大学物理 马文蔚 课堂笔记27

1、上海师范大学上海师范大学1/14 上海师范大学上海师范大学2 在外力作用下在外力作用下, 形状和大小都不发生变化的物体叫做形状和大小都不发生变化的物体叫做刚体刚体. 刚体的运动形式有二种：刚体的运动形式有二种：平动平动、转动转动. 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 前面三章讨论了质点的运动规律前面三章讨论了质点的运动规律. 质点是没有大小和质点是没有大小和形状但有质量的点形状但有质量的点. 当物体的运动与它的形状和大小没有关系时当物体的运动与它的形状和大小没有关系时, 可以将其视为质点可以将其视为质点. 但如果物体上的各点运动规律不同时但如果物体上的各点运动规律不同时, 如何进行描述呢如何

2、进行描述呢? -本章要讨论的问题本章要讨论的问题 一、一、 概念概念什么是刚体什么是刚体? 1. 刚体的定义刚体的定义 刚体在运动过程刚体在运动过程, 任意两质点间距离保持不变任意两质点间距离保持不变. 刚体一个理想模型刚体一个理想模型. 如果在讨论一个固体的运动时如果在讨论一个固体的运动时, 这种形状或体积的改变可这种形状或体积的改变可 以忽略以忽略, 我们就把这个固体当作刚体来处理我们就把这个固体当作刚体来处理. 实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变. 2. 刚体的运动形式刚体的运动形式 (i)平动：平动：如果

3、刚体在运动中如果刚体在运动中, 连结刚体内两点的直线在空间的指向总保持平行连结刚体内两点的直线在空间的指向总保持平行, 这样的运动就叫平动这样的运动就叫平动. 即刚体内所有点的运动轨迹完全相同即刚体内所有点的运动轨迹完全相同. 车箱的运动可车箱的运动可 以看成是平动以看成是平动 /14 上海师范大学上海师范大学3 刚体平动刚体平动 质心运动质心运动 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 注意：注意：刚体平动时刚体平动时, ,刚体内刚体内各质元各质元的运动轨迹都一样的运动轨迹都一样, ,而且在而且在同一时刻的速同一时刻的速 度和加速度都相等度和加速度都相等。因此。因此, ,在描述刚体的平动时在描

4、述刚体的平动时, ,可以用一点的运动可以用一点的运动 来代表，通常就来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。 (ii) 转动转动: 当刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动时当刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动时, 这种运动叫做这种运动叫做转动转动. 如果转轴的位置和方向不随时间变化如果转轴的位置和方向不随时间变化, 这种转轴称为这种转轴称为固定转轴固定转轴. 该直线叫做该直线叫做转轴转轴.转动是刚体的基本运动形式之一转动是刚体的基本运动形式之一. 刚体绕固定转轴的转动则叫做刚体的刚体绕固定转轴的转动则叫做刚体的定轴转动定轴转动. 例如例如,

5、 开门和关门时整个门体的运动就是定轴转动开门和关门时整个门体的运动就是定轴转动. 如果转轴的位置或方向随时间变化如果转轴的位置或方向随时间变化, 这种这种转轴称为转轴称为瞬时转轴瞬时转轴. 例如旋转陀螺的转轴就是瞬时转轴例如旋转陀螺的转轴就是瞬时转轴. /14 上海师范大学上海师范大学4 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 (iii) 刚体的一般运动刚体的一般运动: 既有平动又有转动的刚体运动既有平动又有转动的刚体运动. 例如行驶在公路上的汽车的车轮例如行驶在公路上的汽车的车轮, 既有转动又有向前的平动既有转动又有向前的平动. 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合刚体的一般运

6、动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合. /14 车轮的运动可以看成是车轮的运动可以看成是轮心轮心 的的平动和车轮绕轮心的转动平动和车轮绕轮心的转动 质点的运动是用位移、位矢、速度和加速度等量进行描述的质点的运动是用位移、位矢、速度和加速度等量进行描述的. 刚体的刚体的一般运动一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ 刚体的转动如何进行描述呢刚体的转动如何进行描述呢 ？ 上海师范大学上海师范大学5 二、刚体定轴转动的描述二、刚体定轴转动的描述 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体绕某一固定轴转动时刚体绕某一固定轴转动时, 刚体上各质元都在垂直于转轴刚体上各质元都在垂直于转

