线性代数与解析几何-序言完整版

1、 2 3 4 5 基本理论基本理论 ( 定理、公式定理、公式) 基本方法基本方法 ( 计算、证明计算、证明) 6 7 1. 2. 11:50 13:30. 3. 9:00 16:00. 8 哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲王宝玲 9 10 设二元线性方程组为设二元线性方程组为 n 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 11221221 0a aa a其中其中 行列式是一种算式行列式是一种算式, ,是根据线性方程是根据线性方程 组求解的需要引进的组求解的需要引进的. .也是一个基本的数也是一个基本的数 学工具学工具, ,有很多有很多问题问

2、题 的解决都离不开行列式的解决都离不开行列式. . 11 对方程组用加减消元法求出解对方程组用加减消元法求出解: : 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aab x aaaa abb a x aaaa 此解不易记忆，因此有必要引进新的此解不易记忆，因此有必要引进新的 符号符号“行列式行列式”来表示解来表示解 如果定义二阶行列式如下如果定义二阶行列式如下( (）：）： 1112 2122 aa D aa 11221221 a aa a0 12 12 12 , DD xx DD 112 11 2212 2 222 ba Dbaa b ba 111 211 2

3、121 212 ab Da bba ab D 0 13 12 12 351 22 xx xx 35 1 2 D 1 1 5 8 2 2 D 2 31 7 1 2 D 则方程组的解为则方程组的解为 1 1 2 2 8 11 7 11 D x D D x D 3 25 ( 1)110 14 ( (） 111213 212223 313233 aaa D aaa aaa 11 11221331 21 12222332 31 13223333 a xa xa xb a xa xaxb a xa xa xb 112233122331132132 a a aa a aa a a D 0 132231122

4、133112332 a a aa a aa a a 15 312 122 , DDD xxx DDD 11213 122223 33233 , b aa Db aa b aa 3 0 4 1 1 2 2 1 0 4 1 14 1 23 2 1 10 11113 221223 31333 , ab a Dab a ab a 11121 321222 31323 aab Daab aab 16 n 1,2, , n n 12n j jj 1 ,2 ,3 12 nn 共有共有 种种!nn 17 1 2n j jj 12 (). n j jj 12 () n j jj 12 () n j jj 18

5、(12)n ( (1)21)n n (1)(2)1nn 1 (1) 2 n n (23541) 23541 4 15 0 19 ()()1jiij 11ss ikk jjkk i 2s+1 20 奇排列奇排列 s 个个 偶排列偶排列 t 个个 ts ts n 有有s s( (t t) )个奇个奇( (偶偶) )排列排列!n n ! 2 n st !stn 21 1 2 3 123 1 2 3 111213 () 212223123 313233 ( 1) j j j jjj j j j aaa aaaa aa aaa n 22 1 11 21 2 12 22 12 n n nnn n aaa

6、aaa aaa 12 12 12 () 12 (1) n n n j jj jjnj j jj aaa 记一阶行列式记一阶行列式 1111, aa ( ) ij a 或或,det(). ijij n Daa 22. n 23 n! n 2 n 24 11 22 nn a a a 1 n ii i a 11121 222 n n nn aaa aa a 11 2122 12nnnn a aa aaa 1122nn a aa 25 11 (12) 2122 1122 12 ( 1) n nn nnnn a aa a aa aaa 12 121122 n jjn jnn aaaa aa 12 (1,

7、2,) n jjjn 1122nn a aa 26 1 2 1 n n a a a a 1 2 1 * * * n n a a a a 1 2 1 * * * n n a a a a (1) 2 121 ( 1) n n nn a aaa 27 12n a aa 当当 n=4,5 时时: 41234512345 ,Daa a aDaa a a a 当当 n=6,7 时时: 616717 ,DaaDaa 1 12212 12 nnn i ki ki kjjnj aaaaaa 1 21212 ()()() ( 1)( 1) nnn i iik kkj jj 28 1 2 12 1 2 () 12

8、( 1) n n n i ii iii n i ii a aa 1 11 21 2 12 22 12 n n nnn n aaa aaa aaa 29 11211 12222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa T D DD T ij n Da， n ab Dadbc cd ac D b d T 30 ( () ) 11121 12 12 12 n iiin jjjn nnnn aaa aaa aaa aaa 11121 12 12 12 n jjjn iiin nnnn aaa aaa aaa aaa 31 11121 12 12 12 0 n iiin iiin nnnn

