第3章 静态电磁场及其边值问题的解2011-3-25

1、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 1 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 2 常数，常数， S n S nn 1 1 2 2 21 E 2 ( )d Q P PEl 0 2 11 ( )d () 4 q rq r R 方程：方程： 定义：定义： 计算式：计算式： 边界条件：边界条件： 21 nn 1 1 2 2 （导体表面）（导体表面） （一般形式）（一般形式） （电介质分界面）（电介质分界面） 3.1 静电位函数静电位函数 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 3 例例 3.1.1 求电偶极子的电位。求电偶极

2、子的电位。 解解 在球坐标系中在球坐标系中 21 12 0210 4 ) 11 ( 4 )( rr rrq rr q r cos)2/( 22 2 rddrr cos 2 2 d rr由于由于r d ,cos 2 1 d rr 3 0 2 0 2 0 444 cos )( r r rr qd r r pep 电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。 dqp +q 电偶极子电偶极子 z o d q 1 r 2 r r ),(rP cos)2/( 22 1 rddrr 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 4 E r E r r dd 2 1

3、sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为 E r E 电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度 )sincos2( 4 3 0 ee r r q ) sin 11 ()( r e r e r erE r cos 2 Cr C r p 2 0 4 cos 等位线等位线 电场线电场线 电偶极子的场图电偶极子的场图 电场线微分方程电场线微分方程： 等位线方程等位线方程： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 5 000 ( )( )dd P Po O POElErEr 若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ( )0O 000 ( )

4、cos z PErer EE r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向 一致，即一致，即 ，则有，则有 00z Ee E 0 E 000 ( )()cos xz PEreE ee zE z ree z 在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 00 x Ee E 0 E 0 E x z O P r 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的 位置矢量为位置矢量为 ，则，则r 0 ( )PEr 第3章 电磁场

5、与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 6 x y z L -L ( , , ) z z ddlz R z 解解 由于轴对称性，电位与由于轴对称性，电位与 无关。无关。 在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它 到点到点 的距离的距离 ， 则则 22 ()Rzz ddlz ( , , )Pz 0 22 0 1 ()d 4 () L l L rz zz 22 0 0 ln() 4 L l L zzzz 22 0 22 0 ()() ln 4 ()() l zLzL zLzL 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电

6、线的电位。 0l 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 7 2222 000 22 000 2 ( )lnlnln 422 lll LLLLL r LL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 LR L 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限 区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。 L 若选择若选择= a 的点为电位参考点，则有的点为电位参考点，则有 0 0 2 ln 2 l L C

7、 a 0 0 ( )ln 2 l a r 在上式中加上一个任意常数在上式中加上一个任意常数 0 0 2 ( )ln 2 l L rC 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 8 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处， 在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所 示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。 0S 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均

8、匀面电处有均匀面电 荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉 斯方程斯方程 2 1 2 d( ) 0,(0) d x xb x 2 2 2 d( ) 0,() d x bxa x 111 222 ( ) ( ) xC xD xC xD 方程的解为方程的解为 o ba x y 两块无限大平行板两块无限大平行板 0S 1( ) x 2( ) x 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 9 0 11 0 () ,0 S ba CD a 00 22 00 , SS bb CD a 0 1 0 0 2 0 (

9、) ( ),(0) ( )(),() S S a b xxxb a b xaxbxa a 0 11 0 () ( )( ) S x ab E xxe a 1 22 1122 0 21 0 0 0 S D C aD C bDC bD CC 利用边界条件，有利用边界条件，有 xb 12 ( )( ),bb 021 0 ( )( ) S x b xx xx 处，处，最后得最后得 0 x 处，处， 1(0) 0 x a 2( ) 0a 处，处， 所以所以 0 22 0 ( )( ) S x b E xxe a 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 10 例例 3.1.5 均匀

