工学理论力学平面汇交力系与平面力偶系PPT学习教案

1、会计学1 工学理论力学平面汇交力系与平面力偶工学理论力学平面汇交力系与平面力偶 系系 力系分为：平面力系(planar force system) 空间力系(space force system) 汇交力系(planar concurrent force system) 平面力系 平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) (planar parallel force system) 一般力系(平面任意力系) (planar general force system) 汇交力系 空间力系 平行力系(空间力偶系是其中的特殊情况 ) 一般力系(空间任意力系) 第1页/共75页 （1） 汇交力系： 平

2、面汇交力系 空间汇交力系 第2页/共75页 平面力偶系 空间力偶系 作用在物体上的一群力偶称为力偶系 （2） 力偶系： 第3页/共75页 （3）平行力系： 作用在物体上的一各力作用线互相平行，称为平行力系。 平面平行力系 第4页/共75页 （4）任意力系： 人字形闸门模型及其受力图 第5页/共75页 （4）任意力系： 重力坝及断面及受力图 第6页/共75页 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础，本章开始将分别研究两种 力系的合成与平衡问题。 第7页/共75页 A 1 F R F 2 F 三

3、角形abc称为力三角形;上述作图方法称为力的三角形法则. a b 1 F c 2 F R F 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则 第8页/共75页 2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则 F3 F2 F1 F4 A F1 F2 F3 F4 FR a b c d e a b c d e F1 F2 F4 F3 FR 各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。 力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。 第9页/共75页 结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各

4、分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用矢量式表示为： R12n FFFFF 如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。 若力系的各力作用线相同，则该力系为共线力系。其 力的多边形实际为一直线段，合力的作用线于力系中 各力的作用线相同，可将各力作为代数量 第10页/共75页 在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。 0i F 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示为： 第11页/共75页 已知压路机碾子重F

5、P=20kN, R=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。 选碾子为研究对象 取分离体画受力图 解： 当碾子刚离地面时FNA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力FNB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 例2-1 FP R F h B A FP F FB FA O 第12页/共75页 由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , FNB=23.1kN 所以 577. 0 )( tg 22 hr hrr 又由几何关系： tgPF cos P FN

6、B 例2-1 第13页/共75页 2.2.1 力在坐标轴上的投影 F x y X Y b O 即力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与投影 轴正向间夹角的余弦。 FY FX cos cos 第14页/共75页 2.2.2力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的分力的关系 x F y F F jFiFF yx 若X、Y表示力 F在各坐标轴上的投影，则明显有： YFXF yx , 通常，我们将一个力分解为相互垂直的两个力， 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 第15页/共75页 力的投影是代数量，而分力是矢量；并且在非直角坐标系中 不一定成立。 XFx 力的投影无所谓作用点，而分力必须作用在原力的作用

7、点。 2.2.2力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的分力的关系 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 第16页/共75页 F Fx Fy x y i j xy xy FF FFFij O 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 第17页/共75页 由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为： XXXXR x421 YYYYYRy 4321 YRyXRx 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 即： 2.2.4 合力投影定理 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 第18页/共75页 Rxxi FF 平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各个分力在同一轴上

8、投影的代数和。 Ryyi FF 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 第19页/共75页 2.2.5力的解析表达式 x y A B O F x F y F X Y i j 力在直角坐标轴上的投影 ),cos( ),cos( jFFjFY iFFiFX 已知投影力的大小和方向为 F Y jF F X iF YXF ),cos(,),cos( 22 在直角坐标系中 jYiXFFF yx 此式即为力的解析表达式。 第20页/共75页 2222 RRR ()() xyxiyi FFFFF R R R cos(, ) x F F Fi R R R cos(, ) y F F Fj 合力的大小： 方向：

9、 作用点： 为该力系的汇交点 第21页/共75页 22 R ()()0 xiyi FFF 0 xi F 0 yi F 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。 第22页/共75页 应用平衡方程时应注意： 1.两个方程，一般只能求解两个未知量 2.所选投影轴不一定正交，但不能平行 3.为求解方便，未知力应尽可能与投影轴垂直或 平行 4.共线力系，平衡方程只有一个，只能求解一个 未知量 第23页/共75页 已知： FP=20kN，R=0.6m, h=0.08m,求： 1、欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F 至少多大？ 2、

