第1章 被控过程的数学模型

1、1 下篇下篇 过程控制过程控制 被控过程的数学模型被控过程的数学模型 单回路反馈控制系统单回路反馈控制系统 串级控制系统串级控制系统 比值控制系统比值控制系统 前馈控制前馈控制 选择性控制选择性控制 分程及阀位控制分程及阀位控制 纯滞后补偿控制系统纯滞后补偿控制系统 2 第第1章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型 过程建模的基本概念过程建模的基本概念 解析法建立过程的数学模型解析法建立过程的数学模型 实验法建立过程的数学模型实验法建立过程的数学模型 3 掌握被控过程机理建模的方法与步骤；掌握被控过程机理建模的方法与步骤； 熟悉被控过程的自衡和非自衡特性；熟悉被控过程的自衡和非自衡特性；

2、熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析熟悉单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析 表达式；表达式； 重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作重点掌握被控过程基于阶跃响应的建模步骤、作 图方法和数据处理；图方法和数据处理； 4 1-11-1 过程建模的基本概念过程建模的基本概念 一、一、 被控过程的数学模型及其作用被控过程的数学模型及其作用 被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述 其中：其中： 过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道 控制作用至输出变量的信

3、号联系称为控制通道控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道 干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道 过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和 过程的数学模型 静态数学模型静态数学模型 动态数学模型动态数学模型 5 被控过程的数学模型在过程控制中的重要性被控过程的数学模型在过程控制中的重要性 1 1）掌握被控过程的数学模型是控制系统设计的基础。）掌握被控过程的数学模型是控制系统设计的基础。 2 2）良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。）良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。 3 3）数学建模是仿真

4、或研究、开发新型控制策略的必要条件）数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件 。 4 4）通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真，）通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真， 可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。 5 5）利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及）利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及 其原因，并提供正确的解决途径。其原因，并提供正确的解决途径。 6 二、被控过程的特性二、被控过程的特性 依据过程特性的不同依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、单容特性与多容特性、分为自衡特性与

5、无自衡特性、单容特性与多容特性、 振荡与非振荡特性等振荡与非振荡特性等 1 1有自衡特性和无自衡特性有自衡特性和无自衡特性 当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在无人当原来处于平衡状态的过程出现干扰时，其输出量在无人 或无控制装置的干预下，能够自动恢复到原来或新的平衡或无控制装置的干预下，能够自动恢复到原来或新的平衡 状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被认为状态，则称该过程具有自衡特性，否则，该过程则被认为 无自衡特性。无自衡特性。 工业生产过程一般都具有储存物料或能量的能力，其储存能力的大小工业生产过程一般都具有储存物料或能量的能力，其储存能力的大小 称为容量。所谓单容过程

6、是指只有一个储存容积的过程。当被控过程称为容量。所谓单容过程是指只有一个储存容积的过程。当被控过程 由多个容积组成时，则称为多容过程。由多个容积组成时，则称为多容过程。 7 无自衡过程及其阶跃响应曲线无自衡过程及其阶跃响应曲线 自平衡特性其传递函数的典型形式有：自平衡特性其传递函数的典型形式有： ( ) (1) K G s Ts 一阶惯性环节一阶惯性环节 二阶惯性环节二阶惯性环节 12 ( ) (1)(1) K Gs TsTs ( ) (1) s Ke G s Ts 12 ( ) (1)(1) s Ke G s TsTs 二阶惯性二阶惯性+ + 纯滞后环节纯滞后环节 一阶惯性一阶惯性+ + 纯

