第六章 简单的超静定问题 - 副本

1、P 挠度挠度 EI Pl EI l P A 162 2 2 2 2 EI Pl EI l P wA 483 2 2 3 3 转角转角 2 P 6 61 1 静定问题及其解法静定问题及其解法 第六章第六章 简单的简单的超静定问题超静定问题 静定问题静定问题：约束反力或构件内力都能通过静力学的平衡方：约束反力或构件内力都能通过静力学的平衡方 程求得，这类问题称为静定问题法程求得，这类问题称为静定问题法 超静定问题超静定问题：约束反力或构件内：约束反力或构件内 力不能单凭静力学的平衡方程求力不能单凭静力学的平衡方程求 解的问题，称为超静定问题法解的问题，称为超静定问题法 C P A B D 12 3

2、 EI q0 L A B 多余约束多余约束：在超静定系统中，我们把多余维持平衡所必要 的支座和杆件，习惯上称为“多余约束”。多余约束的支 反力或内力称为“多余支反力多余支反力”。 超静定的处理方法超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程 相结合，进行求解。 超静定次数超静定次数：约束反力所超过的平衡方程的数目称为超静 定次数。多余支反力的数目等于超静定的次数。 变形协调方程（变形几何相容方程）变形协调方程（变形几何相容方程）：由于多余约束的存在， 杆件或结构的变形所受到的多于静定结构的附加限制。 物理方程物理方程：结构的变形与受力之间的关系称为物理关系或物理 方程。 把物理方程代入几

3、何方程就得到补充方程。平衡方程和补充方补充方程。平衡方程和补充方 程联立求解即可解出全部未知力。程联立求解即可解出全部未知力。 即综合考虑结构的几何、物理和静力学三方面的关系，通 过解平衡方程和补充方程联立方程组，解出全部未知力。 求解超静定问题的另一种方法求解超静定问题的另一种方法：设想将某的支座当作 “多余”约束予以解除，并在该处施加相应的支反力。从 而得到基本静定系或相当系统。 列出解除约束处的变形协调条件，即变形相容方程。 将力与位移间的物理关系代入变形相容方程，解出多余 未知力 解出多余未知力后，原系统变为静定系统，即可按静定 系统进行计算。 下面分别轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题

4、来说明超下面分别轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题来说明超 静定问题的解法。静定问题的解法。 6 62 2 拉压超静定问题拉压超静定问题 例题例题6-1 已知杆AB两端固定， 在C处受轴向拉力F ， 轴的抗拉压刚度为EA， 求杆的支反力。 一、拉压超静定问题解法一、拉压超静定问题解法 解：解：此问题为一次超静定问题 解除B支座约束，代之以 约束反力FB 。 列出变形协调条件 FB F 0 ACBC 解：解：此问题为一次超静定问题 解除B支座约束，代之以 约束反力FB 。 列出变形协调条件 物理关系 将物理关系代入变形协条条件得补充方程： 解得： 0 ACBC EA bFB BC FB F B C

5、 A EA a)FF( B AC 和 0 EA a)FF( EA bF BB l Fa FB 方向与原假设方向一致。 例例8 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2=L、 L3；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 C P A B D 12 3 解：、平衡方程: 0sinsin 21 NNX 0coscos 321 PNNNY P A N1 N3 N2 11 11 1 AE LN L 33 33 3 AE LN L 几何方程变形协调方程： 物理方程弹性定律： 补充方程：由几何方程和物理方程得。 解由平衡

6、方程和补充方程组成的方程组，得: cos 31 LL cos 33 33 11 11 AE LN AE LN 33 3 11 33 3 33 3 11 2 11 21 cos2 ; cos2 cos AEAE PAE N AEAE PAE NN C A B D 12 3 A1 1 L2 L 3 L 平衡方程； 几何方程变形协调方程； 物理方程弹性定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 3、超静定问题的方法步骤：、超静定问题的方法步骤： 例例9 9 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木 材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MP

7、a，弹性模量分 别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 04 21 PNNY 21 LL 2 22 22 11 11 1 L AE LN AE LN L 几何方程 物理方程及补充方程： 解：平衡方程: P P y 4N1 N2 P P y 4N1 N2 解平衡方程和补充方程，得: PNPN72. 0 ; 07. 0 21 111 07. 0APN 求结构的许可载荷： 方法1: 角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=3.086cm2 222 72. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/ 2 222 AP kN4 .705

8、07. 0/1606 .30807. 0/ 111 AP mm8 . 0/ 111 EL mm2 . 1/ 222 EL 所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。 求结构的许可载荷： 07. 0 07. 0 111 AN P kN4 .705 07. 0 6 .308160 另外：若将钢的面积增大另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？ 若将木的面积变为若将木的面积变为25mm，又又怎样？怎样？ 结构的最大载荷永远由钢控制着。结构的最大载荷永远由钢控制着。 方法2: 解：、平衡方程: 2、静不