10、带电圆环的标量电位。圆环的半径为均匀带电圆环的标量电位。圆环的半径为a ，电，电 荷密度为荷密度为l 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性， 标量电位与标量电位与 无关，计算无关，计算 xO z 平面上的标平面上的标 量电位与电场强度即可量电位与电场强度即可。 (sincos ) rxz re rr ee (cossin) rxz re aa ee ddla 222221 2 ( sincos)sincos)rrraar 221 2 2sincosraar 均匀带电圆环均匀带电圆环 a x z y r R dl r P O l 2 221 2 0 00 1d ( )

11、d 442sincos ll C a rl Rraar 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 11 对于远区，有对于远区，有r a ，所以，所以 21 21 2 11212 1 ( )sincos1sincos aaa rrrrrrr 1 (1sincos) a rr 2 0 0 1 ( )(1sincos)d 4 la a r rr 00 2 44 l aq rr 于是得到于是得到 在在z轴上轴上 ，0 2 221 2 0 00 1d ( )d 442sincos ll C a rl Rraar 2 22 1 222 1 2 0 00 d (0,0, ) 4 ll

12、aa z rara 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 12 电位的多极展开电位的多极展开 零极子零极子: 处于一个几何点的电荷系统称为零极子，其电性质处于一个几何点的电荷系统称为零极子，其电性质 只需用总电量只需用总电量q q表示，其电位为表示，其电位为 0 1 4 q rr 电偶极子与电偶极矩电偶极子与电偶极矩 ,d i i V i pq rprrV p与座标系有关；对称系统与座标系有关；对称系统p0 电偶极子场电偶极子场： 3 0 1 4 p r r r 2 1 r 任意任意电荷系统的电偶极矩电荷系统的电偶极矩 电偶极子电偶极子：两个等值异号相距微小距离的点电

13、荷系统，总两个等值异号相距微小距离的点电荷系统，总 电量电量Q0，用电偶极矩，用电偶极矩 p =ql 表示其电特性表示其电特性 O r (r) V 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 13 电四极子与电四极矩电四极子与电四极矩 电四极子场电四极子场： 2 3 0 11 4 xz pl xr Q zr 对于分量 任意任意电荷系统的电四极矩电荷系统的电四极矩 2 3 3 , 0 111 24 ij i j ij Q x xrr x y z O Qyz x y z O Qxz x y z O Qxx 电四极子电四极子：两个大小相同、方向相反的电偶极子两个大小相同、方向相反

14、的电偶极子p 构成构成 的系统，的系统，Q0，p0，电特性用电四极矩表示。，电特性用电四极矩表示。 电四极矩场电四极矩场： VrxxQ V jiij d )(3 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 14 电荷系统电位的多极展开电荷系统电位的多极展开 0 1 d 4 V r rV rr 当当r l 时，时， 3 1, 2 3 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 11 ji ji j i i i rxx xx rx x rrr 3 1, 2 0 3 1 00 ) 1 ( 24 1 ) 1 ( 4 1 4 )( ji ji ij i i i rxx Q rx p r q

15、r O V R P l r r r 可展开为可展开为)(r )()()( 210 rrr Vrq V d )( Vrxp V ii d )( VrxxQ V jiij d )(3 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 15 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷 能力的物理量。能力的物理量。 定义：定义： q C 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的的 导体构成电容器，其电容为导体构成电容器，其电容为 12 qq C U 特点特点：电容的大小只与导体系统的几何

16、尺寸、形状和及周围电：电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电 介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。 E 0 2 U 1 qq 孤立导体所带的电量孤立导体所带的电量 孤立导体的电位孤立导体的电位 电容器的电容电容器的电容 3.2 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 16 计算电容的方法计算电容的方法 方法二方法二： E 0 2 U 1 qq 方法一方法一： UqC q E 2 1 dlE U n E S E S S Sqd UqC U 第3章 电磁场

17、与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 17 例例 3.2.1 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导，两导 线的轴线距离为线的轴线距离为D ，且，且 D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。 l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 。由于。由于D a ，故可，故可 近似地认为电荷分别均匀分布在两导线近似地认为电荷分别均匀分布在两导线 的表面上。应用高斯定理和叠加原理，的表面上。应用高斯定理和叠加原理， 可得到两导线之间的平面上任一点可得到两导线之间的平面上任一点P 的的 电场强度电场强度 0

