离散型随机变量的期望完整版

1、 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，对于离散型随机变量，确定了它的分布列， 就掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题就掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题 中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的 某个方面的特征，最常用的有期望与方差。某个方面的特征，最常用的有期望与方差。 某射手射击所得环数某射手射击所得环数的分布列如下：的分布列如下： 45678910 P0.020.040.060.090.280.290.22 引例引例： 根据这个射手射击所得环数根据这个射手射击所得环数的分布列，在的分布列，在 n次射击中，预计有大约次射击中，预计有大

2、约0.02n次的次的4环环 1、期望、期望 类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数的的 分布列，即已知各个分布列，即已知各个P（ =i)(i=0,1,2,3,10），则），则 可预计他任意可预计他任意n次射击的平均环数是次射击的平均环数是 E=0P（ =0）+ 1P（ =1）+ 10P（ =10） 称称E为此射手射击所得环数为此射手射击所得环数的的期望期望，它刻划了随机变量，它刻划了随机变量所取的平所取的平 均值，从一个方面反映了射手的射击水平。均值，从一个方面反映了射手的射击水平。 若离散型随机变量若离散型随机变量的概率分布为的概率分布为 x1 x2

3、 xi P p1 p2 pi 则称则称E=x1p1+ x2p2+ + xnpn+ 为为的数学期望或的数学期望或 平均数、均值平均数、均值，又称，又称期望期望。 问：若问：若为上述离散型随机变量，则为上述离散型随机变量，则=a +b的分的分 布列怎样？布列怎样？ E 呢？呢？ 因为因为P（ =a xi+b）=P（ =xi），），i=1，2，3 所以，所以， 的分布图为的分布图为 a x1+b a x2+baxn+b Pp1p2pn 于是于是E =（a x1+b)p1+ （a x2+b)p2+ （a xn+b)pn+ =a（ x1 p1+ x2p2+ + xnpn+ ）+b（p1+p2+ +pn

4、+ ） =a E +b E（a +b）=a E +b 2、例题、例题 例例1： 随机抛掷一个骰子，随机抛掷一个骰子， 求所得骰子的点数求所得骰子的点数的期望。的期望。 例例2 有一批数量很大的产品，其次品率是有一批数量很大的产品，其次品率是15%。 对这批产品进行抽查，每次抽出对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出件，如果抽出 次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次 品，但抽查次数最多不超过品，但抽查次数最多不超过10次。求抽查次数次。求抽查次数 的期望。（结果保留三个有效数字）的期望。（结果保留三个有效数字） 解：解：抽查次数抽查次数取取11

5、0的整数，从这批数量很大的产品的整数，从这批数量很大的产品 中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取 出次品的概率是出次品的概率是0.15，取出正品的概率是，取出正品的概率是0.85，前，前k-1次次 取出正品而第取出正品而第k次（次（k=1，2，9）取出次品的概率）取出次品的概率 P（ =k）=g(k,0.15)=0.85k-10.15， （k=1，2，9）；）； 需要抽查需要抽查10次即前次即前9次取出的都是正品的概率次取出的都是正品的概率 P（ =10）=0.859 （为什么？）（为什么？） 3、结论、结论(1)：若：若B(n，p)

6、，则，则E= np E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0 P(=k)= Cnkpkqn-k证明：证明： =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0 ( k Cnk =n Cn-1k-1) 例例4 一次英语单元测验由一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题构成，每 个选择题有个选择题有4

7、个选项。其中有且仅有一个是正个选项。其中有且仅有一个是正 确答案，每题选择正确答案得确答案，每题选择正确答案得5分。不作出选分。不作出选 择或选错不得分，满分择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任分。学生甲选对任 一题的概率为一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都，学生乙则在测验中对每题都 从从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学个选项中随机地选择一个。求学生甲和学 生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。 服从服从二项分布二项分布的随机变量的期望的随机变量的期望 若若B(n,p)，则，则E=np 例例5 5：一次英语单元测验由：一次英语单元测验

8、由2020个选择题构个选择题构 成，每个选择题有成，每个选择题有4 4个选项，其中有且仅个选项，其中有且仅 有一个选项是正确答案，每题选择正确答有一个选项是正确答案，每题选择正确答 案得案得5 5分，不作出选择或选错不得分，满分，不作出选择或选错不得分，满 分分100100分。学生甲选对任一题的概率为分。学生甲选对任一题的概率为0.90.9 ，学生乙则在测验中对每题都从，学生乙则在测验中对每题都从4 4个选项个选项 中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在 这次英语单元测验中的成绩的期望。这次英语单元测验中的成绩的期望。 解解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中

9、设学生甲和学生乙在这次英语测验中 选择了正确答案的选择题个数分别是选择了正确答案的选择题个数分别是 和和 ，则，则 B(20B(20，0.9)0.9)， B(20B(20，0.25)0.25)， EE20200.90.91818，EE20200.250.255 5 由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这分，学生甲和学生乙在这 次英语测验中的成绩分别是次英语测验中的成绩分别是55和和55。所以，。所以， 他们在测验中的成绩的期望分别是他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5)E(5)5E5E5 518189090， E(5)E(5)5E5E5 55 52525 结论结论(2)：若

10、：若p(=k)=g(k，p)，则，则E=1/p 服从服从几何分布几何分布的随机变量的期望的随机变量的期望 1 2 3 k P p pq pq2 pqk-1 E =p+2pq+3pq2+kpqk-1+ qE =pq+2pq2+3pq3+kpqk+ (1-q)E =p+pq+pq2+pq3+pqk+ 1 1 q p Pq E 1 1 1 例例5 在独立重复的射击试在独立重复的射击试 验中，某人击中目标的概验中，某人击中目标的概 率为率为0.2，则他在射击时击，则他在射击时击 中目标所需要的射击次数中目标所需要的射击次数 的期望是多少？的期望是多少？ 小结小结：1、随机变量的数学期望。、随机变量的数学期望。 2、公式、公式 3、若、若B(n,p)，则，则E=np E（a +b）=a E +b 练习练习：P14 16。 作业作业：习题：习题1.2 P16 16 4：公式：公式 若若p(=k)=g(k，p)，则，则E=1/p 讲评作业讲评作业:P9 习题习题3, 6 3 、某射手射击击中目标的概率为、某射手射击击中目标的概率为0.9，求从开始射，求从开始射 击到击中目标所需的射击次数击到击中目标所需的射击次数的概率分布。的概率分布。 解：射击次数解：射击次数的概率分布为的概率分布为 123n P0.90.090.009 0.1n