平面向量基本定理汇编

1、 一般地一般地, ,实数实数 与向量与向量 的积是一个向量的积是一个向量, ,记作记作: : a a (1) (2)当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同; 当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同; (3)当当 时时,或或 时时, | |;aa 0 0 0 a a a a 0 a 一、数乘的定义：一、数乘的定义： 它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下: 二、二、数乘数乘的运算律：的运算律： (2)(2)第一分配律第一分配律: : (1)(1)结合律结合律: : (3)(3)第二分配律第二分配律: : ()()aa ()aaa ()abab 0a 1. 1.

2、定理定理: :向量向量 与非零向量与非零向量 共线共线, ,有且只有一个有且只有一个 实数实数 , ,使得使得. . a b ab 三、向量共线的充要条件：三、向量共线的充要条件： . 2121 21 间的关系 之，与不共线，探究向量与任一向量 是同一平面内共起点，向量，与向量向量 eeaee aeea . 21 21 之间的关系 ，与量，探究向量是这一平面内的任一向 个向量，向量同一平面内不共线的两，向量 eea aee 知识点一知识点一 平面向量基本定理平面向量基本定理 1 e 2 e a 分解分解 平移平移 共同起点共同起点 1 e 1 e a 2 e O A B OBOAa 11e O

3、A 22e OB 2211 eea 2 e a 21 ee , a 2211 eea 21 , ee 2. 2. 定理说明定理说明 （1 1）基底）基底 不共线，零向量不能做基底不共线，零向量不能做基底. . 21 ee 、 （2 2）定理中向量）定理中向量 是任一向量，实数是任一向量，实数 唯一唯一. . a21 与与 （3 3） 叫做向量叫做向量 关于基底关于基底 的分解式的分解式. . 2211 ee a 21 , ee (4)基底给定时基底给定时,分解形式唯一分解形式唯一. c dcd 试判断不共线，且，若向量,23,2badbacba【例例1 1】 . 能否作为基底与向量dc ) (

4、 . 21 ee 作为基底的下面的四组向量中不能 量的一组基底，则所有向是表示平面内，若跟踪练习 D. 33 .C 6423 B. .A 2121221 12212121 eeeeeee eeeeeeee 和和 和和 a ba b ,ab . _ ,/ ,2 , . 2121 21 的值为则实数且 向量一组基底，若向量 的是表示平面内所有向量，设向量变式训练 ba eebeea ee 知识点二、向量的夹角与垂直知识点二、向量的夹角与垂直 : O A B b a 两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ， ,则则 a b AOB 叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角 OAa OBb a b 夹角

5、的范围：夹角的范围： 00 180,0 180 与与 反向反向 a b OAB a b 记作记作 ab 90 与与 垂直，垂直， a b O A B a b 注意注意:两向量必须两向量必须 是是同起点同起点的的 0 与与 同向同向 a b OA B a b 特别的：特别的： 例例2.在等边三角形中，求在等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角； (2)AB与与BC的夹角。的夹角。 AB C 60 C 0 120 . ., , . 上上一定在直线一定在直线并且满足上式的点并且满足上式的点 的分解式为的分解式为 关于基底关于基底，使得，使得存在实数存在实数求证：直线上任意一点求证：直线上

6、任意一点 外一点，外一点，是直线是直线上任意两点，点上任意两点，点是直线是直线，已知点已知点例例 lP OBOAtOPOBOA OPtP lolBA )( 3 1 思路分析：思路分析：以基底为出发点，应用平面向以基底为出发点，应用平面向 量基本定理结合向量共线，推证结论量基本定理结合向量共线，推证结论. . 课本课本P P97 97例 例2 2 B O P A ) , OBOAOP ABPt （ 的的中中点点，则则是是点点令令 2 1 2 1 O P A B . _ _;), , , 3. 则（ 若的重心，设为已知 Rba AGbACaABABCG ._23 ,6,4 . 2 12 21 ee

7、 eBCeABABCDo 则 的中心，是平行四边形若点 1.1.下面三种说法：下面三种说法： 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向 量的基底；量的基底； 一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的 基底；基底； 零向量不可作为基底中的向量，零向量不可作为基底中的向量， 其中正确的说法是其中正确的说法是( ( ) ) A A B B C C D D 1. 平面向量基本定理平面向量基本定理 2.平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 3.向量的夹角与垂直向量的夹角与垂直

8、4.转化思想方法及其应用转化思想方法及其应用 向量的正交分解向量的正交分解 121 122 12 , , e eee e e 一个平面向量用一组基底表示成 的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时， 就称为向量的正交分解。 在平面上，如果选取互相垂直的向量作在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便为基底时，会为我们研究问题带来方便 2.3.2平面向量正交分解及坐标表示平面向量正交分解及坐标表示 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 O x y 平面内的任一向量平面内的任一向量 , 有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,使使 成立成立 a axiy j 则称（则

9、称（x，y）是向量是向量 的坐标的坐标a j i 如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴、轴、y轴正方向轴正方向 同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底.i j 、 记作：记作： ( , )ax y （1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)a a 注意：注意： a (4)如图以原点如图以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置的位置 被被 唯一确定唯一确定.a OA a O x y 1212 abxxyy 且 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 a a j i (x, y) A 此时点此时点A的坐标即为的坐标即为 的坐标的

10、坐标a （5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同 (2)0(1,0)0(0,1) 0(0,0) iijjij （1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)a 注意：注意： （3）两个向量）两个向量 相等的等价条件：相等的等价条件： 1122 ( ,),(,) ax ybxy (6) 22 axy 例例1如图，用基底如图，用基底 ， 分别表示向量分别表示向量 并求它们的坐标并求它们的坐标 解：由图可知解：由图可知 12 23aAAAAij (2,3)a 同理，同理， 23( 2,3)bij 23( 2, 3)cij 23(2, 3)dij 平面向量的坐标表