拉氏变换定义性质PPT学习教案

1、会计学1 拉氏变换定义性质拉氏变换定义性质 iv)卷积卷积 相乘，相乘，建立系统函数的概念建立系统函数的概念 ii)微积分微积分 乘除法，微分方程乘除法，微分方程 代数方程代数方程 一、拉氏变换一、拉氏变换 1引言引言 iii)指数、超越指数、超越 初等函数初等函数 i)同时给出特解和齐次解，同时给出特解和齐次解，初始条件自动包含在变换式中初始条件自动包含在变换式中 v)零极点零极点 时域、频响、稳定性，时域、频响、稳定性，零、极点分析的概零、极点分析的概 念念 赫维赛德赫维赛德 19世纪末算子法，依据拉普拉斯著作，重新定义世纪末算子法，依据拉普拉斯著作，重新定义 适用：连续线性时不变系统适用

2、：连续线性时不变系统 作用：简便变换线性时不变系统时域模型作用：简便变换线性时不变系统时域模型 分析步骤：时域分析步骤：时域-复频域复频域-时域时域 第1页/共46页 deFtf dtetfF tj tj )( 2 1 )( )()( )( dttf 2傅里叶变换傅里叶变换 拉氏变拉氏变 换换 i) 通常为因果信号通常为因果信号 )(tf( )0 (0)f tt )()()(tutftf deFtf dtetfF tj tj )( 2 1 )( )()( 0 若若 , 则则 第2页/共46页 1 11 ( )( )( ) 22 sj j tj tst jdsjd f te FedF s e d

3、s j )(tf( ) t f t e ii) 不绝对可积，但不绝对可积，但 容易满足绝对可积条件容易满足绝对可积条件 0 )()(dtetfsF st 定定 义义 1 1 ( )( ) 2 tj t f t eFed 另一方另一方 面面 1 0 0 ( ) ( )( ) ( ) () ttj t st Ff t ef t eedt f t edtsj F 第3页/共46页 )(tfF )()(tfsF , tts s s 傅立叶变换与拉氏变换基本区别傅立叶变换与拉氏变换基本区别 不仅能描述振荡频率，也能反不仅能描述振荡频率，也能反 映振荡幅度的衰减或增长速率映振荡幅度的衰减或增长速率 只能描

4、述振荡重复频率只能描述振荡重复频率 复频域复频域 时域时域频域频域 时域时域 为复频率为复频率为频率为频率 为实数，为实数， 为复数为复数为实数为实数 iii) 0 ( )( ) 1 ( )( ) 2 st j st j F sf t edt f tF s e ds j 为单边拉氏变换对为单边拉氏变换对 象函数象函数 原函数原函数 第4页/共46页 双边拉氏变换：双边拉氏变换： ( )( ) 1 ( )( ) 2 st B j st B j F sf t edt f tF s e ds j 第5页/共46页 3收敛问题收敛问题 定义定义 t etf )( 0)(lim t t etf 为何值，

5、为何值， 收敛：收敛： 0 0)(lim t t etf i) 的取值范围对应的平面区域称为收敛域的取值范围对应的平面区域称为收敛域 通常当通常当 时，时， 0 s 0 ii)称称 为收敛坐标，为收敛坐标， 平面中平面中 部分为收敛部分为收敛 域域 )()( 2 tuetf t 2 t e )2( 例如例如 ，只有取，只有取 ， 才使才使 变为衰减变为衰减 0 j 0 含义：含义： 满足绝对可积的条件，即：满足绝对可积的条件，即： t etf )( 单边拉氏变换，右边单边拉氏变换，右边 收敛坐标，收敛轴，收敛域收敛坐标，收敛轴，收敛域 第6页/共46页 1 t 2 tt )(tf 0 时间有限

6、的有界信号，收敛坐标位于时间有限的有界信号，收敛坐标位于，收敛域整个，收敛域整个s 平面平面 2 1 ( )( ), lim( )0 t stt tt F sf t edtf t e 0)(lim tf t ( ，与，与 无关无关) 第7页/共46页 lim( )0 (0) t t f t e 有界非周期信号：有界非周期信号： 收敛域至少为收敛域至少为 s 右半平面右半平面 t )(tf 0 第8页/共46页 有界周期函数：有界周期函数： lim( )0 (0) t t f t e ，收敛域为收敛域为 s 右半平面右半平面 )(tf t 0 第9页/共46页 0 综上：单边拉氏变换收敛域形式为

