数学物理方程的分类

1、把所有自变数（空间和时间坐标）依次记作：把所有自变数（空间和时间坐标）依次记作：x1,x2,xn 二阶偏微分方程可以写为：二阶偏微分方程可以写为： 0 111 fcuubua iji x n i i n j n i xxij 其中其中aij,bi,c,f只是只是x1,x2,xn的函数，叫做的函数，叫做 若若0f 则方程称为则方程称为的，否则为的，否则为的。的。 一般的有源（一般的有源（外力，热源，电荷外力，热源，电荷）的方程为非齐次的，无源）的方程为非齐次的，无源 的方程为齐次的，但也不是绝对的的方程为齐次的，但也不是绝对的, 如如扩散方程扩散方程。 如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定

2、解问题的解如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解 看成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定看成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定 方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和 定解条件就行。此原理称为定解条件就行。此原理称为 先来看两个自变数先来看两个自变数x和和y的二阶线性偏微分方程的二阶线性偏微分方程 02 21221211 fcuububuauaua yxyyxyxx 其中上述系数都只是其中上述系数都只是x和和y的函数，在以下讨论假定它们是实数。的函数，在以下讨论假定它们是实数。 作自变量

3、的代换如下：作自变量的代换如下： ),( ),( yy xx 即即 ),( ),( yx yx （1） （2） ( , ) 0 ( , )x y 通过代换，通过代换，u(x,y)成为成为 ，的函数，同时把方程改的函数，同时把方程改 为新变量的方程，为此计算：为新变量的方程，为此计算： xxx yyy uuu uuu yyyyyyyy yyyyyyyyyyyy xyxyyxxyyxyx xyyxyxxyyxyxxy xxxxxxxx xxxxxxxxxxxx uuuuu uuuuuuu uuuuu uuuuuuu uuuuu uuuuuuu 22 22 22 22 2 )()( )( )()(

4、2 )()( （4） （3） 把上两个式子代入偏微分方程把上两个式子代入偏微分方程(1)，可得到新自变量，可得到新自变量 ， 的新的方程如下：的新的方程如下： 11122212 20A uA uA uBuB uCuF 其中系数其中系数 fF cC bbaaaB bbaaaB aaaA aaaA aaaA yxyyxyxx yxyyxyxx yyxx yyxyyxxx yyxx 212212112 212212111 2 2212 2 1122 22121112 2 2212 2 1111 2 2 2 )( 2 并且代换后，方程（并且代换后，方程（5）仍然是线性的）仍然是线性的. （5） （6）

5、 从（从（6）可以看出，如果取）可以看出，如果取 22 111222 20 xxyy a za z za z 以下方程的一个特解作新自变数以下方程的一个特解作新自变数 （7） 22 111222 20, xxyy aaa 则有则有从而从而A110 同理，取另一个特解作新自变数同理，取另一个特解作新自变数 , 从而从而A220 此时方程（此时方程（5）得到简化！）得到简化！ 而方程（而方程（7）的求解可以化成）的求解可以化成常微分方程常微分方程的求解！的求解！ 可以写成：可以写成： 22 111222 20 xxyy a za z za z （7） 02 2212 2 11 a z z a z

6、z a y x y x （8） 如果把如果把z(x,y)常数常数, 当做定义隐函数当做定义隐函数y(x)的方程，则的方程，则 / xy dy dxzz 则（则（8）变为：）变为： 02 2212 2 11 a dx dy a dx dy a （9） 常微分方程（常微分方程（9）叫做二阶线性偏微分方程（）叫做二阶线性偏微分方程（1）的）的 特征方程的一般积分特征方程的一般积分 1 ),(Cyx和和 2 ),(Cyx 叫做叫做 特征方程可以化成两个方程：特征方程可以化成两个方程： 11 2211 2 1212 11 2211 2 1212 a aaaa dx dy a aaaa dx dy 通常根

7、据根式下的通常根据根式下的划分偏微分方程的类型！划分偏微分方程的类型！ 0 0 0 2211 2 12 2211 2 12 2211 2 12 aaa aaa aaa （10） 11 2211 2 1212 11 2211 2 1212 a aaaa dx dy a aaaa dx dy （10） 方程（方程（1）的系数可以是）的系数可以是x和和y的函数，所以一个方程在自变数的函数，所以一个方程在自变数 的某个区域属于某一类型，在另一个区域上可能属于另一个类型的某个区域属于某一类型，在另一个区域上可能属于另一个类型 可以验证：可以验证： 2 2211 2 122211 2 12 )( xyyx

