第7章 线性离散控制系统的分析

1、内 容 提 要 离散控制系统与连续控制系统的根本区 别在于采样系统中既包含有连续信号，又包 含有离散信号，是一个混和信号系统。分析 和设计离散系统的数学工具是Z变换，采用 的数学模型是差分方程、脉冲传递函数。 离散系统：离散系统：一般情况下，控制信号是离散型的时一般情况下，控制信号是离散型的时 间函数间函数r*(t) 。 取自系统输出端的负反馈信号在和上述离散控取自系统输出端的负反馈信号在和上述离散控 制信号进行比较时，需要采取离散型的时间函数制信号进行比较时，需要采取离散型的时间函数 b*(t) ，于是比较后得到的偏差信号将是离散型的，于是比较后得到的偏差信号将是离散型的 时间函数，即时间函

2、数，即 连续系统：控制信号、反馈信号以及偏差信号都控制信号、反馈信号以及偏差信号都 是连续型的时间函数是连续型的时间函数 )()()( * tbtrte 图7-1：离散系统结构图 因此，在离散系统中，通过控制器对被控对 象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信 号 。上述离散系统的方块图示于图7-1。 )( * te 图图7-27-2：离散反馈信号：离散反馈信号 在图7-1中，离散反馈信号 是由连续型的时 间函数b(t)通过采样开关的采样而获得的。采样开 关经一定时间T重复闭合，每次闭合时间为 ，且 有 ，见图7-2。 )( * tb T 12 ss f TT ， 在离散系统中，采样开关重复

3、闭合的时间 间隔T 称为采样周期。 分别称为采样频率及采样角频率，其中T代表采 样周期。 连续性时间函数经采样开关采样后变成重复连续性时间函数经采样开关采样后变成重复 周期等于采样周期的时间序列。该时间序列通周期等于采样周期的时间序列。该时间序列通 道在连续型时间函数上打道在连续型时间函数上打*号来表示，如图号来表示，如图7-2 所示。所示。这种时间序列属于离散型时间函数。 图7-3：离散系统简化结构图 在图7-1中，两个采样开关的动作一般是同步 的，因此，图7-l所示离散系统方块图可等效地简 化成图7-3。 离散控制系统的应用范围非常广泛，一般离 散控制系统的构成如图7-4所示。 图7-4：

4、离散控制系统结构图 数字控制系统数字控制系统 数字控制系统是一种离散型的控制系统，只不数字控制系统是一种离散型的控制系统，只不 过是通过数字计算机控制而已。因此，过是通过数字计算机控制而已。因此，它包括工作它包括工作 于离散状态下的数字计算机于离散状态下的数字计算机(或专用的数字控制器或专用的数字控制器) 和具有连续工作状态的被控对象两大部分和具有连续工作状态的被控对象两大部分，其方块，其方块 图如图图如图7-5所示。图中，有用于控制目的的数字计所示。图中，有用于控制目的的数字计 算机，或数字控制器，它构成控制系统的数字部分，算机，或数字控制器，它构成控制系统的数字部分， 通过这部分的信号均以

5、离散形式出现。被控对象一通过这部分的信号均以离散形式出现。被控对象一 般用般用G(s)表示是系统的不可变部分，它是构成连续表示是系统的不可变部分，它是构成连续 部分的主要成分。部分的主要成分。 图7-5：数字控制系统结构图 在数字控制系统中，具有连续时间函数形式的在数字控制系统中，具有连续时间函数形式的 被控信号被控信号y(t)或或c(t) (模拟量模拟量)受控于具有离散时间函受控于具有离散时间函 数形式的控制信号数形式的控制信号 (数字量数字量)。既然模拟量需要。既然模拟量需要 反应数字量，这中间便需要有数反应数字量，这中间便需要有数-模转换环节。连模转换环节。连 续的被控制信号续的被控制信

6、号y(t)或或c(t)经反馈环节反馈到输入端经反馈环节反馈到输入端 与参考输入相比较，从而得到与参考输入相比较，从而得到e(t)并经并经AD得到偏得到偏 差信号差信号 。 离散的偏差信号离散的偏差信号 经数字计算机的加工处理经数字计算机的加工处理 变换成数字信号变换成数字信号 ， 再经再经DA转换为连续信转换为连续信 号号 馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被 控制信号控制信号c(t)。图中采样开关的动作是同步的。图中采样开关的动作是同步的。 )( * tu )( * te )( * te )( * tu)( * tu )(tuk 一、采样过程一、采样过