7、综上：单边拉氏变换收敛域形式为 2 )( t etf比指数函数增长还快的信号，无拉氏变换：如比指数函数增长还快的信号，无拉氏变换：如 2 ,.,. n t tt ，收敛域为，收敛域为 s 右半平右半平 面面 lim0 (0) nt t t e at etf)( ， 指数信号：指数信号： () lim( )lim0 () tat tt f t eea 第10页/共46页 4积分限问题积分限问题 )( 1 tf t 0 例：例： 2 1 0 ( ) 1 0 t et f t t t )( 2 tf 0 0 0 )( 2 2 2 tt te tf t )( 3 tf t0 2 3 0 ( ) 0 0

8、 t et f t t )( 1 tf )( 2 tf)( 3 tf )(tf0t与与 的的 部分函数值无关部分函数值无关 第11页/共46页 0 0 与与 问题问题： 0 0 ( )( ) st F sf t edt （定义方式）定义方式） 0 )()(dtetfsF st 0( 定义方式定义方式) 本书用本书用 0，优点是不必考虑跳变过程，优点是不必考虑跳变过程 利用拉氏变换解微分方程时，可以直接利用已利用拉氏变换解微分方程时，可以直接利用已 知的起始状态知的起始状态(0 )f 第12页/共46页 )(t例例1：求：求 的单边拉氏变换：的单边拉氏变换： 解：解： 00 0 : ( )( )

9、1 st t edtt dt 0 0 : ( )0 st t edt t 0 ( ) t 第13页/共46页 )0()()(fssFtf 1 )(cos 2 s s ttu 1 1 )(sin 2 s ttu) )(costtu 例例2：已知：已知 ， ，求，求 )(0 1 1 0 1 1 )0( 1 1 1 1 22 2 2 2 ss s s s 解：解： 2 0 22 (cos( ) (0 ) 11 ss tu tsf ss 0 ： 0 2 0 222 1 (cos( ) (0 )1 111 ss tu tsf sss ： ) )(costtu)(sinttu)(t其实：其实： 第14页/

10、共46页 二、拉氏变换性质二、拉氏变换性质 1线性线性 )()()()( 22112211 sFksFktfktfk 11 ( )( )f tF s)()( 22 sFtf ， 第15页/共46页 ( ) at e u t例例3：求：求 的拉氏变换（分的拉氏变换（分 a 为实数和虚数两种情况）为实数和虚数两种情况） 1 ( ) (0)u t s (0) E E s 令令a = 0，则则 ， 解：解： i)当当 a 为实数为实数 () 00 11 ( ) () atatsta s t e u teedtea assa 0 ja ii)设设 a 为虚数，即为虚数，即 00 0 0 () 0 ( )

11、 11 (0) jtjtst js t eu teedt e jssj 则则 第16页/共46页 )(sinttu)(costtu ， 的拉氏变换的拉氏变换例例3：求：求 解：解： 0 0 1 ( ) jt eu t sj )0( 2 2 ) 11 ( 2 1 )(cos s s jsjs ttu)0( 2 2 ) 11 ( 2 1 )(sin sjsjsj ttu)0( 0t 0 1 ( ) j eu t sj (0) 第17页/共46页 例例3：求：求 的拉氏变换的拉氏变换sinh() ( ), cosh() ( )at u tat u t 解：解： 22 1 sinh() () 2 11

12、1 () (|) 2 atat atee a a sasasa 22 1 cosh() () 2 111 () (|) 2 atat atee s a sasasa 第18页/共46页 2时域微分时域微分 )()(Ftf( )(f tj Fi) 对比对比 )0( fii) 注意：本书采用注意：本书采用 )()(sFtf)0()( )( fssF dt tdf 1 1( ) 0 ( ) ( )(0) n n nn rr n r d f t s F ssf dt 2 ( )( )(0)(0) ( )(0)(0) fts sF sff s F ssff 第19页/共46页 ( )( )( )(0 )