9、aaa aaa aaa aaa 两行两行( (列列) )同值为零同值为零, ,即即 32 kk n iiin nnnn aaa kakaka aaa 11121 12 12 n iiin nnnn aaa k aaa aaa 11121 12 12 kD 33 1545 23 1 1 15 3 21 ()4512135 k k 34 35 11121 1122 12 n iiiiinin nnnn aaa ababab aaa 11121 12 12 n iiin nnnn aaa aaa aaa 11121 12 12 n iiin nnnn aaa bbb aaa 36 4141 2001

10、0021 41 20299 2006194 4141 100 2121 41 20021001 37 ( () ) n ijijinjn jjjn nnnn aaa akaakaaka aaa aaa 11121 1122 12 12 11121 12 12 12 n iiin jjjn nnnn aaa aaa aaa aaa 38 性质性质1 性质性质2 推论推论 性质性质3 推论推论 性质性质4 性质性质5 换行换行( (列列) )变号变号. 两行两行( (列列) )同同，值为零值为零. 某行某行( (列列) )乘数乘数 k=kD. 两行两行( (列列) )成比例成比例, ,值为零值为零

11、. D可按某行可按某行(列列)分拆成两行列式之和分拆成两行列式之和. D某行某行(列列)乘数乘数 k 加至另行加至另行(列列), 行列式值不变行列式值不变. () () () () .DD T 39 1234 2347 1258 13510 D 1234 0121 0024 0126 D 13 14 12 ( 2) rr rr D rr 40 1234 0121 0024 0005 10 24 rr 41 x4 221;1 212 111 020 01 xx x D x xx x4 ( 1) (4321) a14a23a32a41=2x4 42 已知已知 计算计算 , 111 222 333

12、abc abca abc 111 222 333 acb acbb acb 112233 123 112233 222 333 aaaaaa Dbbb cbcbcb 43 112233 123 123 222aa aa aa bbb ccc D 112233 123 123 222aa aa aa bbb ccc 112233 123 123 222 333 aa aa aa bbb bbb 44 2ab 123 123 123 aaa bbb ccc 123 123 123 222aaa bbb ccc 111 222 333 abc abc abc 111 222 333 2 acb ac

13、b acb 45 下面讨论将下面讨论将n阶行列式转化为阶行列式转化为n-1-1阶行阶行 列式计算的问题列式计算的问题, , 即即 ij a ( 1)i j ijij AM ij n Da n i j ij M ; ; ij a n-1-1, , ij a ( 1)i j ijij AM 46 ij M 1111 1 1 jn iijin nnjnn aaa aaa aaa 47 1234 2347 1258 135 10 D 11 M 在行列式在行列式 中中 347 25811 3510 ， 1 1 1111 ( 1)11 AM 21 M 234 25812 3510 ， 2 1 2121 (

14、 1)12 AM 48 D i ij a ijij Da A 行行( (列列) )的所有元素与其对应的代数的所有元素与其对应的代数 余子式的乘积之和余子式的乘积之和, , 即即 1122 (1,2, ) iiiiinin Da Aa Aa A in 1122 (1,2, ) jjjjnjnj Da Aa Aa Ajn ij n Dan阶行列式阶行列式 等于它的任意一等于它的任意一 49 11121 12 12 00000 00 n iiin nnnn aaa Daaa aaa 1122 (1,2, ) iiiiinin a Aa Aa A in 50 1122 , 0, ijijninj Di

15、j a Aa Aa A ij 1122ijijinjn a Aa Aa A n阶行列式阶行列式 , ,则则 ij n Da 0 D ij ij 51 11121 12 12 12 n iiin iiin nnnn aaa aaa G aaa aaa 及降阶法将及降阶法将 G G 按按 j j 行展开有行展开有 G 0 0 1122ijijinjn a Aa Aa A i j 52 1.利用利用n阶行列式的定义计算阶行列式的定义计算; n 53 n () n x a aa ax aa Da axa a a ax 54 1 (2,3, , ) (1) (1) (1) (1) i cc in n x

16、naaaa xnaxaa Dxnaaxa xnaaax 1 1 (1) 1 1 aaa xaa xnaaxa aax 55 1( :2,3, , ) 1 000 (1) 000 000 j rr jn aaa x a xnax a x a 1 (1) () n xna xa 56 11 22 11 n nn nn ab ab D ab ba n （） 1 121 21 ( 1) n nnnn Da aab bbb 1 121 21 ( 1) n nnn a aabbbb 57 n+1+1( () ) 012 i din， ， ， 012 11 22 n nn aaaa bd Dbd bd 58

