第九章FIR滤波器设计

1、9.3 相位失真根据前面的介绍，对于频率响应，对给定频率0，输出的相位，设输入的相位为零。对于给定频率0的正弦信号Acos（n0），其输出为|H（0）|cos(n0+ )，可以看到输出比输入相位滞后了，对应的采样点数是n0+ =0，因此对于由不同频率组成的信号xn，其通过滤波器后，各频率分量的相位延迟是不同的，因此导致相位失真。从而使信号发生了变化。相位失真的影响。为避免相位失真，要求对所有的频率分量应该有相同的相位延迟，一种方法使相位延迟为零，但这不实际。一种是使相位差为频率的线性函数，即，相位延迟为，即对于所有频率分量都延迟k个采样点。因此所有频率分量同时出现在输出端。因此与频率近似成线性

2、的相位响应可以很好的减少相位失真。如何设计具有线性相位特征而没有相位失真的滤波器呢？考虑关于原点对称的脉冲响应。例如：注意此时要求脉冲响应为奇数项。当脉冲响应关于原点对称时，h-M=hM等，因此对此式进行Z变换，得传输函数：，由DTFT得频率响应为：应用余弦欧拉公式：得：，因此频率响应为实数，所以它的相位只能是0或180度，因此只要在通带内为正，相位在这个范围内必为0，不会发生相位失真。但这时的脉冲响应为非因果的。通过时移来形成因果滤波器。如：这时时移后的因果脉冲响应关于M对称。时移后的脉冲响应为时移对滤波器系数没有影响，但影响滤波器的实现。例：考察九项滑动平均滤波器的频率响应。9.4 逼近理

3、想低通滤波器滑动平均滤波器提供了粗略的低通滤波。而只有理想低通滤波器才能提高高性能的滤波特性。对于理想低通滤波器其幅度响应为：具有截至频率为1。在通带内具有单位增益，而阻带内的增益为零。因此具有最好的滤波性能。因此，我们将理想低通滤波器作为普通FIR滤波器设计的起点。对于上述理想低通滤波器其离散时间傅立叶逆变换为：，n取正负整数。通过引入sinc函数。，则，这里sinc（0）=1。所有理想低通滤波器的脉冲响应为。当1=0.25pi，n=-15，15，时，脉冲响应为：这个脉冲响应在两个方向上具有无限个采样点，所以不能直接转换为非递归滤波器，同时是非因果的。为了使其成为非递归滤波器，必须将脉冲响应

4、截短，即将两端很小的响应点去掉，成为有限项。然后利用时移，使其成为因果滤波器。时移后截断后的脉冲响应，会对频率响应产生影响，截断后的频率响应为因此当滤波器的特性为非理想时，要通过一些方法来定义其特性，这些特性如图滤波器的通带定义了滤波器允许通过的频率范围。在阻带内，滤波器对信号严重衰减。参数p定义了通带波纹，即滤波器通带内偏离单位增益的最大值。通带边缘增益定义为。参数s定义了阻带波纹，即滤波器阻带内偏离零增益的最大值。阻带边缘增益定义为s。过渡带宽度就是阻带和通带边缘之间的距离。或过渡带宽度=阻带边缘频率-通带边缘频率。注意：滤波器的带宽指在-3dB之间的频率范围。而不对应FIR滤波器的通带边

5、缘频率。FIR滤波器的通带边缘频率定义为增益下降到或20*log10（）dB的频率。例：确定通带波纹、通带边缘频率、阻带波纹、阻带边缘频率，过渡带宽度、带宽和-3dB频率。9.5 窗函数9.5.1 矩形窗窗函数的作用是从理想低通滤波器的脉冲响应的无限多个点中选取有限个采样点。因此这个过程可以看作是矩形窗函数和理想低通滤波器脉冲响应的相乘的结果。N项矩形窗为：wn=1，其他处为零。矩形窗的缺点：最大旁瓣的增益较大以及振铃现象。9.5.2 汉宁窗长度为N的汉宁窗定义为：，其他处为零。9.5.3 哈明窗长度为N的哈明窗定义为：，其他处为零。9.5.4 布莱克曼窗长度为N的布莱克曼窗定义为：，其他处为

6、零。9.5.5 凯塞窗长度为N的凯塞窗定义为：，。I0是零阶修正第一类贝塞尔函数，定义为：，通常取其前20或25项之和近似表示。凯塞窗的形状由参数决定。可以根据阻带要求计算出来。对于期望的阻带衰减值AdB，只要A大于50dB，的近似值为：。选择凯塞窗参数预计阻带衰减（dB）实际滤波器阻带衰减（dB）554566636477272881819909010991009.6 低通滤波器设计9.6.1 设计指南利用下表选择合适的窗函数，即选出所需的衰减，在从表中选中窗的类型。最佳选择是窗函数要尽可能满足阻带要求，如果所选择的窗函数超越了所要求的性能，需要的长度就会很长。一旦窗函数确定下来，所需函数的长

7、度可以通过表中的公式计算得出。滤波器滚降越陡峭，所要求的过渡带宽度就越小，所需的长度也就越长。选择项数为奇数将得到对称的脉冲响应，可以消除相位失真。FIR滤波器参数窗类型窗函数项数N*滤波器阻带衰减（dB）通带边缘增益矩形121-0.9汉宁44-0.06哈明55-0.02布莱克曼75-0.0014凯塞6481100-0.0057-0.00087-0.000013将窗函数加到理想低通脉冲响应h1n上，根据hn= h1nwn= 得到一个非理性低通滤波器。低通滤波器通带边缘频率1的选择考虑到所用有限项引起的模糊，因此设计中的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+（过渡带宽度）/2，通带边缘频率和窗函数

8、长度由上表确定，通带边缘频率增益将接近表中最后一列的值。最后，理想低通滤波器的脉冲响应加窗后，必须右移，使其成为因果滤波器。例：要求滤波器阻带衰减为75dB，过渡带宽度为1kHz，采样频率为16kHz，选择什么窗函数，长度为多少？9.6.2 低通FIR滤波器设计步骤1在过渡带宽度的中间，选择通带边缘频率（Hz）：f1=所要求的通带边缘频率+（过渡带宽度）/22计算，将此值代入理想低通滤波器的脉冲响应3查表，选择满足阻带衰减及其他滤波器要求的窗函数，用表中N的公式计算所需窗的项数。选择奇数项，对于，计算wn。4对于，计算hn= h1nwn= 5将hn右移(N-1)/2，保证为因果滤波器。例：根据下列指标设计低通滤波器通带边缘频率2kHz阻带边缘频率3kHz阻带衰减40dB采样频率10kHz例：高频噪声严重影响了歌曲的录音。系统的采样频率为16kHz，设计一个滤波器提高录音质量。9.7 带通和高通FIR滤波器可以通过先设计低通滤波器，然后进行频率移位来获得待求的滤波器。低通滤波器的单边频谱低通滤波器的双边频谱 带通滤波器设计余弦函数：qn=cos(n0)因此hn= h1nwnqn这里0等于双边滤波器形状的待求中心频率。，f0位待求滤波器的中心频率，单位为Hz。对于高通滤波器为pi。因此高通滤波器h高n=cos(npi)h低n。例：采样频率为22