7、程 实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连 续信号变换为脉冲序列的问题。续信号变换为脉冲序列的问题。 按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其 转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现 采样过程的装置叫采样器或采样开关。采样过程的装置叫采样器或采样开关。 采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示，采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示， 其闭合周期为其闭合周期为T，每次闭合时间为，每次闭合时间为 。在实际上，。在实际上， 由于采样持续时间由于采样持续时间 通常远小于采

8、样周期通常远小于采样周期T，也远，也远 小于系统连续部分的时间常数，因此，在分析离小于系统连续部分的时间常数，因此，在分析离 散系统时，可近似认为散系统时，可近似认为 趋近于趋近于0。在这种条件下，。在这种条件下， 当采样开关的输入信号为连续信号当采样开关的输入信号为连续信号e(t)时，其输出时，其输出 信号信号e*(t)是一个脉冲序列，采样瞬时是一个脉冲序列，采样瞬时e*(t)的幅值等的幅值等 于相应瞬时于相应瞬时e(t)的幅值，即的幅值，即e(0T)、e(T)、 e(2T) e(nT)，如图，如图7-6所示。所示。 图7-6：实际采样过程 *( ) (0)1( ) 1()( )1() 1(

9、)e tette TtTtT )2( 1)2( 1)2(TtTtTe 0 )( 1)( 1)( k kTtkTtkTe 采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。理采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。理 想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生 器，它能够产生一系列单位脉冲。器，它能够产生一系列单位脉冲。 0 * )()()( k kTtkTete 0 * )()()()()( k T ttekTttete或 采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信 号的调制过程如图7-7所示。 图7-7：采样信号的调制过程 时，上式可写成当0 采样定理采样定理(shan

10、non定理定理)，由于它给出了从采，由于它给出了从采 样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。 二、采样定理二、采样定理 * - ( )( )( )( ) (t-nT0, ()0) s jnw t 1 TT n e te tte te tnT * 1 ( )( ) s n EsL e tE sjn T 则有 * - ( )( )() n e te ttnT - ( )() T n ttnT 令 (1) 采样信号的频谱采样信号的频谱 1 ( ) s jnt T n te

11、T 即 * 1 ()() s n EjE jjn T * 111 ()()()() ss EjE jjE jE jj TTT + * * 111 ()()()() () sss EjjE jjE jE jj TTT Ej + (2) 采样定理采样定理 即即 的周期为的周期为 * ()Ej s * ()() s EjjkEj0, 1, 2,k 因此，我们有因此，我们有 * 111 ()(2)()() 11 ()(2) ss ss EjE jjE jjE j TTT E jjE jj TT + + 1 ()0 1, 2, s E jjnn T 将其展开可得将其展开可得 若想从上述离散信号恢复为连续

12、信号，则需要满足若想从上述离散信号恢复为连续信号，则需要满足 采样频率怎么选？采样频率怎么选？ n s njE T jE)( 1 )( * 分析表明，采样函数的拉氏变换式分析表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以是以s 为周期的周期函数。另外，上述分析还表示了采样为周期的周期函数。另外，上述分析还表示了采样 函数的拉氏变换式函数的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式与连续函数拉氏变换式E(s) 之间的关系。之间的关系。 通常通常E*(s)的全部极点均位于的全部极点均位于S平面的左半部，平面的左半部， 因此可用因此可用j代替上式中的复变量代替上式中的复变量s，直接求得采样信，直接求得采样信

13、 号的傅氏变换：号的傅氏变换： 上式即为采样信号的频谱函数。它也反映了离散上式即为采样信号的频谱函数。它也反映了离散 信号频谱和连续信号频谱之间的关系。信号频谱和连续信号频谱之间的关系。 一般说来，连续函数的频谱是孤立的，其带宽一般说来，连续函数的频谱是孤立的，其带宽 是有限的，即上限频率为有限值是有限的，即上限频率为有限值 (见图见图7-8（a）)。 而离散函数而离散函数E*(t)则具有以则具有以s 为周期的无限多个频为周期的无限多个频 谱，如图谱，如图7-8（b）所示。）所示。 在离散函数的频谱中，在离散函数的频谱中，n=0的部分的部分E(j)T称称 为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了