17、 012 11 22 n nn aaaa bd Dbd bd 59 1 012 1 1 2 0 0 0 bj j dj n kk n cc k k n a b aaaa d d D d d 012 1 () n kk n k k a b ad dd d 12 , n d dd当当 全不为零时全不为零时 60 1 1 1 1 n D 证明证明n阶阶( () )行列式行列式 nn11 61 n n=2 2 1 D 结论成立结论成立. . () 2 33 n=1 D 22 1 结论成立结论成立. . 1 。 62 则对于则对于n阶行列式阶行列式 按第一行展开有按第一行展开有 n D 设设n-1, -

18、1, n-2-2时结论成立时结论成立, , 12 () nnn DDD 11nnnn 11nn a 2 。 63 123 2222 123 1 1111 123 1111 () n nnij j i n nnnn n xxxx Vxxxxxx xxxx (2)n 64 n=2 V xx 2 12 11 结论成立结论成立. . 假设对假设对n-1-1阶行列式结论成立阶行列式结论成立, ,下证下证n阶成立阶成立 xx 21 () ij j i xx 12 n 65 21311 ()()() nn Vxxxxxx 23 222 23 111 n nnn n xxx xxx 21311 2 ()()(

19、)() nij j i n xxxxxxxx 1 () ij j i n xx 213111 ()()() nn xxxxxx V 66 213111 ()()() nnn Vxxxxxx V 1324222 ()()() nnn Vxxxxxx V 21nn Vxx 32122 ()() nnnn VxxxxV 67 n 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零， (1) n n 68 即即 12 12 , n n DDD xxx DDD 1112

20、1 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa 则方程组则方程组(1)(1)只有唯一解只有唯一解, ,且其解为且其解为 69 11111111 21212212 111 jjn jjn j nnjnnjnn aabaa aabaa D aabaa D j D 其中其中 是把的是把的 的第的第j j 列各元素依列各元素依 次换成方程组次换成方程组(1)(1)右端的常数项所得到右端的常数项所得到 的的n阶行列式阶行列式, ,即即 70 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa

21、x 如果如果n元齐次线性方程组的系数元齐次线性方程组的系数 行列式不等于零，即行列式不等于零，即 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa 此方程组只有唯一零解此方程组只有唯一零解, ,即即 12 0. n xxx 71 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x 如果如果n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解有非零解, ,则系数行列式等于零则系数行列式等于零, ,即即 7

22、2 123 123 123 1 20 353 xxx xxx xxx 1 11 1 2120 3 51 D 73 1 1 11 0 212 3 51 D 2 1 11 1 012 3 31 D 3 1 1 1 1 2 02 3 5 3 D 312 123 1,1,1 DDD xxx DDD 74 典型例题典型例题 75 D D 若若4 4阶行列式阶行列式D的某一行的所有元素及其的某一行的所有元素及其 余子式都相等余子式都相等, ,则则D = . . nD D 2 nn 0 0 0 76 不计算行列式值，利用性质证明不计算行列式值，利用性质证明 2 ( )213 331 xx f xx x 2

23、213(1)(2)(3) 331 xx xxxx x 77 332 ( 3)2230 332 f 由于由于 ( )f x是是 的三次多项式的三次多项式, ,且且x 1 1 2 (1) 2 2 3 0, 3 3 2 f 2 2 2 (2)2 3 30 3 3 3 f 78 因此有因此有 2 213(1)(2)(3) 331 xx xxxx x 注注 的系数为的系数为1.x 3 79 1111 1111 1111 1111 a a D b b 80 21 43 00 1 111 00 111 1 aa rra D rrbb b 1100 1111 0011 1111 a ab b 12 14 11

24、00 011 0011 001 1 rr a ab rr b 22 34 1100 011 0011 000 a rr aba b b 81 计算行列式计算行列式: : 1234 1234 1234 1234 xaaa axaa aaxa aaax D () ii xa 82 1234 1234 1234 1234 1234 1 0 0 0 0 aaaa xaaa Daxaa aaxa aaax 此行列式用加边法计算此行列式用加边法计算, ,即即 83 (2, 3, 4, 5) 1234 11 122 33 44 1 1000 1000 1000 1000 i i aaaa xa rrxa xa xa 84 44 11 (1)() i ii ii ii a xa xa 4 1234 1 11 22 33 44 1 0000 0000 000