矢量图解法求运动

1、 v1 v2 V V=V1+V2 v1 v2 V12=V1-V2 v1 v2 V12 合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动 的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、 互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行， 不会因有其它分运动的存在而发生改变不会因有其它分运动的存在而发生改变 描述运动状态的位移、速度、加速度等描述运动状态的位移、速

2、度、加速度等 物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即 平行四边形定则作上述物理量的运算平行四边形定则作上述物理量的运算 独立性原理独立性原理 运动的合成与分解遵循的原理：运动的合成与分解遵循的原理： 等时性原理等时性原理 矢量性原理矢量性原理 引入中介参照系引入中介参照系 * * 根据实际效果分解运动根据实际效果分解运动. * * 若设质点若设质点A对静止参考系对静止参考系C的速度（绝对速度）为的速度（绝对速度）为vAC，动，动 参考系参考系B对对C的速度（牵连速度）为的速度（牵连速度）为vBC，而，而A对动参考系对动参考系B的

3、速的速 度（相对速度）为度（相对速度）为vAB，则有，则有 vvv ACABBC 位移的合成与分解为位移的合成与分解为 vvv ABACBC SSS ACABBC SSS ABACBC 加速度的合成与分解为加速度的合成与分解为aaa ACABBC aaa ABACBC 12 vvv 例例1：雨滴在空中以：雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面 而少淋雨，伞柄应指向什么方向？而少淋雨，伞柄应指向什么方向？ 雨对地的速度（绝对速度雨对地的速度（绝对速度） v雨 雨=

4、4 m/s 竖直向下 竖直向下 人对地的速度（牵连速度）人对地的速度（牵连速度）v人 人=3 m/s 向东 向东 雨对人的速度（相对速度）雨对人的速度（相对速度）V雨对人 雨对人 vvv 雨雨人人雨雨人人对对 三速度矢量关系为三速度矢量关系为 伞柄方向与竖直成伞柄方向与竖直成 3 tan 4 v v 人 雨 3 arctan37 4 o 12AB vvv 由由“两质点相遇两质点相遇”知知A处质处质 点相对于点相对于B处质点的速度处质点的速度vAB 方向沿方向沿AB连线连线 CA B v1 v2 12 AB vvv d l 由几何三角形与矢量三角形关系得由几何三角形与矢量三角形关系得: 21 s

5、in m vv 1 22 = d v dl 方向与方向与BC成成 例例2：一质点从：一质点从A点出发沿点出发沿AC方向以方向以v1速度匀速运动，与此同时，速度匀速运动，与此同时， 另一质点以另一质点以v2速度从速度从B点出发做匀速运动，如图所示，已知点出发做匀速运动，如图所示，已知A、C 相距相距l，B、C相距相距d，且，且BCAC，若要两质点相遇，若要两质点相遇，v2的最小速的最小速 率为多少？其方向如何？率为多少？其方向如何？ 22 arcsin d dl 船对岸的速度（绝对速度船对岸的速度（绝对速度） v 水对岸的速度（牵连速度）水对岸的速度（牵连速度）v水 水 船对水的速度（相对速度）

6、船对水的速度（相对速度）v舟 舟 航行时间航行时间 s t v 舟舟 舟舟 渡河时间取决于渡河时间取决于船对水的速度船对水的速度v舟 舟: 当当v舟 舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移 方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟 舟=d最小， 最小， 故可使渡河时间最短故可使渡河时间最短: min 舟 d t v S v水 水 v舟 舟 v 河岸河岸 d 河岸河岸 v水 水 v舟 舟 v S水 水 S舟 舟 水速大小不影响渡河时间水速大小不影响渡河时间! 实际航程实际航程 v水 水 v舟 舟 v 河岸河岸 d 河岸河岸 v水 水 v舟 舟 v 河岸河岸 d 河岸河岸 sin 水 舟