13、 L LLLL di v tLV sLsIsLi dt 例例4：电感的：电感的 s 域模型：域模型： (0 )0( )( ) LLLLL iV ssLI svj LI 若若 )(sVL )0( L Li sL + - ( ) L Is 第20页/共46页 ( 1) 00 (0) ( t st f fdedt s 证明：证明： ( 1) 0 = (0) ( t ffd 3时域积分时域积分 ()(Ftf ( (0) t F fdF j 比较比较 ( t df )( 0 df( 0 t df )()(sFtf s f s sF df t )0()( ( )1( 第21页/共46页 0 0000 1(

14、 ) (|( ) st tt stst eF s fdedtfdf t edt sss ( 1) ( )(0)( )(0) ( ) F sgF sf G s ssss s f s sF df t )0()( ( )1( 故：故： t dftg()(或令：或令： 则：则：)()(tgtf )(sF)0()()(gsGstf 第22页/共46页 1 ( )( t cc v tid C ( 1) ( )(0)( )(0) ( ) cccc c I siI sv V s sCCssCs 例例5：电容的：电容的S域模型域模型 )(sVc s vc)0( +- ( ) C Is 1 sC 第23页/共46

15、页 0 0 ( )( ) ( )( ) st st F sf t edt F stf t edt 4频域微分频域微分 证明：证明： ( )( )tf tF s故：故： )()(sFtf( )( ) d tf tF s ds ()(Ftf)()(Ftjtf对比：对比： 第24页/共46页 n t例例6：求：求 的拉氏变换的拉氏变换(n为正整数为正整数) 2 1 s t 3 2 2 1 sds s d tt 2 3 2 t s sin, costt tt求求 的拉氏变换的拉氏变换 解：解： 2 1 1 1 sds s d t s 1 1 1 ! n n n t s . 第25页/共46页 2 2

16、22 cos () s d s s tt dss 2 cos s t s 2 22 2 sin () d s s tt dss 2 sin s t 第26页/共46页 5频域积分频域积分 0 00 00 ( )( ) ( )( )| ( )0( ) ut ss ut ut s s stst F u duf t edt du e f tedu dtf tdt t ee f tdtf t dt tt 证明：证明： )()(sFtf s duuF t tf )( )( ()(Ftf ( ) (0) ( )( ) f t ftFd jt 对比对比 ) )( t tf 第27页/共46页 t atsin

17、 例例7：求：求 的拉氏变换的拉氏变换 2 arctanarctan 1 s s a a dvs v va s du au a t at 22 sin s du a u a 1)( 1 2 解：解： 22 sin a at sa P181，表，表4-1，常用函数拉氏变换，常用函数拉氏变换 第28页/共46页 6. 时移时移 )()(sFtf 0 000 ()( ) (0) st f tt u tteF st ()(FtfdteFttf tj 0 0 ()( 对比对比 证明：证明： 0 0 0 0 0000 0 0 0 () ()() () ()( ( ) st t t ststs t st f

18、 tt u ttf tt u tt edt f tt edtfeed eF s 第29页/共46页 )( 0 ttf 0 t t0 t )()( 00 ttuttf 0 t0 )(tf t0t )()(tutf 0 0 ()f tt与与 00 () ()f tt u tt的拉氏变换不相等的拉氏变换不相等! 第30页/共46页 )()()( 0 ttEutEutf )()()( tutuEtf 例例8：求拉氏变换：求拉氏变换 ( ) sss EE f te EE ee ssss 解：解： 0 )( st e s E s E sF 0 0 t E t ( )f t 2 2 0 E t ( )f t

19、 第31页/共46页 )(tf tTT20 例例9：周期信号的拉氏变换：周期信号的拉氏变换 00 0 ( )(), ( )( ) ( )() n f tf tnTf tf t u tu tT )()( 00 sFtf)(sF设设，求，求 解：解： 2 000 00 0 ( )( )( ). 1 ( )( ) (0) 1 sTsT snT sT n F sF seF s e F seF s e )()( 0 TtuTtf)(sF)( 0 tf.)2()2( 0 TtuTtf 第32页/共46页 7S域平移域平移 )()(sFtf)()(asFetf at ()(Ftf)()( Fetf tj 对