10、F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F 多大？ 例2-2 【解】 FP R F h A B O 取碾子为研究对象，画其受力图(b)。 (a) FP F FA FB O (b) 第24页/共75页 利用上述平衡方程求得： kNFF P 55.11tan 1、碾子拉过障碍物，应有 0 B F ，如图(c) 0sinFF A :0 Y 0cos AP FF 建立坐标系，列投影方程 :0 X 例2-2 【解】 FP F FA O (c) 第25页/共75页 2、求最小力Fmin 设此时力F与水平线夹角为，建立图（d）所示坐标系。 , 0 i X 0)cos(sinFFP )cos( sin P F F

11、 kNFF P 10sin min 显然，当=时，有 例2-2 【解】 FP F FA O (d) x 第26页/共75页 0 X 0 Y 045coscos 0 CDASR 045sinsin 0 CDA SRP 已知 P=2kN 求SCD , RA 解: 1. 取AB杆为研究对象 2. 画AB的受力图 3. 列平衡方程 由EB=BC=0.4m， 3 1 2.1 4.0 tg AB EB 解得： kN 24. 4 tg45cos45sin 00 P SCDkN 16. 3 cos 45cos 0 CDA SR 4. 解方程 例2-3 第27页/共75页 例2-4 【解】 重物A质量m=10k

12、g,悬挂在支架铰接点 B 处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB 、BC 杆的内力。 （a） A B C 0 45 0 60 y （b） x 0 45 0 30 BC F BA F B T F 取销钉B为研究对象，画其受力图(b)。 第28页/共75页 例2-4 【解】 045cos30cos, 0 00 BABC FFX i 045sin30sin, 0 00 BABCTi FFFY 联立上述两方程，解得： =88 ， =71.8 。 BC F BA FNN 取销钉B为研究对象，画其受力图(b)。 列平衡方程 y x 0 45 0 30 BC F

13、BA F B T F （b） 第29页/共75页 求图示平面刚架的支反力。 P F A B A F B F x y 解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。 0cos:0 PA FFX P F AB m4 m8 由几何关系， 5 52 cos, 5 5 sin 解得 PFPF BA 2 1 , 2 5 例2-5 0sin:0 BA FFY 第30页/共75页 用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在两个相交 的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重，求：（1）设 两轮重量相等，求平衡时的角；（2）已知A轮重GA，平 衡时，欲使=00的B轮的重量。 A B 300600 例2-6 第

14、31页/共75页 B A GA GB FAB F/AB NA 300 NB 600 x y 600 300 x/ y/ 300 300 X= 0GAcos600 - FAB cos(+300)= 0 (1) X/ = 0 - GBcos300 + F/AB sin(+300)= 0 (2) 先取A轮为研究对象，受力分析： 取B轮为研究对象，受力分析： A B 300600 例2-6 【解】 第32页/共75页 GAcos600 - FAB cos(+300)= 0 (1) - GBcos300 + F/AB sin(+300)= 0 (2) FAB =F/AB (3) 由以上三式可得： 00

15、60)30(tg G G tg A B （1）当GB=GA时， = 300 （2）当= 00时， GB=GA /3 例2-6 第33页/共75页 图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。 1、研究对象： 整体 或铰链A AB F AC F P A AB F AC F 60 2、几何法： P AB F AC F 60 FAC=P/sin600 FAB=Pctg600 例2-7 【解】 第34页/共75页 3、解析法： P A AB F AC F 60 X=0FAC cos600 FAB = 0 Y=0FAC sin600 P = 0 解得： FAC=P/sin600 FAB= FAC cos600

16、=Pctg600 x y 例2-7 第35页/共75页 A B F O （B） A B F O （A） 结构如图所示，已知主动力F，确定铰链O、B约束力的方向（不计构件自重） 1、研究OA杆 2、研究AB杆 o F A F B F A F B F o F 例2-8 第36页/共75页 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明： 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 第37页/共75页 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值

17、，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般 先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 列平衡方程 取研究对象 画受力图 第38页/共75页 2.3 平面力对点之矩的概念及计算 力对物体可以产生 移动效应-取决于力的大小、方向 转动效应-取决于力矩的大小、方向 第39页/共75页 MO(F ) Oh r F A B 2.3.1 力对点之矩（力矩） 力F与点O位于同一平面内，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。 力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。 (

18、)2 OOAB MFhA F 力矩的单位常用Nm或kNm。 力使刚体绕固定点转动效应的度量 第40页/共75页 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。 R 1 ()() n i OO i MM FF F Fx Fy x y O x y A ()sincos O yx MxFyF xFyF F (1) 合力矩定理 (2) 力矩的解析表达式 第41页/共75页 支架如图所示，已知AB=AC=30cm, CD=15cm,F=100N, 30 求 对A、B、C三点之矩。 F F A B CD A d C d 解：由定义 mNADFFdFM AA 5 2230sin)

