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1、测度论基础知识总结1 集合论1.1集合与基本运算概念：具有一左性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。全集：要研究的问题涉及到的最大集合。空集：没有任何元素的集合。表达方法：X （集合元素x） |x应该有的性质-元素与集合的关系：xGA, xA集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素xGA, XGB则A包含于B （证明就用这个方法），A是B的子集（AHB则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但AHB集合的运算 单个元素的幕集对于一个集合X,它的蒔集2X表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的 集合，也叫集合族。

2、 两个集合的运算交：AAB=x| xGA 且 xGB并：AUB=x| xGA 或 XGB差：AB （或写成 A-B） =x| xGA 且 x毎B补：AC=UA （U是问题要研究的全集）于是有等式AB=AO Bc积：（直积）AXB=（x,y）| xGA且yGB （把A、B中元素构成有序对） 多个元素的运算多个交UwAn表示所有以入为角标的集合的并，要求XGI, I称为指标集。类似有多个并注：可以是无穷个【例】An=x| x- A=x| x0 则 A=U=iAnn集合的分析相关性质 上限集：一列集合AJ，左义上限集为fl鴛1U徃nAk，类似于数列的上极限。 下限集：一列集合aj,左义下限集为类似于

3、数列的下极限。 集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。 单调集合列：若始终有An包含于An+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列：反之，若始终有An+i包含于An ,则为递减列。若An为递增列，则有极限limAU詮“n：若为递减列，则有limAnW詮小卄T8n-*OO1.2映射左义：X、Y是两个集合，对任意xgX,存在唯一的y=f(x)GY与之对应，则对应法则f为X 到Y的一个映射，记为f:X-Y。像集：对于X的一个子集A,像集f(x)l XGA记为f(A),显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B,原像集xl XG A且f(x) G B记为f7(B)满射：f(X

4、)=Y,即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为f-tYX复合映射:f：X-Y, g:Y*乙它们的复合gof:X-Z,写成g(f(X)函数，一个R11 (n维实数向量)到R (实数)上的映射性质(映射与交并运算顺序可交换性)对于f:X-Y, X若干个子集A。，Y若干个子集Baf(UAa)=Uf(Aa)fT(U Ba)=uf-1(BJf(AAa)包含于(只有这一个不一泄等于！)A f(Aa)不等于的例子：A=1 ,f(x)=|x|,则 f(AAB)f(A)nf(B)f_1

5、(n Ba)mfi(Ba)用集合相等迫义可证明。1.3集合的势对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为AB性质：A到B有单射一A与B子集对等A到B有满射一B与A子集对等 AB, BC,则AC (传递性) AC, BD,贝lj AXBCXD判泄：(康托一伯恩斯坦泄理)若集合X与Y的一个真子集对等而且Y与X的一个真子集 对等，则XY基数：有限个元素的集合为元素个数。势：若两个集合对等，则龙义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。 无限个元素的情况下，泄义自然数集的势是N。邙可列夫0)。A的势用|A|表示。若A与B的一个子集对等，则|A|B|,若与B的真子集对等，则|A|

6、0,均存在&使得x G B(x05) 时|f-f(x)|t, xGE(记为E(ft)是开集,则f在E上连续。大于号可换为大于等于、小于、小于等于。 若R任意开集在f的原像是开集，贝”在E上连续。“开集”可换为“闭集”。2.5 n维欧式空间的完备性定理有柯西收敛准则、闭集套泄理、有限覆盖左理、聚点原理，类似于R的情况，不详细叙述。3 勒贝格测度3.1勒贝格外侧度勒贝格测度的定义开矩体的体积n 维欧式空间中的开矩体匸仅川2 .xj|xi G (a1,b1),x2 G (a2,b2) .xn G (an, bn)=Oi，bj X (a2,b2) X . X On，bj 0存在一个开集G包含E,且m(