14、主频谱为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱 外，外， E*(j)还包含无限多个附加的高频频谱。为了还包含无限多个附加的高频频谱。为了 准确复现采样的准确复现采样的 连续信号，必须使采样后的离散信连续信号，必须使采样后的离散信 号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想 的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保 留主频谱。留主频谱。 图7-8：连续及离散信号的频谱 由图由图7-8可见，相邻两频谱互不重迭的条件是可见，相邻两频谱互不重迭的条件是 s 2max 如果满足条件，并把采样后的离散信号如果

15、满足条件，并把采样后的离散信号e*(t)加到加到 如图如图7-9所示特性的理想滤波器上，则在滤波器的输出所示特性的理想滤波器上，则在滤波器的输出 端将不失真地复现原连续信号端将不失真地复现原连续信号(幅值相差幅值相差lT倍倍)。倘。倘 若若s 0) 的的Z变换变换.( )f tt 解：解： 2 1 )( s tLsF F(s)有两个有两个s=0的极点，即的极点，即2, 0 11 rs 2 22 00 11 ( )limlim (2 1)!(1) TsTs ss dzdzTz Z f ts dss zeds zez 若 对于任何常数a和 b，则有 1 1 Z Z 变换性质线性定理变换性质线性定理

16、 )()(),()( 2211 zXtxZzXtxZ )()()()( 2121 zbXzaXtbxtaxZ 证明：由Z变换定义 1212 0 ( )( )()() k k Z ax tbx tax kTbx kTz 12 00 ()() kk kk ax kT zbx kT z 12 00 ()() kk kk ax kT zbx kT z 12 ( )( )aXzbXz 三、三、Z Z 变换的基本定理变换的基本定理 若 )()(zXtxZ )()(zXznTtxZ n 1 0 )()()( n k kn zkTxzXznTtxZ 2 2 实数位移定理又称平移定理实数位移定理又称平移定理 实

17、数位移含义，是指整个采样序列在时 间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左 平移为超前，向右平移为延迟。 则有 及 3 3 复域位移定理复域位移定理 若 则有： )()(zXtxZ)()(zeXtxeZ aTat 定理的含义是：函数x(t)乘以指数序eaT的Z变换， 等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 取代原 算子z。 ze aT 证明：由Z变换定义 0 ( )() atakTk k Z ex tex kT z 0 ()() aTk k x kTez () aT X ez 例例7-7：试用复数位移定理计算函数：试用复数位移定理计算函数te-at的的Z变换变换 解：令x(t)=t，由于 2

18、 ) 1( )()( z Tz tZzX 根据复数位移定理，有 2 2 ) )( ) 1( ( )( aT aT aT aT ataT ez Tze ze zeT teZzeX 4 复数微分定理复数微分定理 若若 Zx(t)=X(z)，则，则 dz zdX TzttxZ )( )( 5 初值定理初值定理 若若Zx(t)=X(z) ，且当，且当t0t=2时，有z1=3一个极点. 线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传 递函数和离散状态空间表达式三种。 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 将输入序列x(n)，n=1，2，变换为输出 序列y(n)的一种变换关系，称为离散系统。 记为y(n)=Fx

19、(n)其中，x(n) 和y(n)可以理解为 t=nT时，系统的输入序列x(nT)和输出序列y(nT）， T为采样周期。 线性离散系统线性离散系统 如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离 散系统，有如下关系式 若 2211 ）（）（，）（）（nxFnynxFny 且有）（）（）（nbxnaxnx 21 其中和为任意常数，则 ）（）（ ）（）（）（）（ nbynay nbxnaxFnxFny 21 21 线性定常离散系统线性定常离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散 系统称为线性定常离散系统。 一、差分方程一、差分方程 对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出 y(k)不但与k时刻的输入

20、x(k)有关，而且与k时刻以前 的输入x(k1)，x(k2),有关，同时还与k时刻以 前的输出y(k1),y(k2),有关。这种关系可以用 下列阶后向差分方程描述： ）（）（）（ ）（）（）（）（ mkx m bkxbkxb nky n akyakyaky 1 10 2 2 1 1 1 1 差分方程描述差分方程描述 上式可表示为上式可表示为 n i m j jkx j biky i aky 10 ）（）（）（ 式中式中a和和b为常数为常数mn，上式称为阶线性常，上式称为阶线性常 系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离 散系统。散系统。 图8-13：