9、定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。 二、装配应力二、装配应力预应力预应力 1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。 如图，3号杆的尺寸误差为，求 各杆的装配内力。 A BC 1 2 A BC 1 2 D A1 3 A1 N1 N2 N3 :0 X :0Y 0sinsin 21 NN 0coscos 321 NNN cos)( 33 33 11 11 AE LN AE LN 、物理方程及补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得: / cos21 cos 3311 3 2 11 3 21 AEAE AE L NN / cos21 cos2 3311 3 3 11 3 3 AEAE AE

10、 L N A A13 L 2 L 1 L 、几何方程 13 cos)(LL A BC 1 2 D A1 3 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 两根相同的钢杆两根相同的钢杆1、 2，其其 长度长度l =200 mm，直径，直径d =10 mm。两端用刚性块连接在一。两端用刚性块连接在一 起如图起如图a所示。将长度为所示。将长度为200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的铜杆的铜杆3 （图图b）装配在与杆装配在与杆1和杆和杆2对对 称的位置称的位置( (图图c) )，求各杆横截面，求各杆横截面 上的应力。已知：铜杆上的应力。已知：铜杆3的横的横 截面为

11、截面为20 mm30 mm的矩形，的矩形， 钢的弹性模量钢的弹性模量E=210 GPa，铜，铜 的弹性模量的弹性模量E3=100 GPa。 例题例题 6-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 1. 装配后为一次静不定问题。也装配后为一次静不定问题。也ke认为，根据对称认为，根据对称 关系可判明关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要，故未知内力只有二个，但要 注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程： )1(02 0 1NN3 FF Fx (d) 所以这仍然是一次静不定问题。所以这仍然是一次静不定问题。 例

12、题例题 6-3 解：解： 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 2. 变形相容条件变形相容条件( (图图c) )为为 这里的这里的 l3是指杆是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。在装配后的缩短值，不带负号。 )2( 31 ell 3. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得补充方程式得补充方程 )3( 33 N3N1 e AE lF EA lF 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 4. 联立求解联立求解(1)和和(3)式得式得 所得结果为正，所得结果为正， 说明原先假定杆说明原先假定杆1、2 的装配内力为拉力和的装配内力为拉力和

13、 杆杆3的装配内力为压的装配内力为压 力是正确的。力是正确的。 EA AE l AeE F AE EA l eEA FF 2 1 1 21 1 33 33 3N 33 2NN1 例题例题 6-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 5. 各杆横截面上的装配应力如下：各杆横截面上的装配应力如下： MPa51.19 MPa53.74 3 N3 3 1N 21 A F A F （拉应力）（拉应力） （压应力）（压应力） 例题例题 6-3 1 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。 三三 、装配温度、装配温度 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相 同，当结构温度由

14、T1变到T2时,求各杆 的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别 为i ; T= T2 -T1) A BC 1 2 C A B D 12 3 A1 1 L2 L 3 L 2 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。 C A B D 12 3 A1 1 L2 L 3 L 、几何方程 解：、平衡方程: 0sinsin 21 NNX 0coscos 321 NNNY cos 31 LL ii ii ii i LT AE LN L 、物理方程： P A N1 N3 N2 C A B D 12 3 A1 1 L2 L 3 L 、补充方程 cos)( 33 33 33 11 11 11 LT AE

15、 LN LT AE LN 解平衡方程和补充方程，得: / cos21 )cos( 3311 3 2 3111 21 AEAE TAE NN / cos21 cos)cos(2 3311 3 2 3111 3 AEAE TAE N aaaa N1 N2 例例10 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2 ， =cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数 =12.5 ； 弹性模量E=200GPa) C 110 6 、几何方程： 解：、平衡方程： 0 21 NNY 0 NT LLL 、物理方程 解平衡方程和补充方程，得:kN 3 .33

16、21 NN 、补充方程 2 2 1 1 ; 2 EA aN EA aN LTaL NT 2 2 1 1 2 EA N EA N T 、温度应力 MPa 7 .66 1 1 1 A N MPa 3 .33 2 2 2 A N 63 扭转超静定问题扭转超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程；平衡方程； 几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得； 物理方程；物理方程； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m

17、=20Nm/m 的作用，如图， 若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa， 试求固端反力偶。 解解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为： 02 BA mmm 几何方程变形协调方程0 BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程： 0 40220 2 00 P A P A L P BA GI m dx GI xm dx GI T mN 20 A m 由平衡方程和补充方程得： 另:此题可由对称性直接求得结果。 mN 20 B m 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 图图a所示组合杆，由半径为所示组合杆，由半径为ra的