19、( 由合力矩定理 mNADFABF ADFABFFM yxB 48.4830sin30cos )( 例2-9 mNCDFFdFM CC 5 730sin)( 第42页/共75页 O x y F A 1 r 2 r B d 如图所示，求F对A点的矩。 解一：应用合力矩定理 )cos( )cos(sincos sinsin)cos(cos )()()( 21 22 12 112 rrF FrFr rFrrF FMFMFM yAxAA 解二：由定义 cos 1 r OB cos 1 2 r rAB 12 coscosrrABd )cos()( 21 rrFFdFM A 例2-10 第43页/共75页

20、 2.4 平面力偶 2.4.1力偶与力偶矩 第44页/共75页 由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为(F, F)。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。 力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。 2.4.1力偶与力偶矩 第45页/共75页 F F d D A B C 力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定： (1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面内的转向。 平面力偶可视为代数量，以M或M(F, F

21、)表示， 2 ABC MFdA 平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。力偶的单位与力矩相同。 第46页/共75页 FF/ a b c d a b F 2.4.2 平面力偶的性质 第47页/共75页 力偶矩：力与力偶臂的乘积 记作M（F，F/） 简记为M 2.4.2 平面力偶的性质 第48页/共75页 2.4.2 平面力偶的性质 第49页/共75页 推论： (1) 任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不

22、变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。 2.4.2 平面力偶的性质 第50页/共75页 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示的符号表示力偶。M为力偶的矩。 第51页/共75页 O F r O r M =Fr 试分析图中圆轮O的受力，比较二图的异同。 第52页/共75页 = = 111 dFM 222 dFM 1 F 2 F 1 F 2 F 1 d 2 d 2P F d 1P F 1P F 2P F d R F R F 21 21 PPR PPR FFF FFF dFM P11 dFM P22 212121 )

23、(MMdFdFdFFdFM PPPPR 2.4.3 平面力偶系的合成 作用面共面的力偶系称为平面力偶系。 推广得： MMMMM n 21 平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。 第53页/共75页 2.4.4 平面力偶系的平衡条件 平面力偶系总可以简化为图示情形。若FR=0，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，则或是FR=0或是d=0，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论： d R F R F 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即： 0M 上式称为平面力偶系的平衡方程。 第54页/共7

24、5页 图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。 M A B M C M C A F C F M M A B C A F B F B F M C F 思考题1 第55页/共75页 刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？ F1 F3 B A C D F2 F4 第56页/共75页 P O R M 从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？ FO 第57页/共75页 长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力偶其

25、力偶矩分别为 ， 。求 A、B支座的约束反力。 mNM16 1 mNM 4 2 B F A F d A B ( )b 例2-11 【解】 1 M A B 1 M 2 M 。 60 4m ( )a 2 M AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在 A、B 处的约束反力也必须组成一个同平面的力偶。作AB 梁的受力图，如图（b）所示。 第58页/共75页 故 NFFBA6 解得 NFB6 得 060cos 0 21 lFMMB FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向与实际相同。 【解】 由平衡方程 0 i M A B ( )b B F A F d 1 M 2 M 例2-11 第59页

26、/共75页 铰接四连杆机构OABO1在图(a)所示。已知：OA=4a，O1B=6a。作用在OA上力偶的力偶M1 和O1B上的力偶M2。要使系统平衡，求M1/ M2的比值。 例2-12 第60页/共75页 （1）选OA为研究对象，受力图如图（b），列平衡方程 ,0 i M030sin4 1AB MaF （2）选O1B为研究对象，受力图如图（d），列平衡方程 06 BA2 aFM, 0 i M 由以上两式可得 M1/ M21/3 【解】 例2-12 第61页/共75页 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。 ).(255. 0mNFdFM CCAC 0 i M 0 MM AC N

27、FF CA 3137 例2-13 【解】 第62页/共75页 图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。 1、研究对象二力杆：AD AD F C F 2、研究对象： 整体 AD F B F l m FF BAD 思考：CB杆受力情况如何？ B F C F m 练习： 例2-14 【解】 第63页/共75页 1、研究对象二力杆：BC 2、研究对象： 整体 AD F B F B F C F AD F m C F l m l m FF BAD 2 45sin 0 例2-14 【解】 第64页/共75页 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡? 60o 60o A B C D M1M2 例2-15 第65页/共75页 【解】取杆AB为研究对象画受力图。 杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光 滑面约束，则A处约束反力的方位可定。 A B C M1 FA FC Mi = 0 FA =