7、滞后环节纯滞后环节 具有自衡特性的过程及其响应曲线具有自衡特性的过程及其响应曲线 无平衡特性其传递函数的典型形式有：无平衡特性其传递函数的典型形式有： 1 ()Gs T s 12 1 ( ) (1) G s Ts T s 1 ( ) s G se Ts 12 1 ( ) (1) s G se Ts Ts 一阶环节一阶环节 二阶环节二阶环节 二阶二阶+ +纯滞后环节纯滞后环节 一阶一阶+ +纯滞后环节纯滞后环节 8 3 3振荡与非振荡过程的特性振荡与非振荡过程的特性 在阶跃输入作用下，输出会出现多种形式。图中，在阶跃输入作用下，输出会出现多种形式。图中，a)a)、b)b)和和c)c) 振荡过程，

8、振荡过程，d)d)和和e)e)为非振荡过程。为非振荡过程。 衰减振荡的传递函数为衰减振荡的传递函数为 2 2 ( ) (21) s Ke G s T sTs (01 ) 9 4 4具有反向特性的过程具有反向特性的过程 对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内，对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内， 过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化 方向，则称其为具有反向特性的被控过程。方向，则称其为具有反向特性的被控过程。 10 三、过程建模方法三、过程建模方法 1 1机理演绎法机理演绎法 根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡

9、关系，用数学解析根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系，用数学解析 的方法求取被控过程的数学模型。的方法求取被控过程的数学模型。 2 2试验辨识法试验辨识法 先给被控过程人为地施加一个输入作先给被控过程人为地施加一个输入作 用，然后记录过程的输出变化量，得用，然后记录过程的输出变化量，得 到一系列试验数据或曲线，最后再根到一系列试验数据或曲线，最后再根 据输入输出试验数据确定其模型的据输入输出试验数据确定其模型的 结构（包括模型形式、阶次与纯滞后结构（包括模型形式、阶次与纯滞后 时间等）与模型的参数。时间等）与模型的参数。 主要步骤：主要步骤： 主要思路是：主要思路是： 3. 3

10、. 混合法混合法 机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种方法的一种方法 11 4-2 4-2 解析法建立过程的数学模型解析法建立过程的数学模型 一、解析法建模的一般步骤一、解析法建模的一般步骤 1 1）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量；）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2 2）依据有关定理、定律以及公式列写方程；）依据有关定理、定律以及公式列写方程； 3 3）消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程；）消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程； 4 4）将其简化成控制要求的形式。如微分（差分）方程或传）将其简化成控制要求的形式

11、。如微分（差分）方程或传 递函数等；递函数等； 12 二、典型对象特性及数学描述二、典型对象特性及数学描述 1、单容对象、单容对象 单容水箱分自衡过程和无自衡过程单容水箱分自衡过程和无自衡过程 13 无自衡过程无自衡过程 无自衡无自衡过程的过程的单容水单容水 箱，如右图。贮罐中箱，如右图。贮罐中 液位高度液位高度h h为被控参数为被控参数, , 流入贮罐的体积流量流入贮罐的体积流量 为为Q Qi i过程的输入量，并过程的输入量，并 可通过阀门可通过阀门1 1的开度来的开度来 改变；流出贮罐的体改变；流出贮罐的体 积流量积流量Q Q1 1为水泵的流量，为水泵的流量， 在一定的转速下是恒在一定的转

12、速下是恒 量。试确定量。试确定Q Qi i与与h h之间之间 的数学关系的数学关系? ? 14 参量关系分析参量关系分析 水槽水位水槽横截面积； 输出流量输入流量累计量； -h-A Q;-Q ) 11.(. 1i 1 V dt dh A dt dV QQi 对上式进行对上式进行LaplaceLaplace变换得：变换得： AsH(sAsH(s)=Q)=Qi i(s)-Q(s)-Q1 1(s)(s) 由于输出流量由于输出流量Q Q1 1是定值，其传递函数为：是定值，其传递函数为： 时间常数， 则：令 -T Ts 1 (s)Q H(s) T,A , As 1 (s)Q H(s) i i 15 16