18、 11 ( )() 2 l x E xe xDx 两导线间的电位差两导线间的电位差 2 1 0 11 d()d 2 Da l a UElx xDx 00 1 (F/m) ln()ln () l C UDaaD a x y z x D a P 0 ln l Da a 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 18 例例3.2.2 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体 间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。 ( ) 2 l Ee 内外导体间的电位差内

19、外导体间的电位差 1 ( )dd 2 bb l aa UEe l l 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为 故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为 1 2 (F/m) ln( / ) l C Ub a a b 同轴线同轴线 ln( / ) 2 l b a 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 19 部分（分布）电容部分（分布）电容 三导体静电独立系统三导体静电独立系统 多芯电缆多芯电缆 1 2 0 1

20、2 0 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 20 单个导体上的电量单个导体上的电量 qC 部分电容的概念部分电容的概念 三个导体时，三个导体时， 其中：其中：C12为导体为导体1、2间的电容；间的电容； C10为导体与大地间的电容为导体与大地间的电容 N个导体存在，导体个导体存在，导体 i 上的电量与它和其它导体之间的电上的电量与它和其它导体之间的电 位差（包括大地）有关，即有位差（包括大地）有关，即有 1 1,2,3, N iijijiii j j i qCCi 22012212 )(CCq 1 2 0 2 q 12 C 10 C 20 C 1 q11021121

21、 )(CCq 双导体时，一个导体上的电量双导体时，一个导体上的电量 )( 21 Cq 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 21 物理意义：物理意义： 导体系统中各导体间都存在电容导体系统中各导体间都存在电容 各导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部各导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部 分电容分电容 关于部份电容关于部份电容Cij的讨论的讨论 Cij为导体为导体 i 与导体与导体 j 之间的电容；而之间的电容；而Cii为导体为导体 i 本身的电容，本身的电容， 即与大地间的电容，可写成即与大地间的电容，可写成Cii=Ci0 Cij=Cji （i

22、j），对称性（互易性），对称性（互易性） Cij只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有 关，与各导体所带电量无关关，与各导体所带电量无关 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 22 例例3.2.3 两个同心导体球壳，半径分别为两个同心导体球壳，半径分别为a和和b，离地很，离地很 远。求部分电容。远。求部分电容。 解：解：由于球壳离地很远，可以认为电荷在导由于球壳离地很远，可以认为电荷在导 体表面均匀分布。两个球壳上的电量分别为体表面均匀分布。两个球壳上的电量分别为 11212111 22121222 qCC q

23、CC 由于由于C12、C21、C11、C22与与q1、q2无关，可任意选择无关，可任意选择q1和和q2值。值。 令令q1 =0， q2 =1，得，得 12 0 1 4b 121111 0 1 000 4 CCC b 静电屏蔽静电屏蔽 2122220 0 1 104 4 CCCb b 孤立球的电容孤立球的电容 b C22 a C12=C21 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 23 121212 000 11 1,0, 444 ba qq abab 令令 0 12112 0 4 10 4 abba CC abba 得得 210 00 0 2112 1 04 44 4

24、ba Cb abb ab CC ba 或或 同心球电容同心球电容 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 24 3.3 静电场能量与静电力静电场能量与静电力 2 e 111 ddd 222 VVV WD E VE E VEV 2 e 111 222 wD EE EE 1 d 2 e V WV e 1 2 ii i Wq e 1 2 ii i Wq 点电荷系统的电场能量点电荷系统的电场能量 电容器中储存的电场能量电容器中储存的电场能量 22 e 111 222 WqUCUq C 静电场能量静电场能量 电场能量密度电场能量密度 带电导体系统的电场能量带电导体系统的电场能量