21、离散系统结构图 如图7-13所示采样系统描述它的一阶微分方 程为： )()()( )()()()( tkrtkyty tkytkrtkety 其一阶差分方程为 )()() 1() 1(kTkTrkTykTTky 2 2 差分方程求解差分方程求解 常用方法有迭代法和z变换法。迭代法非常简 单。可见例7-13。 Z变换法的实质是利用变换法的实质是利用z变换的实数位移定理，变换的实数位移定理， 将差分方程化为以将差分方程化为以z为变量的代数方程，然后进为变量的代数方程，然后进 行行z反变换，求出各采样时刻的响应。反变换，求出各采样时刻的响应。Z变换法的变换法的 具体步骤是：具体步骤是： 对差分方程进

22、行z变换； 解出方程中输出量的z变换Y(z)； 求Y(z)的z反变换，得差分方程的解y(k)。 例例7-13 已知差分方程y(k)=x(k)+5y(k1)6y(k2) 输入序列x(k)=1，初始条件为y(0)=0,y(1)=1，试用 迭代法求出输出序列y(k)，k =0，1，2，10。 解：解：根据初始条件及递推关系，得 y(0)=0 y(1)=1 y(2)=x(2)+5y(1)-6y(0)=6 y(3)=x(3)+5y(2)-6y(1)=25 y(4)=x(4)+5y(3)-6y(2)=90 y(10)=x(10)+5y(9)-6y(8)=86526 例例7-14 用Z变换法解二阶差分方程

23、02132）（）（）（kykyky100）（，）（Tyy 解：解：对上式z变换可得 22 ( )(0)(1)3( )3(0)2 ( )0z Y zz yzyzY zzyY z zyyzyzYzz)0(3) 1 ()0()()23( 22 代入初始条件，得， 2123 )( )()23( 2 2 z z z z zz z zY zzYzz kk ky)2() 1()( , 得 ）（）（）（）（）（TtTtTtTtty4103522 * 图7-14 例7-14的解 二二 脉冲传递函数脉冲传递函数 在线性连续系统中，我们把初始条件为零的在线性连续系统中，我们把初始条件为零的 条件下系统条件下系统(或

24、环节或环节)输出信号的拉氏变换与输入信输出信号的拉氏变换与输入信 号的拉氏变拉之比，定义为传递函数，并用它来号的拉氏变拉之比，定义为传递函数，并用它来 描述系统描述系统(或环节或环节)的特性。的特性。 与此相类似，在线性离散系统中，我们把初与此相类似，在线性离散系统中，我们把初 始条件为零的条件下系统始条件为零的条件下系统(或环节或环节)的输出离散信号的输出离散信号 的的Z变换与输入离散信号的变换与输入离散信号的z变换之比，定义为脉变换之比，定义为脉 冲传递函数，又称为冲传递函数，又称为z传递函数。脉冲传递函数是传递函数。脉冲传递函数是 离散系统的一个重要概念，是分析离散系统的有离散系统的一个

25、重要概念，是分析离散系统的有 力工具。力工具。 图图7-15 7-15 离散系统脉冲传递函数离散系统脉冲传递函数 1 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输 出信号出信号z变换与离散输入信号变换与离散输入信号z变换之比，称为该系变换之比，称为该系 统的脉冲传递函数（或统的脉冲传递函数（或z传递函数）。传递函数）。 ）（ ）（ ）（ zX zY zG 应该指出，多数实际采样系统的输出信号是连续信应该指出，多数实际采样系统的输出信号是连续信 号，如图号，如图8-15所示，在这种情况下，可以在输出端所示，在这种情况下，可

26、以在输出端 虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同 的采样周期的采样周期T同步工作。这样就可以沿用脉冲传递同步工作。这样就可以沿用脉冲传递 函数的概念。函数的概念。 由于由于(t)的拉氏变换等于的拉氏变换等于1，所以输出量的拉，所以输出量的拉 氏变换氏变换y(s)=G(s)，进一步有，进一步有y(s)=L-1G(s) 。习惯。习惯 上将脉冲响应函数用上将脉冲响应函数用g(t)表示，即表示，即g(t)= L 1G(s)。 。 如果在如果在G(s)上加的是上加的是(ta) ，即延迟到，即延迟到a时时 刻才将脉冲函数加上，那么输出信号也自然地延刻才将