13、 有自衡过程有自衡过程 有自衡过程的单容水有自衡过程的单容水 箱，如右图。贮罐中箱，如右图。贮罐中 液位高度液位高度h h为被控参数为被控参数, , 流入贮罐的体积流量流入贮罐的体积流量 为为Q Qi i过程的输入量，并过程的输入量，并 可通过阀门可通过阀门1 1的开度来的开度来 改变；流出贮罐的体改变；流出贮罐的体 积流量积流量Q Q1 1为过程的干扰，为过程的干扰， 其大小可以通过阀门其大小可以通过阀门2 2 的开度来改变。试确的开度来改变。试确 定定Q Qi i与与h h之间的数学关之间的数学关 系系? ? 17 水槽水位水槽横截面积； 输出流量输入流量 累计量， -h-A Q ; -Q

14、 1i 1 V dt dV AQQi 此过程与无自衡相比增加了此过程与无自衡相比增加了F2F2以对以对Q Q1 1的控制，因此的控制，因此Q Q1 1会随会随 水位水位h h的变化而变化。的变化而变化。Q Qi i与与h h的关系如下：的关系如下： 例常数与阀门开度有关的比， 1 hQ 在工作点附近作线性化处理，可得在工作点附近作线性化处理，可得 F2-R , R 1 h2H(s) (s)Q 2 1 1 的阻力，称为液阻。为 ，由此式可得传递函数 h h Q 18 将此式代入将此式代入1-11-1式，可得系统的传递函数式，可得系统的传递函数 放大系数时间常数，R,K , 11)( )( 1 A

15、RT Ts K ARs R sH sQ 其频率特性为其频率特性为 d j d j T T tg e T T K e T K jG 2 ) 2 (1 )(1 )( 1 2 2 Td为工作周期为工作周期 19 阶跃响应为阶跃响应为 )1 ( T t eKQh 20 2、时滞对象、时滞对象 时滞的概念：时滞的概念：有的对象或过程，在受到输入作用后，输出变有的对象或过程，在受到输入作用后，输出变 量并不立即随之变化，而是要隔上一段时间才会响应，这种量并不立即随之变化，而是要隔上一段时间才会响应，这种 对象成为具有时滞特性的对象，而这段时间就成为时滞（或对象成为具有时滞特性的对象，而这段时间就成为时滞（

16、或 纯滞后）。如物料的皮带输送过程，管道输送过程等。纯滞后）。如物料的皮带输送过程，管道输送过程等。 21 如果以阀门的加料量如果以阀门的加料量x x作为对象的输入，压作为对象的输入，压 力传感器的称重力传感器的称重y y作为输出时作为输出时, ,关系为：关系为： 0 0 0 )( )( j s ejG esG )()( 0 txty 传递函数为传递函数为 22 例如蒸汽直接加热器，出口温度的检测点不在槽内，与槽例如蒸汽直接加热器，出口温度的检测点不在槽内，与槽 内变化的温度产生一定的延迟内变化的温度产生一定的延迟0 0 ，但加热器本身是一阶，但加热器本身是一阶 惯性环节，因此传递函数为惯性环

17、节，因此传递函数为 s e Ts sG 0 1 1 )( 23 3、双容对象、双容对象 研究双容对象研究双容对象 的动态特性就的动态特性就 是研究当流量是研究当流量 Qi变化时水位变化时水位h2 的变化。的变化。 24 根据串联关系不难得出双容水相的传递函数根据串联关系不难得出双容水相的传递函数 1)TT(TT K 11 1 )( )( )( )( )( )( 21 2 21 22 2 111 212 ss sRA R sRAsQ sH sQ sQ sQ sH ii 25 阶跃响应曲线阶跃响应曲线)1 ()( 21 12 2 12 1 T t T t i e TT T e TT T KQty