25、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 25 例例 3.3.1 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为 的电荷，试求静电场能量。的电荷，试求静电场能量。 52 0 2 4 2 0 62 2 0 2 0 22 0 15 4 )d4 9 d4 9 ( 2 1 arr r a rr r a a 1 0 () 3 r r Eera 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 V VEDWd 2 1 e 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3 2 2 0 () 3 r a Eera r 故故VEVEVEDW VVV d 2

26、 1 d 2 1 d 2 1 21 2 20 2 10e 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 26 112 dd a ra ErEr 方法二方法二：利用利用 计算计算 V VWd 2 1 e 故故 e1 1 d 2 V WV 2 2 0 () () 23 r ara 3 2 00 dd 33 a ra ra rr r 25 0 4 15 a 22 22 0 0 1 ()4d 2 23 a r arr 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 27 例例3.3.2 原子核是一个带电为原子核是一个带电为q q 的点电荷，周围均匀分布有的点电荷，周围

27、均匀分布有 带负电的球形电子云。电子云的半径为带负电的球形电子云。电子云的半径为r0 0，其总电量为，其总电量为q q。求。求 原子模型的结合能。原子模型的结合能。 解解：结合能：结合能 = 电子云自能电子云自能 + 云与核的相互作用能。云与核的相互作用能。 0 3 0 0 () 4 r qr Eerr r 2 0 1 dd 22 VV WE D VEV 自 0 0 2 2222 00 32 0 0 000 0 3 () 4 d() 4 d 242420 r r qrqq rrrr rrr 由高斯定理得电子云产生的电场由高斯定理得电子云产生的电场 0 2 0 () 4 r q Eerr r q

28、 -q r0 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 28 0 0 2 322 0 000 00 ddd(3) 448 r rrr qrqqr Errr rrrr 0 22 2 32 0 00 000 0 133 d(3)4 d 24820 r V qqrq WVrr rrrr 自 0 0 32 00 0 000 0 3 (0)ddd 448 r r qrqq Errr rrr = 2 0 0 3 (0) 8 q Wq r 互 222 0 00 00 0 333 20840 qqq WWW rrr 合互自 1 d 2 V WV 自 也可以由也可以由 计算计算W自 自 第

29、3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 29 虚位移法虚位移法：假设第假设第i个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi的作用下发的作用下发 生位移生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变，系统的静电能量改变 为为dWe。 其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带 电导体的电荷不变。电导体的电荷不变。 静电力静电力 外源提供能量外源提供能量 =电场力所作功电场力所作功 + 静电能量增量静

30、电能量增量 ddd Siie WF gW即即 根据能量守恒定律，该系统的功能关系为根据能量守恒定律，该系统的功能关系为 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 30 （1）各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变 说明：说明：表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电 能量来实现。能量来实现。 多导体系统多导体系统 ( K 断开断开 ) dd iie F gW e i i W F g q不变不变 此时，所有带电体都不和外电源此时，所有带电体都不和外电源 相连接，则相连接，则 dWS0，因此，因此 第3章 电磁场与电磁波电

31、磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 31 说明说明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用 于电场力做功。于电场力做功。 （2）各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变 多导体系统多导体系统( K 闭合闭合 ) 11 11 dd()d 22 NN eiiii ii Wqq 系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量 即即d2d Se WWdd iie F gW e i i W F g 不变不变 此时，各带电导体应分别与外电压此时，各带电导体应分别与外电压 源连接，外电压源向系统提供的能量源连接，外电压源向系统提供的能量 11 dd()

32、d NN Siiii ii Wqq 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 32 解法一解法一：电位不变电位不变 c d W f e 0 22 2 0 22 d SU d CU 2 e 2 1 CUW d S C 0 例例3.3.3 试求图示平行板电容器极板的电场力。试求图示平行板电容器极板的电场力。 平行板电容器平行板电容器 取取 d 为广义坐标（相对位置坐标）为广义坐标（相对位置坐标） 负号表示电场力企图使负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。减小，即电容增大。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 33 解法二解法二：电荷不变电荷不