27、脉冲函数加上，那么输出信号也自然地延 迟一段时间迟一段时间a，而成为，而成为g(ta) 。 再研究一系列脉冲依次到再研究一系列脉冲依次到G(s)上的情况。脉冲上的情况。脉冲 序列序列x*(t)可以表示成可以表示成 )2()2()()()()0()( * TtTxTtTxtxtx 现在分析一个孤立的单位脉冲函数现在分析一个孤立的单位脉冲函数(t) 加在线加在线 性对象性对象G(s)上的情况。上的情况。 在在0tT时间内，实际起作用的只有时间内，实际起作用的只有t=0时刻时刻 加入的那一个脉冲，其余各个脉冲尚未加入。因加入的那一个脉冲，其余各个脉冲尚未加入。因 此在这段时间内的输出量是此在这段时间

28、内的输出量是y(t)=x(0)g(t),将将t=0代代 入上式得入上式得y(0)=x(0)g(0) 。在。在Tt0，2.736-0.632k0，即k4.33。 四、采样周期与开环增益对稳定性的影响四、采样周期与开环增益对稳定性的影响 例例7-21 设有零阶保持器的离散系统如图7-24所示， 试求： （1）当采样周期T分别为1(s)，0.5(s)时，系统的临 界开环增益Kc。 （2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4(s)时， 系统的输出响应c(kT)。 图7-24 例7-21离散系统 )(1( )1 () 1( )1 ()( 1)(SS k 1 2 T ezz t Te

29、T ezT T e k ZzzG 0 )368. 0264. 0()368. 1368. 0()( 2 kzkzzD 0)104. 0736. 2( )528. 0264. 1 (632. 0)( 2 k wkkwwD 由劳斯判据KC=2.4 W域（T=0.5时）： 0)017. 0214. 3( )18. 0786. 0(197. 0)( 2 k wkkwwD 解： 由劳斯判据KC=4.37 )(1 )( )( zG zG z )1 ()1 () 1( )1 () 1( 2TTTTT TTT eTeeKzeTeKz TeezTeK 且由 ，可求得C(z)表达式 1 )( z z zR 取K=

30、1，T=0.1, 1, 2, 4s，可由C(z)求Z反变换得到 c(kT)，见图7-25 图7-25 不同T时的响应 线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广 到采样系统中来。 下面仅介绍稳态误差系数的计算。 设单位反馈采样系统如图7-26所示： 图7-26 单位反馈离散系统 系统的开环脉冲传递函数为G(z) 采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样 时刻上的数值c(nT) (n=0，1，2)，以及从过渡 过程曲线c(t)求取外，还可以应用Z变换的终值定理 来计算。 ( ) ( )( ) ( ),( ) 1( ) G z Y zz R zz G z ( ) ( )( )( )( )( ) 1(

31、 ) 1 ( )( ) ( ) 1( ) e G z E zR zY zR zR z G z R zz R z G z 利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 )(1 )() 1( lim)() 1(lim)(lim)( 11 * zG zRz zEztee zzt 上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式 有关。 与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系 统型别的概念，由于 的关系，原线性连续系 统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分 系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传 递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型 别,称v=0,1,2,.的系统

32、为0型、I型、II型离散系统。 sT ez 下面考查几种典型输入作用下的稳态误差。 (1)单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差 p z zz kzG z z zG z zEze 1 )(1 lim 1 1)(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 1 11 式中 称为静态位置误差系数。 )(1 lim 1 zGk z p 对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp, 从而e()0；对I型、II型以上的离散系统（有一个 或一个以上 z=1的极点），则 Kp=，从而e()=0。 因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在 采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统， 在采样瞬

33、时没有位置误差。这与连续系统十分相似。 （2）单位斜坡输入时的稳态误差）单位斜坡输入时的稳态误差 v z zz k T zGz T z Tz zG z zEze )() 1(lim ) 1()(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 1 2 11 式中 称为静态速度误差系数。 因为0型系统的kv=0， I型系统的为有限值，II 型和II型以上系统的 ，所以有如下结论：0型离散 系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统在单 位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以上离 散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。 )() 1(lim 1 zGzk z v （3）单位加速度输入时的稳态误

34、差）单位加速度输入时的稳态误差 a z zz k T zGz T z zzT zG z zEze 2 2 1 2 3 2 11 )() 1(lim ) 1(2 ) 1( )(1 ) 1( lim)() 1(lim)( 当然，上式也是系统的稳态位置误差，并称 为加速度误差。 式中 称为静态加速度误差系数。)() 1(lim 2 1 zGzk z a 由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常 值，III型及III型以上系统的， ka=,因此有如下 结论成立： 0型及型及I型离散系统不能承受单位加速度函数型离散系统不能承受单位加速度函数 作用，作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下型离散