7、轴 的平面内作圆周运动的平面内作圆周运动. mi 转轴转轴 且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同, 根据这根据这 一特点一特点,常取垂直于转轴常取垂直于转轴 的平面为的平面为参考系参考系, 这个平面称这个平面称转动转动 平面平面. 转动平面转动平面 转轴转轴 Z O P i r i 因为刚体上各质元到转轴的距离不同因为刚体上各质元到转轴的距离不同, 因此刚因此刚 体上各质元的线速度、体上各质元的线速度、 加速度一般是不同的加速度一般是不同的. 因此描述刚体的运动时因此描述刚体的运动时, 用用角量角量最为方便最为方便. 但由于各质元的但由于各质

8、元的相对位置相对位置保持保持不变不变, 所以所以 描述各质元运动的角量描述各质元运动的角量, 如角位移、如角位移、 角速角速 度度 和角加速度都是一样的和角加速度都是一样的. 转动方向转动方向 /14 上海师范大学上海师范大学6 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 1. 角坐标角坐标(位置位置) 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系, 则描述刚体转动时的各则描述刚体转动时的各 角量角量定义如下定义如下: 原点到任意质元的位矢原点到任意质元的位矢 与与Ox轴的夹角轴的夹角. i r 角坐标角坐标 是时间是时间t的函数的函数, 即即)(t 2. 角位移角位移 角位移方向与转动方向成角位移方向与转

9、动方向成右手螺旋法则右手螺旋法则 : 拇指指向拇指指向Z轴正向轴正向, 四指的弯曲方向与四指的弯曲方向与 转动方向一致时转动方向一致时, 角位移为正角位移为正; 四指的弯曲方向与转动方向相反时四指的弯曲方向与转动方向相反时, 角位移为负角位移为负. 刚体上任一质元刚体上任一质元, 在在t到到t+dt时间内的角移时间内的角移,即即 转动平面转动平面 转轴转轴 Z O P i r i x 转动方向转动方向 角位移是矢量角位移是矢量, 方向方向规定规定如下如下: 从从Z轴的上方向下方看轴的上方向下方看, (i) 如果如果r从从Ox轴开始沿轴开始沿逆时针逆时针方向转动方向转动, 则角位移则角位移 为为

10、正正. (ii) 如果如果r从从Ox轴开始沿轴开始沿顺时针顺时针方向转动方向转动, 则角位移则角位移 为为负负. 3. 角速度矢量角速度矢量 单位时间内的角位移叫做角速度单位时间内的角位移叫做角速度. )()(ttt 角位移角位移 (1) )( d d lim 1 0 srad tt t (2)即即 z /14 上海师范大学上海师范大学7 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 )( d d lim 1 0 srad tt t (3) 角速度角速度矢量矢量 由于角位移矢量遵守右手螺旋法则由于角位移矢量遵守右手螺旋法则, 因此角速度矢量因此角速度矢量 也遵守也遵守右手螺旋法则右手螺旋法则: 右手拇

11、指伸直右手拇指伸直, 使四指的弯曲方向与转动方向一致使四指的弯曲方向与转动方向一致, 则拇指所指则拇指所指 的方向为角速度的方向为角速度 的方向的方向. 0 z 0 z (i) 当角速度方向与当角速度方向与Z轴正方向相同时轴正方向相同时, 0; (ii) 当角速度方向与当角速度方向与Z轴正方向相反时轴正方向相反时, 0 表示刚体作表示刚体作加速转动加速转动; 即转动越来越快即转动越来越快. 角加速度与角速度方向相同角加速度与角速度方向相同. . (ii) 0时时, 有有 /14 上海师范大学上海师范大学8 三、三、 匀变速转动的公式匀变速转动的公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动

12、 质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 at 0 vv 2 2 1 00 attxxv )(2 0 2 0 2 xxa vv t 0 )(2 0 2 0 2 2 2 1 00 tt 当刚体绕定轴转动的当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量角加速度为恒量时时, 刚体作匀变速转动刚体作匀变速转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比：刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比： 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 由于刚体定轴转动时，刚体上的质点都作圆周运动，因此匀变速由于刚体定轴转动时，刚体上的质点都作圆周运动，因此匀变速转动中的角转动中的角 位移、角速度与时间的位移、角速度与时间的关系与圆