33、变 S dq C q W 0 22 e 2 2 1 0 2 0 2 S q d W f cq 负号表示电场力企图使负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。减小，即电容增大。 2 2 0 0 2 2 0 0 22 222d USES S DS f 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 34 例例3.3.4 有一平行金属板电容器，有一平行金属板电容器， 极板面积为极板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块，用一块 介质片（宽度为介质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介电常数，介电常数 为为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。 设极板

34、间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应， 求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。 0 ()lx bbx C dd 所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为 2 2 0 00 1 () 22 e bU WCUlxx d 0 2 00 () 2 e xU WbU F xd 不变 由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为 e i i W F g 不变 解解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为 部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器 d b U0 l x 由于由于0，所以介质片所，所以介质片所 受到的力有将其拉受到的力有将其拉

35、 进电容器的趋势进电容器的趋势 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 35 22 0 22 () e qdq W Cblxx 2 0 2 0 () 2 () e xq Wdq F xblxx 不变 0 00 () bU qCUlxx d 2 00 () 2 x bU F d 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算 e i i W F g q不变不变 设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q不变，则不变，则 由此可得由此可得 由于由于 同样得到同样得到 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 36 EJ 0d 0d lE SJ C S 0 0 E

36、J 微分形式：微分形式： 积分形式：积分形式： E 0 2 恒定电场恒定电场的基本方程的基本方程 本构关系：本构关系： 电位函数电位函数 0)( 21n JJ e0)( 21n EE e场矢量的边界条件场矢量的边界条件 n 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 n21n )()()(Jee S JJDD 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度 nn 2 2 1 121 , 电位的边界条件电位的边界条件 3.4 恒定电场恒定电场 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 37 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 对应物理量对应物理量 静电场静电

37、场 E E D J q I 恒定电场恒定电场 G C 基本方程基本方程 ED ,E EJ 0 2 0 2 n2n1t2t1 DDEE n2n1t2t1 JJEE 静电场（静电场（ 区域）区域） 0 0d, 0d lESJ CS 0, 0EJ ,E 0,0DE nn 2 2 1 121 , nn 2 2 1 121 , 本构关系本构关系 位函数位函数 边界条件边界条件 恒定电场（电源外）恒定电场（电源外） 0d, 0d lESD CS 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 38 如果两种场具有相同的场方程和相同的边界条件，则其解如果两种场具有相同的场方程和相同的边界条件

38、，则其解 也相同。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换也相同。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换 而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法比拟法。 ,D E 0 U 静电场静电场 电极电极1 电极电极2 S1 S2 ,J E 0 U 恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2 S1 S2 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 39 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之 间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导

39、电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小 于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压 U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 U I G I U G R 1 电阻电阻 ,J E 0 U 恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2 S1 S2 漏电导漏电导： 绝缘电阻绝缘电阻： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 40 C G CG 电导的计算电导的计算 方法一方法一： 方法二方法二： （静电比拟法）（静电比拟法） 方法三方法三： IJEUG U EJIG ,J E

40、 0 U 恒定电场恒定电场 电极电极1 电极电极2 S1 S2 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 41 例例3.4.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，：极板是理想导体， 为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。 1n2n JJ 由由 1n2nS DD由由 U 1 d 2 d 11 , 22 , z o 12 121 12 2 12 () dd U UUEdEdJ 12 12 11

41、22 , JJJJ EE 12 JJJ 12 12 () dd J U 1 1 1 S DJ 上 211 22 1 21 212112 () S DDJU dd 介 2 2 2 S DJ 下 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 42 例例3.4.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a， 外导体半径为外导体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常。两层介质的介电常 数为数为 1 和和 2 、电导率为、电导率为 1 和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外，外 导体接地。求：（导体接

42、地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分）两导体之间的电流密度和电场强度分 布；（布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。）介质分界面上的自由电荷面密度。 外导体外导体 内导体内导体 介质介质2 2 介质介质1 J 1 2 1 2 I a b c 11 、 22 、 0 U 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 43 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为 I ，则由则由 S dJSI 1 11 () 2 JI Eeab 介质中的电场介质中的电场 2 22 () 2 JI Eebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法