35、系统在单位加速度函数作用于下 存在加速度误差，只有存在加速度误差，只有III型及型及III型以上的离散型以上的离散 系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬 时的稳态位置误差时的稳态位置误差。 在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点 在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。 与此类似，离散系统的暂态响应与闭环脉冲传递 函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。 一、离散控制系统闭环极点分布和暂态响应的关系一、离散控制系统闭环极点分布和暂态响应的关系 设闭环系统的脉冲传递函数为 nn nnn mm mmm azazazaza bzbzbzbzb

36、zN zM z 1 2 2 1 10 1 2 2 1 10 )( )( ) （ 式中m0时， （令 ） akT i k iii eApAkTy)( i p T aln 1 动态过程为按指数规律变化脉冲序列。 pi 1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆外，动态响应为振荡脉冲序列； 若| pk |=1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆上，动态响应为等幅振荡脉冲序列； 若| pk |1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列,且| pk |越小, 即复极点越靠近原点,振荡收敛越快； 闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关 系，如图7-28所示 图7-28 复数极点分布与

37、响应的关系 通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数 的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质 和特点。 当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分 量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位 于正实轴上，暂态分量按指数衰减。一对共扼复数 极点的暂态分量为振荡衰减，其角频率为kT。 若极点位于负实轴上，也将出现衰减振荡，其振荡 角频率为T。为了使采样系统具有较为满意的暂 态响应，其z传递函数的极点最好分布在单位圆内 的右半部靠近原点的位置。 在线性连续系统中采用的，根据一对主导极 点分析系统暂态响应的方法，也可以推广到采样 系统。 综上所述,离散系统的动态特性与闭环极点的 分布密切相关。当

38、闭环实极点位于z平面上左半单 位圆内时,由于输出衰减脉冲交替变号,故动态过程 质量很差;当闭环复极点位于左半单位圆内时,由于 输出衰减高频振荡脉冲,故动态过程性能欠佳。 因此因此,在离散系统设计时在离散系统设计时,应把闭环极点安置在应把闭环极点安置在z平平 面的右半单位圆内面的右半单位圆内,且尽量靠近极点。且尽量靠近极点。 例例7-22 若系统结构如图7-29所示，试求其单位阶跃 响应的离散值，并分析系统的动态性能。采样周期 T=0.2秒。 图图7-29 7-29 例例7-227-22系统结构图系统结构图 解：解：系统的闭环脉冲传递函数为 0173. 06048. 07728. 0 0198.

39、 04990. 03805. 0 )( 23 2 zzz zz z 当输入量r(t)=1(t)时，R(z)=z/(z1)，输出量的z 变换为： 10173. 06408. 07728. 0 0198. 04990. 03805. 0 )()()( 23 2 z z zzz zz zRzzY 0173. 05875. 03776. 17728. 1 0198. 04490. 03805. 0 234 23 zzzz zzz 利用长除法得 14131211 109876 54321 005. 1960. 0942. 0989. 0 079. 1118. 1025. 1842. 0760. 0 94

40、5. 0313. 1488. 1124. 1381. 0)( zzzz zzzzz zzzzzzY 基于z变换定义，由上式求得系统在单位阶跃外 作用下的输出序列y(kT)为 005. 1)14(118. 1)9(313. 1)4( 960. 0)13(025. 1)8(488. 1)3( 942. 0)12(842. 0)7(124. 1)2( 989. 0)11(760. 0)6(381. 0)( 079. 1)10(945. 0)5(0)0( TyTyTy TyTyTy TyTyTy TyTyTy TyTyy 根据上面各离散点数据绘出系统单位阶跃响 应曲线如图7-30示。 由图求得给定离散

41、系统的近似性能指标为： %48% ),(6 .0 ),(4 .0 超调量 峰值时间 上升时间 st st p r 图图7-30 7-30 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 在设计离散控制系统的过程中，为了满足性能指在设计离散控制系统的过程中，为了满足性能指 标的要求，常常需要对系统进行校正。与连续控制标的要求，常常需要对系统进行校正。与连续控制 系统相类似，离散控制系统中的校正装置按其在系系统相类似，离散控制系统中的校正装置按其在系 统中的位置可分为串联校正装置和反馈校正装置；统中的位置可分为串联校正装置和反馈校正装置； 按其作用可分为超前校正和迟后校正。与连续系统按其作用可分为超前校正和迟后