8、 aaaAAA 也就是说，作变量代换时，方程也就是说，作变量代换时，方程！ 方程（方程（10）给出一族实特征线）给出一族实特征线 1 ),(Cyx 2 ),(Cyx 取取，作为新的自变数作为新的自变数 则则 A110A220 代换后方程变为：代换后方程变为： 2 121122 0aa a 2 1 21 12 FCuuBuB A u （11） 如果再作变量代换：如果再作变量代换： )( 2 1 )( 2 1 , 方程（方程（11）化成：）化成： 22)()( 1 2121 12 FCuuBBuBB A uu （12） 方程（方程（11）或（）或（12）是）是双曲型双曲型方程的方程的形式，一维波动

9、方程形式，一维波动方程 如弦振动方程，杆纵振动方程，电报方程都是标准形式的双曲型如弦振动方程，杆纵振动方程，电报方程都是标准形式的双曲型 方程。方程。 11 2211 2 1212 11 2211 2 1212 a aaaa dx dy a aaaa dx dy （10） 由于由于 11 12 a a dx dy 则特征方程（则特征方程（10）变为：）变为： 0 2211 2 12 aaa 只能给出一族特征线只能给出一族特征线 1 ),(Cyx则则),(yx是方程是方程 02 2212 2 11 a z z a z z a y x y x 的解，取的解，取为新自变数为新自变数 把把 1211

10、/, xy dy dxaa 121122 aaa 代入代入（6） 得方程前三个系数为：得方程前三个系数为： 2 222 11111222121122 11 2 12111222121122 11 2222 221112221122 ()20 ()()0 ()2() y xx y yy yy xx yxyxy yy xxx yy yyy Aaaaaaa a Aaaaaaa a Aaaaaa 此时只要取此时只要取( , ),x y使得使得 2211 / xy aa 即不满足即不满足 特征方程，则特征方程，则0 22 A则代换后的方程为：则代换后的方程为： 1 21 22 FCuuBuB A u 这

11、是这是方程的方程的标准标准形式，一维输运问题，如扩散方程，形式，一维输运问题，如扩散方程， 热传导方程都是标准形式的抛物型方程。热传导方程都是标准形式的抛物型方程。 (13) 11 2211 2 1212 11 2211 2 1212 a aaaa dx dy a aaaa dx dy （10） 此时各给出一族复数的特征线：此时各给出一族复数的特征线： 1 ( , ),x yC2 ),(Cyx 且且, 取取( , ),x y ( , ).x y 作新的自变数，则作新的自变数，则A110，A220，则：，则： 代换后的方程称为：代换后的方程称为： 2 1 21 12 FCuuBuB A u 跟双

12、曲型的方程不同！这里跟双曲型的方程不同！这里 ，是是 为此作代换：为此作代换： 1 Re() 2 , 1 Im() 2 i i i (14) 2 121122 0aa a 则方程（则方程（14）化为：）化为： 1221 12 1 ()()2uuBB ui BB uCuF A （15） 方程（方程（14）或（）或（15）是）是方程的方程的标准标准形式，平面稳定场方程形式，平面稳定场方程 如稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场方程，无旋稳恒电流场如稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场方程，无旋稳恒电流场 方程和无旋稳恒流动方程，在二维时都是标准形式的椭圆型方程。方程和无旋稳恒流动方程，在二维时都是标准形式的椭圆型方程。 如果线性方程的系数都是常数，则化成标准形式后还可以简化：如果线性方程的系数都是常数，则化成标准形式后还可以简化： 例（传输线方程）：例（传输线方程）： 0RGuuRCLGuLCu txxtt 作函数变换作函数变换),(),(txvtxu ),(),(txvetxu tx （16） 其中其中,为待定常数为待定常数则有：则有： )2( )( )2( )( )( 2 2 vvveu vvvveu vvveu vveu vveu ttt tx tt xtxt tx xt xxx tx xx t tx t x