的面积。等于这两个截面间的剪力图的面积。 4. 各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：各种荷载下剪力图与弯矩图的形态： 外力情况外力情况q=0无荷载无荷载段段q0(向下向下)集中力集中力F作用作用 处：处： 集中力偶集中力偶M 作用处：作用处： 剪力图上的特征剪力图上的特征水平线水平线(向下斜直线向下斜直线)突变突变， 突变值为突变值为F 不变不变 弯矩图上的特征弯矩图上的特征斜直线斜直线朝朝q方向凸方向凸（下凸）（下凸） 的抛物线的抛物线 有有尖点尖点有有突变突变， 突变值为突变值为M 最大弯矩最大弯矩可能的可