18、26 为了与单容对象的特性相比较，对双容特性曲线作近似图解，为了与单容对象的特性相比较，对双容特性曲线作近似图解， 可总结出一般的规律。在可总结出一般的规律。在S形曲线的拐点形曲线的拐点P上做切线，它在时上做切线，它在时 间轴上截出一段时间间轴上截出一段时间OA。这段时间可以近似地衡量由于多了。这段时间可以近似地衡量由于多了 一个容量而是飞升过程向后推迟的程度，因此成为容量滞后，一个容量而是飞升过程向后推迟的程度，因此成为容量滞后， 以以0表示。这样双容对象特性就可近似为纯滞后加一阶惯性表示。这样双容对象特性就可近似为纯滞后加一阶惯性 的模型，其传递函数的形式为：的模型，其传递函数的形式为：

19、s e Ts sG 0 1 1 )( 在研究双容对象的飞升曲线时，在研究双容对象的飞升曲线时，T值的大小应当用曲线拐点值的大小应当用曲线拐点 P做切线的方法求得，而放大系数做切线的方法求得，而放大系数K和单容对象的求法一样和单容对象的求法一样 Kh2()/Qi 27 对于对于3 3个以上的多容对象，理论分析和实际测定都表明，它个以上的多容对象，理论分析和实际测定都表明，它 的飞升曲线仍然是的飞升曲线仍然是S S形，但是容量滞后形，但是容量滞后0更加大了。下图表更加大了。下图表 示具有示具有1 16 6个同样大小存储容量的飞升曲线。因此，它们仍个同样大小存储容量的飞升曲线。因此，它们仍 然可以用

20、一阶惯性加纯滞后的对象模型近似。然可以用一阶惯性加纯滞后的对象模型近似。 28 从以上分析可知，实际的调节对象虽在原理、结构从以上分析可知，实际的调节对象虽在原理、结构 和大小上差别很大，但它们的飞升曲线和双容对象的特和大小上差别很大，但它们的飞升曲线和双容对象的特 性曲线相似，都可用性曲线相似，都可用、T、K这三个参数来表征。需要这三个参数来表征。需要 说明的是，这里滞后时间说明的是，这里滞后时间包括纯滞后和容量滞后，即包括纯滞后和容量滞后，即 0 c 。由于实际对象的滞后时间常常两相兼而有之，。由于实际对象的滞后时间常常两相兼而有之， 有时很难区别。有时很难区别。 不论容量滞后还是纯滞后，

21、它们对控制都是不利的。不论容量滞后还是纯滞后，它们对控制都是不利的。 它是控制作用不能及时地克服干扰的影响，偏差往往越它是控制作用不能及时地克服干扰的影响，偏差往往越 来越大，已使整个系统的稳定性和控制指标都会受到严来越大，已使整个系统的稳定性和控制指标都会受到严 重的影响。所以，在设计和安装控制系统时，都尽量把重的影响。所以，在设计和安装控制系统时，都尽量把 滞后时间减小到最小。滞后时间减小到最小。 29 4 43 3 实验法建立过程的数学模型实验法建立过程的数学模型 试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。 在经典辨识法中，最常用的有在经

22、典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法基于响应曲线的辨识方法； 在现代辨识法中，又以在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最小二乘辨识法最为常用。最为常用。 在这里只讲响应曲线法。在这里只讲响应曲线法。 响应曲线法响应曲线法 响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入 产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响 应曲线或输出数据，再根据输入输出数据，求取过程的应曲线或输出数据，再根据输入输出数据，求取过程的 输入输出之间的数学关系。响应曲线法又分为输入输出之间的数学关系。响应曲

23、线法又分为阶跃响应阶跃响应 曲线法曲线法和和方波响应曲线法方波响应曲线法 30 一、阶跃响应曲线法一、阶跃响应曲线法 给被控过程的输入加入一阶跃变化的信号，观察并记录被控给被控过程的输入加入一阶跃变化的信号，观察并记录被控 量随时间变化的响应曲线或输出数据。量随时间变化的响应曲线或输出数据。 在实验时应注意以下三点：在实验时应注意以下三点：1 1）扰动作用的取值范围为其额定）扰动作用的取值范围为其额定 值的值的5 52020，一般取，一般取8 81010。2 2）同一飞升曲线应重复）同一飞升曲线应重复 三次，以便进行比较，剔除显然的偶然误差。三次，以便进行比较，剔除显然的偶然误差。3 3）为检