42、校正。与连续系统 所不同的是，离散系统中的校正装置不仅可以用模所不同的是，离散系统中的校正装置不仅可以用模 拟电路来实现，而且也可以用数字装置来实现。拟电路来实现，而且也可以用数字装置来实现。 在一般情况下，线性离散系统采取数字校正的在一般情况下，线性离散系统采取数字校正的 目的，是在使系统稳定的基础上进目的，是在使系统稳定的基础上进步提高系统的步提高系统的 控制性能，如满足一些典型控制信号作用下系统在控制性能，如满足一些典型控制信号作用下系统在 采样时刻上无稳态误差，以及过渡过程在最少个采采样时刻上无稳态误差，以及过渡过程在最少个采 样周期内结束等项要求。样周期内结束等项要求。 一、一、 数

43、字控制器的脉冲传递函数数字控制器的脉冲传递函数D(z) 如图7-31所示的线性离散系统(线性数字控制系 统)中，数字控制器D将输入的脉冲系列e*(t)作旨在 满足系统性能指标要求的适当处理后，输出新的脉 冲序列u*(t)。如果数字控制器对脉冲序列的运算是 线性的，那么，尽管这里无连续工作式的元件存在， 也可以确定个联系输入脉冲序列e*(t)与输出脉冲 序列u*(t)的脉冲传递函数D(z)。 在确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)时，假设 其前后两个采样开关的动作是同步的，即认为计算过 程很快，输出对输入没有明显地迟后；如果计算迟后 较大，仍可以认为输出输入是同步采样的。但这时需 在输出开关后面

44、附加一个迟后时间等于计算迟后的迟 后环节。 图7-31：线性离散系统 )()(1 )()( )( )( )( zGzD zGzD zR zY z )(1)( )( )( zzG z zD 在图7-31所示线性离散系统中，设反馈通道的传 递函数H(s)1，以及连续部分(包括保持器)G(s)的z 变换为G(z)，则求得单位反馈线性离散系统的闭环 脉冲传递函数为 )()(1 1 )( )( )( zGzDzR zE z e )()( )(1 )( zzG z zD e e 根据线性离散系统连续部分的脉冲传递函数G(z) 及系统的闭环脉冲传递函数或 e(z)便可确定出数字 控制器的脉冲传递函数D(z)

45、。 n n m m zazazaza zbzbzbb zD 3 3 2 2 1 1 2 2 1 10 1 )( 数字控制器脉冲传递函数的一般形式为 式中 ai (i1，2，n) 及bi (i0，1，2，m) 为常系数。 为使数字控制器的脉冲传递函数D(z)具有物理 实现性，在式中，需要有nm的条件存在。当nm 时，分子多项式中可能缺少前面几项，但其分母各 项式在nm和n=m时并没有变化，z0项系数仍为1。 因此，分母多项式中z0项系数的存在，便说明条件 nm是成立的。 在这里，对系统控制性能的要求，由闭环脉冲 传递函数(z)或e(z)来反映。因此,在闭环脉冲传 递函数和系统性能指标间的联系便是

46、需要讨论的一 个重要问题。 二二 最少拍系统的脉冲传递函数最少拍系统的脉冲传递函数 在离散控制过程中，通常把一个采样周期 称作一拍。具有当典型控制信号作用下在采样 时刻上无稳态误差，以及过渡过程能在最少个 采样周期内结束等项控制性能的离散系统，称 为最少拍系统或有限拍系统。 2 2 1 )(ttr ttr)( 1 1 1 )( z zR 31 112 )1 (2 )1 ( )( z zzT zR 21 1 )1 ( )( z Tz zR )( 1)(ttr 设典型输入信号分别为单位阶跃信号、单 位速度信号和单位加速度信号时，其 z 变换分 别为： 为使稳态误差为0， e (z) 中应包含 因子

47、。 可见典型输入信号的Z变换可写为 其中A(z)是不包含因子(1 z1)的z1 的多项式。 r z zA zR )1 ( )( )( 1 )( )( )( zR zE z e )()()(zRzzE e r ee z zA zzRzzE )1 ( )( )()()()( 1 )( )1 ( )( )1 (lim)()1 (lim 1 1 1 1 1 z z zA zzEze e r zz sr r z)1( 1 由 有 利用终值定理，给定稳态误差为 )()1 ()( 1 zFzz r e 设 式中F(z)为不包含(1 z1)的z1的多项式 可见，当 F(z)=1时，E (z)中包含的z1的项数