7、E/F) 0存在一个闭子集F且m(E/F) 6证明思路：分情况讨论(有界与无界)证明，有界时用左义的开矩体证明，无界时En = EC B(0,n),开集Gn包含En且差集测度任意小，G=U詮iGn。对于取补集再用证。 若E是可测集，则存在包含E且与E差集测度为0。这个集称为E的包。 若E是可测集，则存在F。包含于E且与E差集测度为0。这个F。集称为E的F。核。 证明较简单，用直接证。取构造集合列。3 2测度的公理化定义概率测度空间设X是非空集，F是X上的o代数，若存在把F子集映射为非负实数的函数卩，满足： 讥0)=0： 若F中集合列AJ两两不交，就有MU在An) = Sn=l H(An)则称卩

8、为(X,F)上的一个测度，称(X,F,u)为一个测度空间。很容易验证勒贝格测度满足上述性质，故是一个特殊的测度。性质 单调性：若A包含于B则P(A) p(B) 次可加性：H(UiEk) 上、下连续性(同勒贝格测度)概率若上述测度A还满足p(F)=l,则称u为一个概率测度，简称概率，记为P。上述集合X记为Q,称为样本空间，实际表示随机试验结果构成的集合：Q内的元素为基本 事件。概率满足测度的所有性质。在下而的讨论中不涉及一般测度空间的性质，只涉及勒贝格测度和少量槪率的相关问题。4 勒贝格可测函数4.1广义实数将8看成两个数加入实数系中，称为广义实数。左义8的性质和运算 任意实数X, -8Xt)是

9、可测集，则称f在E 上可测。E可测函数全体记为M(E)。还有一些等价左义，即把上述大于号改成大于等于、小于、小于等于都等价。注：概率论中的“随机变量”实际上就是样本空间上对于槪率测度来说的可测函数。而上述 的可测函数是n维欧式空间中相对于勒贝格测度而言的。泄理：可测集上定义的连续函数可测。 可测集上的指示函数Xp可测。（Xg即E上恒为1,英余为0的函数） R上的单调函数可测。 E若为零测集则E上任何函数可测。 a,b上定义的间断点集为零测集的函数可测。 性质：f为E上可测函数，则E（仁8）、E（ft等价于任意有理数r, fr且gt-r：对于fg先证f?可 （f+g）2（fg）2测，再用fg=

10、/；来做：f/g只证l/g可测。44.3可测函数列极限的可测性对于一列E上的可测函数伉, supfk、血仇均可测进而伍上下极限都可测。几乎处处成立的命题：指在集合E上，除去零测集E。以外，其他地方处处成立的命题（若 E = 0则处处成立），记为a.e.E。注：一个函数几乎处处等于一个连续函数，未必几乎处处连续，反例是狄利克雷函数。由于 有理数集可数所以有理数集测度为0,狄利克雷函数几乎处处等于0。但是狄利克雷函数不 但不是几乎处处连续，而且是处处都不连续。可测函数列的三种收敛 仇在E上几乎处处收敛到f,记为fk t f a.e.E0注：若探讨概率测度，则是随机变量序列XkTX的问题，称为几乎必

11、然收敛（不收敛的集合 概率为0）,记为XkTX a.s. Q 如果可测集E上函数列&和函数f,对于任意0,都可以找到一个测度小于的集合，使 得去掉这个集合以后得到的集合e6, &一致收敛到f,则称fk几乎一致收敛到f，记为 鼻 t fa.u.Eo 依测度一致收敛。若如果可测集E上函数列&和函数f,几乎处处有限，且对于任意0,都有更n E（|fk -f| e）=0k-*oo则称fk依测度（一致）收敛到f,记为fkf-注：若是槪率测度，则称依概率收敛。三种收敛互推定理立理1:几乎一致收敛可以推出几乎处处收敛证明思路构造E/n即可。左理2 （叶戈罗夫泄理）：在测度有限的可测集E上几乎处处有限的函数列fk如果几乎处处 收敛到f,则几乎一致收敛到f。注意！不能去掉测度有限的条件。反例：fk= x+s几乎处处收敛到0,但不是几乎一致 收敛到0。立理3：在测度有限的E上几乎处处收敛可以推出依测度收敛。证明：用叶戈罗夫左理证。E测度有限的条件来源于叶戈罗夫定理的条件。泄理4（里斯泄理）：若fkf,则存在子列几乎处处收敛到f。可测函数与连续函数相差不大 鲁金