43、向分量，电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量， 所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，求出电流密度求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I 。 J 012 dd bc ab UEE 1 E 2 E () 2 I Jeac 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 44 120 21 () ln()ln() U Jeac b ac b 20 1 21 () ln()ln() U Eeab b ac b 10 2 21 () ln()ln() U Eebc b ac

44、 b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 120 21 2 ln()ln() U I b ac b 012 12 ddln( )ln( ) 22 bc ab IbIc UEE ab 由于由于 于是得到于是得到 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 45 120 111 21 ln()ln() Sa U eE ab ac b 210 222 21 ln()ln() Sc U eE cb ac b 12210 21 () ln()ln() U bb ac b nS eD （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表

45、面的电荷面密度为 介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为 两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为 J 2 1 1 2 I 122211 () Sb eEeE 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 46 例例3.4.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设求同轴电缆的绝缘电阻。设 内外的半径分别为内外的半径分别为a 、b，长度为长度为l ，其间，其间 媒质的电导率为媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。 解解：设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I a b lG Rln 2 11 ddln 22 b a IIb U lla E

46、 l b a l I J 2 l IJ E 2 )/ln( 2 ab l U I G 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 47 0 1 2 2 2 2 0 00 , 0U 例例3.4.4 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电板上，的导电板上， 由两个半径为由两个半径为 r1 和和 r2 的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图的两半径割出的一段环形导电媒质，如图 所示。计算沿所示。计算沿 方向的两电极之间的电方向的两电极之间的电 阻。设导电板的电导率为阻。设导电板的电导率为。 解解： 设在沿设在沿 方向的两电极之间外方向的两电极之间外 加

47、电压加电压U0，则电流沿则电流沿 方向流动，而且方向流动，而且 电流密度是随电流密度是随 变化的，变化的，电位电位 只是变只是变 量量 的函数。的函数。 代入边界条件代入边界条件 环形导电媒质块环形导电媒质块 r1 h r2 0 J 21 CC 10020 ,CUCU 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 48 电流密度电流密度 0 0 U JEe 两电极之间的两电极之间的电流电流 2 1 002 001 ddln r Sr UU hr IJSee h r 故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为 00 21 ( ) ln(/ ) U R Ihrr

48、0 0 0 U U 所以所以 0 0 U Eee 环形导电媒质块环形导电媒质块 r1 h r2 0 J 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 49 定义定义 BA 3.5 恒定磁场恒定磁场矢量磁位与标量磁位矢量磁位与标量磁位 微分方程微分方程 (0)J JA 2 0 2 A (0)A V V R rJ rAd )( 4 )( 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件 磁矢位的计算公式：磁矢位的计算公式： 12 AA n12 12 11 () S eAAJ CSS lASASB ddd 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技

49、大学电子科技大学 50 例例 3.5.1 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回 路的半径为路的半径为a，回路中的电流为，回路中的电流为I 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性， 矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算xz平面平面 上的矢量磁位与磁场上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。 (sincos ) rxz re rr ee (cossin) rxz re aa ee dd(sincos) d xy le aeea 222221 2 ( sincos)sincos)rrraar

50、 221 2 2sincosraar 小圆环电流小圆环电流 a I x z y r R dl r I P 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 51 对于远区，有对于远区，有r a ，所以，所以 21 21 2 11212 1 ( )sincos1sincos aaa rrrrrrr 1 (1sincos) a rr 2 0 0 1 ( )(1sincos)(sincos)d 4 xy Iaa A ree rr r rrr 2 0 2 sin 4 y I a e r r 由于在由于在 =0面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成 y ee rr 于是得到于是得到 2

51、 00 22 ( )sinsin 44 I aIS A ree rr r rrr 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 52 11 (sin)() sin r BAeAerA rrr rr rr 0 3 (2cossin ) 4 r IS ee r rr 式中式中S =a2是小圆环的面积。是小圆环的面积。 载流小圆环可看作为磁偶极子，载流小圆环可看作为磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩为磁偶极子的磁矩 （或磁偶极矩），则（或磁偶极矩），则 m pIS r r 0 2 ( )sin 4 m p A re r r rr 或或 0 3 ( ) 4 m A rpr r r rrr