7、v arc v 为使航程最小，应使为使航程最小，应使v舟 舟与 与v水 水的合速度 的合速度v与河岸的垂线间的夹角与河岸的垂线间的夹角 尽量地小！尽量地小！ 若若v舟舟v水，水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在 若若v舟 舟 v水 水， ，船的实际位移为河宽船的实际位移为河宽d航程即最短，故航程即最短，故 v舟 舟的方向 的方向 与船的航线成与船的航线成船头指向上游船头指向上游 v舟 舟 v水 水 v cos 舟 水 v arc v 这时船的实际航程为这时船的实际航程为 v d v 水水 舟舟 船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成船头指向上游且

8、与实际航线垂直，与上游河岸成 当船的航程最短时，航行时间不是最短当船的航程最短时，航行时间不是最短 例例3： 某一恒力作用在以初速度某一恒力作用在以初速度v运动的物体上，经过时间运动的物体上，经过时间t，物，物 体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过 了了3t时间后，物体的速度时间后，物体的速度v3t之大小之大小 2132ttttt vvvvvvv B D v vt v2t v3t v O A v v C 在矢量三角形中运用在矢量三角形中运用 余弦定理余弦定理: 2 22 2cos 2 v vvvv 2 2 2 222c

9、os 4 v vvvv 2 22 3 323cos t vvvvv 3 7 4 t vv 例例4：从：从h高处斜向上抛出一初速度大小为高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角的物体，讨论抛出角 为多大时物体落地的水平位移最大为多大时物体落地的水平位移最大 物体做抛体运动时，只受重力作用在落下物体做抛体运动时，只受重力作用在落下h高度的高度的 时间时间t内，速度增量内，速度增量v恒为竖直向下恒为竖直向下,大小为大小为gt; 落地时速度落地时速度v的大小为的大小为 2 0 2 t vvgh 矢量关系矢量关系: : 0t vvv h v0 vt v v0 矢量矢量“面积面积” 0 1 co

10、s 2 Sgt v x 1 2 gx 0 1 sin 2 t vv 2 00 2 sin vvgh x g 2 即 当当 2 00 max 2vvgh x g 0 2 0 tan 2 v arc vgh 时时 练习练习1：如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别：如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别 为为 v甲 甲和 和v乙 乙 ，两船从同一渡口向河对岸划去已知甲 ，两船从同一渡口向河对岸划去已知甲 船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两 船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用

11、时 间之比间之比t甲 甲 t乙乙= 起、止点相同，甲、乙合速度起、止点相同，甲、乙合速度 方向一致，运动合成情况如示方向一致，运动合成情况如示: V 水 水 V 甲 甲 V 甲合 甲合 V 乙 乙 V 乙合 乙合 2 sin sin /sin tvv tvv 甲甲乙乙合合水水 乙乙甲甲合合水水 2 2 sin 乙 甲 而 v v 2 甲乙 乙甲 故 tv tv :vv 2222 乙乙甲甲 两船航程相同，时间应与合速度成反比，由图两船航程相同，时间应与合速度成反比，由图 练习练习2： 骑自行车的人以骑自行车的人以20 kmh 的速率向东行驶，感到风从的速率向东行驶，感到风从 正北方吹来，以正北方

12、吹来，以40 kmh 的速率向东行驶，感到风从东北方向的速率向东行驶，感到风从东北方向 吹来，试求风向和风速吹来，试求风向和风速 人对地的速度人对地的速度 V人 人1=20 km/h ,V人人2=40 km/h,方向正东 方向正东 风对地的速度风对地的速度V风 风？ ？ 风对人的速度风对人的速度 V风对人 风对人1方向正南， 方向正南， V风对人 风对人2方向西南 方向西南 v风 风 v风对人 风对人1 v风对人 风对人2 v人 人1 v人 人2 速度矢量速度矢量V风 风= V风对人风对人+ V人人的关系如图 的关系如图 由图中几何关系易得由图中几何关系易得 228/ 人 1 vvkm h 风