48、 最少。离散系统的暂态响应过程可在最少个采样周 期内结束。 1 ( ) ( )( ) ( )( )= ( ) ( ) (1) ee r A z E zz R zzF z A z z 因此， r e zz)1 ()( 1 r zz)1 (1)( 1 是无稳态误差最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数。 在典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位速度 信号和单位加速度信号时，可分别求得最少拍采样系 统的闭环脉冲传递函数 e (z) 、 e (z)及E(z)、C(z)。 1 1 1 )(),( 1)( z zRttr )1 ()( 1 zz e 1 )( zz )1)()()( )( )()( )(1 )(

49、1 1 zzG z zzG z zzG z zD ee e 当，或r=1时得 于是 且有 1)()()(zRzzE e n zzzz z zzC 321 1 1 1 1 )( 0)2()(, 1)0(TeTee 1)2()(, 0)0(TcTcc 表明： 可见最少拍离散系统经过一拍便可完全跟踪阶跃 输入，其调节时间ts=T 。 21 1 )1 ( )(,)( z Tz zRttr 2121 21)1 ()( zzzz e 2121 2)1 (1)( zzzz 当 或 r=2时得 于是 )21)( 2 )()( )( )( 21 21 zzzG zz zzG z zD e 且有 1 )()()(

50、 TzzRzzE e n nTzTzTz z Tz zzzC 32 21 1 21 32 )1 ( )2()( 表明： 0)3()2(,)(, 0)0(TeTeTTee nTnTcTTc TTcTcc )(3)3( ,2)2(, 0)()0( 可见最少拍离散系统经过二拍便可完全跟 踪斜坡输入，其调节时间ts=2T 。 当 , 2 1 )( 2 ttr 31 112 )1 (2 )1 ( )( z zzT zR或r=3时得 31) 1 ()( zz e 32131 33)1 (1)( zzzzz 31 321 )1)( 33 )()( )( )( zzG zzz zzG z zD e 于是 且有

51、 2212 2 1 2 1 )()()( zTzTzRzzE e n zT n zTzT z zzT zzzzC 2 2 3222 31 112 321 22 9 2 3 )1 (2 )1 ( )33()( 表明： 0)3()2(, 0)()0(TeTeTee 2 2 2 2 )(, 2 3 )2(, 0)()0(T n nTcTTcTcc 可见最少拍离散系统经过三拍便可完全跟踪 抛物输入，其调节时间ts=3T 。 最少拍系统反应位置阶跃输入、速度输入及 加速输入信号时的过渡过程c*(t)，分别示于图7- 32，图7-33，图7-34。 图图7-32 7-32 最少拍阶跃输入过渡过程最少拍阶跃

52、输入过渡过程 图图7-33 7-33 最少拍斜坡输入过渡过程最少拍斜坡输入过渡过程 图图7-34 7-34 最少拍抛物输入过渡过程最少拍抛物输入过渡过程 求取数字控制器的脉冲传递函数求取数字控制器的脉冲传递函数D(z) 当线性离散系统的典型输入信号的形式确定当线性离散系统的典型输入信号的形式确定 后，如果开环脉冲传递函数后，如果开环脉冲传递函数G(z)不含传递迟后，不含传递迟后， 以及以及G(z)在单位圆上及单位圆外既无极点也无零在单位圆上及单位圆外既无极点也无零 点，便可由表点，便可由表7-3选取相应的最少拍系统的闭环脉选取相应的最少拍系统的闭环脉 冲传递函数。这时，由选定的闭环脉冲传递函数

53、冲传递函数。这时，由选定的闭环脉冲传递函数 e(z)(或或e(z)，便可求得确保线性离散系统成为，便可求得确保线性离散系统成为 最少拍系统的数字控制器的脉冲传递函数最少拍系统的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。 例例7-23 设单位反馈线性离散系统的连续部分及设单位反馈线性离散系统的连续部分及 零阶保持器的传递函数分别为零阶保持器的传递函数分别为 ) 1( 10 )( 0 ss sG s e sG Ts h 1 )( 其中其中T为采样周期；已知为采样周期；已知T1秒，试求取在斜坡秒，试求取在斜坡 输入信号输入信号r(t)=t作用下，能使给定系统成为最少拍作用下，能使给定系统成为最少拍 系统的数字控制器的脉冲传递函数系统的数字控制器的脉冲传