20、比对比 证明：证明： 0 () 0 ( )( ) ( ) () atatst a s t ef tef t edt ef t dt F as 第33页/共46页 sin, cos, , , sin, cos atatatnatatat et et tet etet tet 例例10：求：求 的拉氏变换的拉氏变换 2 cos s s t 2 )( cos as as te at 2 1 s t 2 )( 1 as te at 1 ! n n s n t 1 )( ! n atn as n et 解：解： 2 )( sin as te at s tsin 第34页/共46页 2 sin t s 2

21、2 2 sin () s tt s 22 2 () sin () at sa tet sa 2 cos s t s 2 22 cos () s tt s 2 22 () cos () at sa tet sa 第35页/共46页 8 8尺度变换尺度变换 )( 1 )( a s F a atf)()(sFtf(0)a ，则，则 证明：证明： 000 1 ()()( ) 1 ( ) u u at s st a a f atf at edtf u edu a s F aa ()(Ftf 1 ()()f atF aa 对比对比 第36页/共46页 0, 0,ab )()(batubatf 例例11：

22、解：解： 1 () ()( ) b s a bbs f a tu a tFe aaaa 1 () ()( ) s f at u atF aa ( )( )f tF s 先尺度，后时移先尺度，后时移 先时移，后尺度先时移，后尺度 第37页/共46页 9初值定理初值定理 证明：证明： )0()( )( fssF dt tdf )( dt tdf )(tf 若若 ， 存在，存在，且且F(s)为真分式为真分式 )(lim)0()(lim 0 ssFftf st 则则 0 000 0 ( )( )( )( ) ( ) (0 )(0 ) ststst st df tdf tdf tdf t edtedte

23、dt dtdtdtdt df t ffedt dt 第38页/共46页 ，其中，其中F1(s)为真分式，为真分式，)()()( 1 sPsFsF若若F(s)为假分式，令为假分式，令 0 1 lim( )(0 )lim( ) ts f tfsF s P(s)为多项式，则为多项式，则 0)(lim )( 0 t k t )( )( ts kk 因为因为 ， 0)()(lim0)(lim 001 0 1 0 ttuttfessF t st s 0 st e 若若F(s)中含延时因子中含延时因子 ，初值定理仍然成立，初值定理仍然成立 )()()( 0011 0 ttuttfesF st ，则则因为因为

24、 0 ( ) lim( )(0 )lim (0 )(0 ) lim( )(0 ) (0 )(0 ) s st ss df t sF sfffedt dt ffsF sf 0 第39页/共46页 例例12：求初值：求初值 )3)(2( ) 1( )( ss ss sF )2)(1( )( ss s sF 1)(lim ssF s 1)0( f，即，即 )3)(2( 1 )( ss s sF 解：解：1)(lim ssF s 1)0( f，即，即 1 46 lim( )lim4 (2)(3) ss s sF ss ss (1)46 ( )1 (2)(3)(2)(3) s ss F s ssss 第

25、40页/共46页 000 00 ( ) lim( )(0 )lim ( ) lim (0 )(0 ) (0 )(0 )( )(0 ) st ss st s df t sF sfedt dt df t ffedt dt ffff )(lim)()(lim 0 tffssF ts 10终值定理终值定理 证明：证明： 条件：条件：F(s)在在s平面虚轴和右半平面解析（无极点），平面虚轴和右半平面解析（无极点）， 在原点处只允许一阶极点在原点处只允许一阶极点 )(limtf t )(tf )( dt tdf 若若 存在，存在， ， 存在，存在， 0 lim( )lim( ) ts f tsF s 则则 第41页/共46页 例例13：求终值：求终值 )3)(2( ) 1( )( ss ss sF )2)(1( 1 )( ss s sF )3( 1 )( ss s sF )3( 1 )( 2 ss s sF ) 1)(1( 2 )( 2 ss s sF 解：解： 0)(lim 0 ssF s 不存在 不存在 )3)(2( 1 )( ss s sF 0)(lim 0 ss