大学数学课件[共27页]

1、1 二、微分运算法则二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 2 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则, 2 xA 0 x x 面积的增量为 22 0 )(xxxA 2 0 )(2xxx xx 0 2 0 xA xx 0 2 )( x 关于x 的 线性主部 高阶无穷小 0 x时为 故xxA 0 2 称为函数在

2、的微分 0 x 当 x 在 0 x取 得增量 x时, 0 x变到, 0 xx边长由 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 的微分微分, 定义定义: 若函数)(xfy 在点 的增量可表示为 0 x )()( 00 xfxxfy ( A 为不依赖于x 的常数) 则称函数 )(xfy 而 称为xA在)(xf 0 x点记作yd,df或即 xAyd 定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是 0 x 处可导，在点 0 )(xxfy , )( 0 xfA且 )( xoxA 即 xxfy)(d 0 在点 0 x可微可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 定理定理 : 函数 证证

3、: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 , 0 x则 )()( 00 xfxxfy ) )( (limlim 00 x xo A x y xx A 故Axf)( 0 )( xoxA )(xfy 在点 的可导, 0 x且 )(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是 0 x )(xfy 在点 处可导, 0 x且, )( 0 xfA即 xxfy)(d 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 定理定理 : 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是 0 x )(xfy 在点 处可导, 0 x且, )( 0 xfA即 xxfy)(d 0 “充分性充分性”已知 )(lim 0 0 xf

4、x y x )(xfy )( 0 xf x y )0lim( 0 x xxxfy)( 0 故)()( 0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d 0 在点 的可导, 0 x )0)( 0 时 x f 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6 说明说明: 0)( 0 x f时 , xxfy)(d 0 )()( 0 xoxxfy y y xd lim 0 xxf y x )( lim 0 0 x y xf x 0 0 lim )( 1 1 所以0 x时 yyd 很小时, 有近似公式 x yyd 与是等价无穷小, 当 故当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7 微分的几何意义 xxfy)(d 0

5、 xx 0 x y o )(xfy 0 x y yd xtan 当 很小时,xyyd 时，当xy 则有xxfyd)(d 从而)( d d xf x y 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xd xyxd 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 例如例如, 3 xy yd 02. 0d 2 x x 2 3xxd 02. 0d 2 x x 24. 0 ,arctanxy ydx x d 1 1 2 基本初等函数的微分公式 (见 P116表) 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9 二、二、 微分运算法则微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均

6、可微 , 则 )(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数) )(d. 3vu)0()(d. 4v v u 分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为 xyy x ddxxufd)()(ud uufyd)(d微分形式不变微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 vudd uCd vuuvdd 2 dd v vuuv 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10 例例1., )1(ln 2 x ey求 .dy 解解: 2 1 1 d x e y )1(d 2 x e 2 1 1 x e )(d 2 x xxe e x x d2 1 1 2 2 x e ex x x d 1 2 2

7、 2 2 x e 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11 例例2. 设,0)cos(sinyxxy求 .dy 解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 0)d(cos()sin( dyxxy xxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yx xyd d )sin(cosyxxy xyxsin)sin( 例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: xxd) d() 1 ( ttdcos) d()2( 2 2 1 x t sin 1 说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. C C 注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 12 )(22

8、 4 4)( 2 2 )( 4 sin 2 2 )sin(k2 2 2 4 数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 注意 目录 上页 下页 返回 结束 13 三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 )()( 0 xoxxfy 当x很小时, )()( 00 xfxxfyxxf)( 0 xxfxfxxf)()()( 000 xxx 0 令 使用原则使用原则:;)(, )() 1 00 好算xfxf .)2 0 靠近与xx )()()( 000 xxxfxfxf 得近似等式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 14 特别当xx,0 0 很小时, xffxf)0()0()( 常用近似

9、公式常用近似公式: x1 )1 () 1 (x 很小)x( x x x x1 xsin)2( x e)3( xtan)4( )1ln()5(x 证明证明: 令 )1 ()(xxf 得, 1)0(f )0(f ,很小时当 xxx 1)1 ( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 15 180 d x 29sin 的近似值 . 解解: 设,sin)(xxf 取 30 0 x, 6 29x 则 180 29 180 29 sin 6 sin 6 cos 2 1 2 3 )0175. 0( 485. 0 ) 180 ( 例例4. 求 29sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4848. 029si

10、n 16 5 245 的近似值 . 解解: 24335 5 245 5 1 )2243( 5 1 ) 243 2 1(3 3) 243 2 5 1 1( 0048. 3 例例5. 计算 xx 1)1 ( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 17 例例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 解解: 已知球体体积为 3 3 4 RV 镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量 ,V VVd 01. 0 1 R R RR 2 4 01. 0 1 R R )(cm13. 0 3 因此每只球需用铜约为 16. 113. 09 . 8 ( g ) 用铜多少克 . )cmg9 .

11、 8:( 3 铜的密度 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18 四、四、 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , aA称为a 的绝对误差绝对误差 a aA 称为a 的相对误差相对误差 若 A aA A 称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限 a A 称为测量 A 的相对误差限相对误差限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 19 误差传递公式误差传递公式 : 已知测量误差限为, x 按公式)(xfy 计算 y 值时的误差 yydxxf)( x xf)( 故 y 的绝对误差限约为 x

12、y xf)( 相对误差限约为 x y xf xf y )( )( 若直接测量某量得 x , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 20 例例7. 设测得圆钢截面的直径 mm,0 .60D测量D 的 绝对误差限 ,mm05. 0 D 欲利用公式 2 4 DA 圆钢截面积 , 解解: 计算 A 的绝对误差限约为 DA A D D 2 05. 00 .60 2 715. 4 A 的相对误差限约为 2 4 2 D D A D A D D 2 0 .60 05. 0 2 %17. 0 试估计面积的误差 . 计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (mm) 21 内容小结内容小结 1. 微分概念 微分的定

13、义及几何意义 可导 可微 2. 微分运算法则 微分形式不变性 :uufufd)()(d ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22 思考与练习思考与练习 1. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点 0 x处的 yy ,d及,dyy 并说明其正负 . yd0 xx 0 0 xx y o y0 0yyd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 23 2. xx ee d )d(arctan x e 2 1 1 xd x x e e 2 1 x x sind tand . 3x 3 sec xxd2sin) (d. 4Cx2

14、cos 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 24 5. 设)(xyy 由方程063sin 33 yxyx确定, .d 0 x y 解解: 方程两边求微分, 得 xx d3 2 当0 x时,0y由上式得xy x d 2 1 d 0 求 yy d3 2 xxd3cos30d6y 6. 设 ,0a且, n ab 则 nn ba 1 n an b a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 25 作业作业 P123-124 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 10(1) ; 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 26 1. 已知, ) 1 sinarcsin( 2 x