18、实心铜杆和外的实心铜杆和外 半径为半径为rb，内半径为，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一的空心钢杆牢固地套在一 起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。作用。 试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和和Tb， 并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。 例题例题 6-6 解：列平衡方程： 0:0 MTTM bax 几何方程： BbBa 物理关系 paa a Ba IG lT pbb b Bb IG lT 把物理关系代入几何方程得： b pbb paa a T IG IG

19、T 联立求解得： e pbbpaa paa a M IGIG IG T e paapbb pbb b M IGIG IG T T bTa M e 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 实心铜杆横截面上任意点的切应力为实心铜杆横截面上任意点的切应力为 a bbaa a a a a r IGIG MG I T 0 pp e p 空心钢杆横截面上任意空心钢杆横截面上任意 点的切应力为点的切应力为 b bbaa b b b b ra IGIG MG I T pp e p 切应力沿半径的变化切应力沿半径的变化 情况如图情况如图c所示。所示。 a ra a rb ra rb

20、(c) 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 由图由图c可见，在可见，在 = ra处，处， a b，这是因为，这是因为 Ga Gb 。在。在 = ra处，两杆的切应变是相等的，即处，两杆的切应变是相等的，即 , b b a a a GG 说明说明 = ra处变形是连续的。处变形是连续的。 a ra a rb ra rb (c) 6-4 简单超静定简单超静定梁梁 1、处理方法：变形协调方程、物理 方程与平衡方程相结合，求全部未 知力。 解：建立静定基 确定超静定次数，用反力 代替多余约束所得到的结构 静定基。 = EI q0 L A B L q0 MA B A q

21、0 L RB A B x f L q0 MA B A MA B A q0 B A 几何方程变形协调方程 0 AqAMA A 物理方程变形与力的关系 补充方程 EI qL EI LM Aq A AM A 24 ; 3 3 0 243 3 EI qL EI LM A 8 2 qL M A 求解其它问题（反力、应力、 变形等） 几何方程变形协调方程 0 B BRBqB fff + q0 L RB A B = RB A B q0 A B 物理方程变形与力的关系 补充方程 EI LR f EI qL f B BRBq B 3 ; 8 34 0 38 34 EI LR EI qL B 8 3qL RB 求

22、解其它问题（反力、应力、 变形等） EI q0 L/2 A B L/2 MC MC 几何方程变形协调方程 右左CC 物理方程变形与力的关系 补充方程 几何方程 变形协调方程： 解：建立静定基 BCBRBqB Lfff B = 例例10 结构如图，求B点反力。 LBC EA x f q0 L RB A B C q0 L RB A B EI = RB A B + q0 A B = LBC EA x f q0 L RB A B C RB A B + q0 A B 物理方程变形与力的关系 补充方程 求解其它问题（反力、应力、 变形等） EI LR f EI qL f B BRBq B 3 ; 8 34

23、 EA LR EI LR EI qL BCBB 38 34 ) 3 (8 3 4 EI L A L I qL R BC B EA LR L BCB BC 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 试求图试求图a所示结构中所示结构中AD杆内的拉力杆内的拉力FN。梁。梁AC 和杆和杆AD的材料相同，弹性模量为的材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截杆的横截 面积为面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 。 例题例题 6-7 例题6-7解： 解除A点约束， 加一对多余约 束反力N。 lww ANAq 几何方程: 物理方程: l EA lF

24、 l N N N EI qa EI aaqa EI qa wAq 12 7 24 22 8 2 4 4 EI aF EI aaaF EI aF w N NN AN 3 3 3 2 3 得补充方程： EA lF EI aF EI qa NN 34 12 7 所以： )(12 7 3 4 AaIl Aqa FN 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 试求图试求图a所示等截面连续梁的所示等截面连续梁的约束反力约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯 曲刚度曲刚度EI=5106 Nm2。 例题例题 6

25、-8 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 1. 该梁有三个未知力该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平，仅有两个平 衡方程。故为一次超静定问题。衡方程。故为一次超静定问题。 例题例题 6-8 解：解： 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 2. 若取中间支座若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对处阻止其左、右两侧截面相对 转动的约束为转动的约束为“多余多余”约束，则约束，则B截面上的一对弯截面上的一对弯 矩矩MB为为“多余多余”未知力，相当系统如图未知力，相当系统如图b。 例题例题 6-8 材料力学材料力学()电

26、子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 BB 相当系统的位移条件是相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角处两侧截面的相对转角 等于零，即等于零，即 例题例题 6-8 3. 查关于梁位移公式的附录查关于梁位移公式的附录可得可得 EI M EI B B 3 m4 24 m4N/m1020 3 3 EI M EI B B 3 m5 m56 m2m5m2m3N1030 3 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 4. 将将 B B代入位移相容条件补充方程，从代入位移相容条件补充方程，从 而解得而解得 这里的负号表示这里的负号表示MB的实际转向与图的实际转向与图b中所设相中所