24、测对象）为检测对象 的非线性特性，应作反向飞升曲线的测定。的非线性特性，应作反向飞升曲线的测定。 1 1、实验、实验 31 2 2、模型结构的确定、模型结构的确定 在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构。在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构。 对于大多数过程，数学模型和传递函对于大多数过程，数学模型和传递函 数分别为：数分别为： 0 0 ( ) 1 K G s T s - s 0 0 ( )e 1 K G s T s 0 12 ( ) (1)(1) K G s T sT s - s 0 12 ( )e (1)(1) K G s TsTs 一阶惯性一

25、阶惯性 一阶惯性一阶惯性+ +纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性+ +纯滞后纯滞后 二阶惯性二阶惯性 对于某些无自衡特性过程，对于某些无自衡特性过程， 其对应的传递函数为：其对应的传递函数为： 0 1 ( )G s T s - s 0 1 ( )eG s T s 12 1 ( ) (1) G s Ts T s - s 12 1 ( )e (1) G s Ts T s 32 3 3、模型参数的确定、模型参数的确定 确定一阶环节的参数确定一阶环节的参数 0 00 00 0 |() tT K x tK xy T 该响应曲线可近似为无时延的一阶环节该响应曲线可近似为无时延的一阶环节 则其输入与输出的关系为

26、：则其输入与输出的关系为： )e1 ()( 0 / 00 Tt xKty 0 K 0 T为过程的放大系数，为过程的放大系数，为时间常数。为时间常数。 其中其中 上式中，当上式中，当 00 )(| )(xKyty t 时时 0 0 )( x y K 0000 /| d d TxK t y t t T xK 0 00 0 Tt 以上式为斜率在以上式为斜率在t=0t=0处作切线，切线方程为处作切线，切线方程为 当当 则有：则有： 和和 时时 33 由以上分析可知由以上分析可知 ，图解法图解法为：为： 在曲线的起点在曲线的起点t=0t=0处作切线，该切线与处作切线，该切线与 的交点所对的交点所对 应的

27、时间（上图中阶跃响应曲线上的应的时间（上图中阶跃响应曲线上的OBOB段）即为段）即为T T0 0 ( )y A A、图解法、图解法 ( )y a a、先由上图中的阶跃响应曲线定出、先由上图中的阶跃响应曲线定出 b b、求、求T T0 0 34 0 T的确定还可以使用计算法：的确定还可以使用计算法： )e1 ()( 0 / 00 Tt xKty 00 )(| )(xKyty t )e1)()( 0 /Tt yty 0 2 T 0 T 0 2T )(39%/2)( 0 yTy )(%36)( 0 yTy )(%5 . 68)(2 0 yTy 令令t t分别为分别为时，则有时，则有 以及以及在阶跃响

28、应曲线上求得在阶跃响应曲线上求得 三个状态下的时间三个状态下的时间t1t1、t2t2、t3t3，计算出，计算出 0 T B B、计算法、计算法 35 确定一阶时延环节的参数确定一阶时延环节的参数 如果曲线呈现如果曲线呈现S S形状如图所示，则该过程可用一阶惯性形状如图所示，则该过程可用一阶惯性+ +时延时延 环节近似。环节近似。 - s 0 0 ( )e 1 K G s T s 一阶惯性一阶惯性+ +时延环节的传递函数时延环节的传递函数 0 T 0 K时延时间时延时间有三个参数需要确定有三个参数需要确定 36 K K0 0的确定方法不变，的确定方法不变，T T0 0和和的确定步骤是：的确定步骤是： 先将阶跃响应先将阶跃响应y(ty(t) )转化为转化为y y0 0(t),(t),即：即：)()/()( 0 ytyty 相应的阶跃