52、0 3 ( )(2cossin ) 4 m r p B ree r r rrr 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 53 解解：先长度为：先长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到到 点点 的距离的距离 。则。则 22 ()Rzz dd z I le I z ( , , )Pz 0 22 1 ( )d 4 () L z L I A rez zz 22 0 ln() 4 L z L I ezzzz 22 0 22 ()() ln 4 ()() z zLzLI e zLzL 例例 3.5.2 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿

53、的磁矢位，设电流沿+z方向流动。方向流动。 与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流 的磁矢位的磁矢位 L 0 1 ( )ln 2 z I A reC x y z L -L ( , , ) z z dd z I le I z R 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 54 22 0000 , mmm qa Mqa Mq 下下上上上上 当当r l 时，可将磁柱体等效成磁偶极子，时，可将磁柱体等效成磁偶极子， 则利用与静电场的比较和电偶极子场，有则利用与静电场的比较和电偶极子场，有 33 00 11 44 m

54、m prp r rr 2 00mmz pqlpq leaM l ：其中其中 0m B 解解：M为常数，为常数， m= 0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上， 磁化磁荷为磁化磁荷为 0000 , mm MM 下下上上 R1 R2 r Pz x -l/2 l/2 M 例例3.3.3半径为半径为a、长为、长为l的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化， 其磁化强度为其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。求远区的磁感应强度。 0z Me M 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 55 1. 磁通与磁链磁通与磁链 i i 3.6 电

55、感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 C I 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。 i C I o 粗回路粗回路 第3章 电磁场与电磁波电磁场

56、与电磁波 电子科技大学电子科技大学 56 设回路设回路C中的电流为中的电流为I，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为交链的磁链为 ，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值 I L 称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感 I L i i I L o o 2. 自感自感 内自感；内自感； 粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电 流无关。流无关。 自感的特点：自

57、感的特点： 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 57 解解：先求内导体的内自感。设同轴：先求内导体的内自感。设同轴 线中的电流为线中的电流为I，由安培环路定理，由安培环路定理 22 22 d i C II HlI aa 0 22 , 22 ii II HB aa 穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS =d 的磁通为的磁通为 0 2 ddd 2 ii I BS a (0)a 例例3.6.1 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导，外导 体厚度可忽略不计，其半径为体厚度可忽略不计，其半径为b，空气

58、填充。，空气填充。 得得 与与di交链的电流为交链的电流为 2 2 I I a 则与则与di相应的磁链为相应的磁链为 3 0 4 ddd 2 ii II Ia a b a d I i B 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 58 因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为 3 00 4 0 dd 28 a ii II a 0 8 i i L I 故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为 再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。 00 ddln 22 b oo a IIb a 00 ln 82 io b LLL a 2 0I B 0 dd 2 oo

59、I d 则则 0 ln 2 o o b L Ia 故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为 单位长度的总自感为单位长度的总自感为 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 59 例例3.6.2 计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半 径为径为a，两导线的间距为，两导线的间距为D，且，且D a。导线及周围媒质的磁导率。导线及周围媒质的磁导率 为为0 。 。 00 11 d()dln 2 Da o a IIDa BSx xDxa 0 11 ( )() 2 y I B xe xDx 穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的

60、外磁链为穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为 解解 设两导线流过的电流为设两导线流过的电流为I 。由。由 于于D a ，故可近似地认为导线中的，故可近似地认为导线中的 电流是均匀分布的。应用安培环路定电流是均匀分布的。应用安培环路定 理和叠加原理，可得到两导线之间的理和叠加原理，可得到两导线之间的 平面上任一点平面上任一点P 的磁感应强度为的磁感应强度为 x y z x D a P I I 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电子科技大学电子科技大学 60 于是得到平行双线传输线单位的长度的外自感于是得到平行双线传输线单位的长度的外自感 00 lnln o o D aD L I