13、周运动的公式关系与圆周运动的公式P16 (1-18)式相同。且形式式相同。且形式上类上类 似于与匀速直线运动中的位移和速度与时间的关系似于与匀速直线运动中的位移和速度与时间的关系. 匀变速转动的角速度和角位移与时间的关系如何匀变速转动的角速度和角位移与时间的关系如何 ? 当刚体绕定轴转动时当刚体绕定轴转动时, 组成刚体的所有质点都绕定轴作圆周运动组成刚体的所有质点都绕定轴作圆周运动. 刚体上所有质点都具有相同的角速度和角加速度刚体上所有质点都具有相同的角速度和角加速度. 刚体中的质点的线速度相同吗刚体中的质点的线速度相同吗 ?线速度与角速度有何关系线速度与角速度有何关系 ? /14 上海师范大

14、学上海师范大学9 2 2 d d d d , d d ttt 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 四、角量与线量的关系四、角量与线量的关系 r t e v t a n a a P 如图是一刚体绕一定轴转动如图是一刚体绕一定轴转动. 刚体的任一质元刚体的任一质元P的的线速度线速度为为 可见刚体上任一点的线速度与该点到转轴的垂直距离成正比可见刚体上任一点的线速度与该点到转轴的垂直距离成正比. 1. 线速度线速度 t er v (5) 2. 线加速度线加速度 由圆周运动的加速度公式可得由圆周运动的加速度公式可得, 质元质元P的切向加速度和法向加速度为的切向加速度和法向加速度为 2 nt ;rara

15、 (6) n 2 t erera 加速度加速度 (7) 所以所以, 刚体上不同的点其线速度是不同的刚体上不同的点其线速度是不同的. /14 上海师范大学上海师范大学10 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 3) 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标(角坐标角坐标). 定轴转动的定轴转动的特点特点 : r t e v t a n a a P 1) 每一质点均作圆周运动每一质点均作圆周运动, 圆面为转动平面圆面为转动平面; , ,a , v 2) 任一质点运动任一质点运动 均相同均相同, 但但 不同；不同； 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150 rmin-1, 因

16、受制动而因受制动而均匀减速均匀减速, 经经 30 s 内停止转动停止转动. 试求：试求：(i) 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数； (ii) 制动开始后制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；时飞轮的角速度； (iii) t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向时飞轮边缘上一点的线速度、切向 加速度和法向加速度加速度和法向加速度. 解解 (i) 由题意得由题意得, 初始角速度为初始角速度为,srad5 60 2150 min/150 1 0 r . 0 t = 30 s 时时, 由于转动是由于转动是匀减速转动匀减速转动, 设设 t=0时时, 0=

17、0, 则则有有 t 0 21 srad 6 srad 30 50 负号说明作减速转动负号说明作减速转动. /14 上海师范大学上海师范大学11 得飞轮得飞轮 30 s 内转过的角度为内转过的角度为rad75 )6(2 )5( 2 22 0 2 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 由由 )(2 0 2 0 2 和和 2 0 srad 6 ; 0 t 0 rv 飞轮飞轮30s转过的圈数为转过的圈数为r5 .37 2 75 2 N (ii) 求制动开始后求制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度时飞轮的角速度 11 srad4srad)6 6 5( (iii) 求求t = 6 s 时飞轮边缘上一

18、点的线速度、切向加速度和法向加速度时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度. 边缘上任一点的线速度为边缘上任一点的线速度为 11 sm5 . 2sm42 . 0 边缘上任一点的边缘上任一点的切向加速度和法向加速度为切向加速度和法向加速度为 22 t sm105. 0sm) 6 (2 . 0 ra 2222 n sm6 .31sm)4(2 . 0 ra /14 上海师范大学上海师范大学12 例例2 在高速旋转的微型电机里在高速旋转的微型电机里, 有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心 的轴转动的轴转动. 开始时开始时, 它的角速度它的角速度 0=0 , 经经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000 rmin-1. 已知转子的角加速度与时间成正比已知转子的角加速度与时间成正比. 问在这段时间内问在这段时间内, 转子转过多少转？转子转过多少转？ 解解 因转子的角加速度与时间成正比因转子的角加速度与时间成正比, 故可令故可令 ctdtdct tt d d d d 即即 2 2 1 ct 因因t=