13、风 风向西北风向西北 练习练习3：从离地面同一高度：从离地面同一高度h、相距、相距l的两处同时各抛出一个石块，的两处同时各抛出一个石块， 一个以速度一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位向第一个石块原来位 置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离 一个石块对地的速度为一个石块对地的速度为 v1+vy 另一个石块对地的速度为另一个石块对地的速度为 v2+vy 两者相对速度为两者相对速度为 212121yy vvvvvvv v1 v2 v21 l x21 以石块以石块1为参考系

14、，石块为参考系，石块2的位移方向的位移方向 与与v21相同相同: 以石块以石块1为参考系，两石块初始距离为参考系，两石块初始距离为为l: 最最 小小 距距 离离 d sindl 由图由图 11 22 21 12 sin vv v vv 而而1 22 12 v l d vv 这个最短距离适用于这个最短距离适用于 另一石块落地之前另一石块落地之前 21 cos 即 l v 2h g 2 22 12 lv vv v0 v D A B 练习练习4：如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为：如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D， 船速为船速为v0 ，一艘速率为，一艘速率为v

15、（vv0 ）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行 去拦截这条船证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点去拦截这条船证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出之前出 发，这点在港口后面的发，这点在港口后面的 处如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，处如果快艇在尽可能迟的瞬时出发， 它在什么时候和什么地方截住这条船？它在什么时候和什么地方截住这条船？ 22 0 vv D v 艇拦截到船即相遇艇拦截到船即相遇, ,有有艇相对于船的速度艇相对于船的速度V 方向沿方向沿AB连线连线 两者相对速度为两者相对速度为 0 Vvv 22 0 cot vv arc v B v0 v

16、 V v、V夹角夹角不会超过不会超过90 由速度矢量三角形得由速度矢量三角形得 S 则则 22 0 cot vv SDD v 上述上述是最迟出发的是最迟出发的临界情况临界情况! ! 此时此时 0 csc v SDD v 相相 22 0 Vvv 0 22 0 cscv D v v D t v V 截住船的位置在截住船的位置在A A前方前方 2 0 22 0 Dv v vv A 练习练习5：一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为：一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为1 30，另一次安装成倾斜角度为，另一次安装成倾斜角度为215，问汽车两次速度，问汽车两次速度 之比之比v1 v2为

17、多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的 正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的） 冰雹近、离车的速度遵守冰雹近、离车的速度遵守“反射定律反射定律” 第一次第一次 1雹雹 vvv 对对车车 15 v1 v雹 雹 v雹离车 雹离车 v雹近车 雹近车 30 30 30 30 第二次第二次 2雹雹 vvv 对对车车 v2 v雹 雹 v雹近车 雹近车 v雹离车 雹离车 15 15 60 由两矢量图由两矢量图 1 cot30 雹 vv 2 cot60 雹 vv 则则 1 2 3 1 v v 练习练习6： 快

18、艇系在湖面很大的湖的岸边湖岸线可以认为是直快艇系在湖面很大的湖的岸边湖岸线可以认为是直 线突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度线突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v02.5 km/h沿与湖沿与湖 岸成岸成15角的方向飘去同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速角的方向飘去同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速 度度v14 km/h行走或在水中以速度行走或在水中以速度v22 km/h游去，此人能否赶上游去，此人能否赶上 快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？ 15 v0(x+y) v1x v2y 设人以设人以v1速度运动时间速度运动时间x，以，以v2速度运动时间速度运动时间y，则有，则有 人赶上艇，人赶上艇，两者位移矢量构成闭合三角形两者位移矢量构成闭合三角形， 位移的矢量关系位移的矢量关系 021 vxyv xv y 2 22 242.52 42.5cos15即yxxyxxy 整理得整理得 22 95020628920620yxyx 此式有解，即人能赶上以此式有解，即人能赶上以2.5 km/h飘行的快艇飘行的快艇! ! 推至一般推至一般 2 50206249 8920620 v 2 31262160vv v 2 2 km/h