第6章 连续型概率分布

1、本章要点本章要点: 第第6章章 连续型概率分布连续型概率分布 n均匀概率分布均匀概率分布 n正态概率分布正态概率分布 n二项概率的正态近似二项概率的正态近似 n* * 指数概率分布指数概率分布 n概率密度函数概率密度函数 连续型随机变量 X 所有可能取值充满某 个区间或整个实轴。对这种随机变量，不能 象离散型随机变量那样, 指出其取各个值的 概率， 给出概率分布列。而是用“概率密度 函数”表示随机变量的概率分布。 概率密度概率密度 例：例：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机 因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的 100个零件长度(单位: mm)如下: 引例引例 129, 13

2、2, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 13

3、4, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136. 这这100个数据中，最小值是个数据中，最小值是128，最大值是，最大值是155。 经分组计算得频数分布表如下: 子区间子区间频数频数频率频率 (127.5, 131.5)(127.5, 131.5)6 60.060

4、.06 (131.5, 135.5)(131.5, 135.5)12120.120.12 (135.5, 139.5)(135.5, 139.5)24240.240.24 (139.5, 143.5)(139.5, 143.5)28280.280.28 (143.5, 147.5)(143.5, 147.5)18180.180.18 (147.5, 151.5)(147.5, 151.5)8 80.080.08 (151.5, 155.5)(151.5, 155.5)4 40.040.04 以小区间以小区间 ti-1，ti 为底，为底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 为高为高

5、 作一系列小矩形，组成了频率直方图，简称直方图。作一系列小矩形，组成了频率直方图，简称直方图。 由于概率可以由频率近似， 因此这个直方 图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。 用上述直方图刻画随机变量X的概率分布 情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概 率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同 时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分 组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来 越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量随机变量 X的概率密度曲线的概率密度曲线可用来准确地刻画X的概率 分布情况。 概率密度函数概率密度函数 定义定义:设X为连续型随机变量,若存在非负可积函数 f(x), 使

6、X取值于任一区间 (a, b 的概率可表示成 则称 f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度概率密度或密度密度。 f (x) x ab 均匀概率分布均匀概率分布 例：例：在一个质地均匀的转盘边沿连续地标上在一个质地均匀的转盘边沿连续地标上0至至9的刻的刻 度度(0与与9重合重合),随机转动转盘后让转盘自然停止随机转动转盘后让转盘自然停止,分析转分析转 盘停止时指针所指向的刻度盘停止时指针所指向的刻度X的分布情况的分布情况。 均匀概率分布均匀概率分布 均匀概率分布均匀概率分布：一种连续型概率分布，其随机变 量X的取值充满某一有限区间a, b，且取区间内 任一点的机会都均等。从而X在 a,

7、b每一等长度 的子区间上取值的概率都相同。称X服从上的均 匀分布，记作 ).,(baUX 均匀概率密度函数均匀概率密度函数 均匀分布的概率密度函数均匀分布的概率密度函数 均匀概率分布均匀概率分布 f(x) 均匀概率分布的期望值和方差均匀概率分布的期望值和方差 若随机变量若随机变量X服从服从a, b上的均匀分布上的均匀分布,则则 练习练习 已知随机变量X服从10,20的均匀分布 计算P(X0 . 则称X服从正态分布. 记为XN(, 2 )。 正态分布密度函数的性质正态分布密度函数的性质 关于直线关于直线 对称轴，对称轴， 且且 在在 处有拐点处有拐点 当当 曲线以曲线以x轴为渐进线轴为渐进线 x

8、 1 ( )max( ) 2 ff x x x f(x) 决定了图形的中心位置, 决定了图形峰的陡峭 程度。 f (x)f (x) 正态分布密度函数的性质正态分布密度函数的性质 正态概率分布的性质正态概率分布的性质 正态随机变量的概率由 曲线下面积给出。一些 常用区间的概率是 68.26%，95.44%， 99.72% 标准正态概率分布标准正态概率分布 均值为0、标准差为 1的正态分布N(0,1),密度函数为: =1 Z 标准正态标准正态分布分布 标准正态分布有关概率的计算标准正态分布有关概率的计算 若随机变量XN(0, 1 ),则对任意的z0 f (x) x z0 0 练习练习P145 7.

9、已知随机变量已知随机变量ZN(0, 1 ),计算下列概率计算下列概率: 练习练习P145 9.已知随机变量已知随机变量ZN(0, 1 ),对以下每种情况分别计算相对以下每种情况分别计算相 应的应的z值值: 一般正态分布概率的计算一般正态分布概率的计算 标准正态分布变换标准正态分布变换 定理定理:若若XN( , 2),则有则有: 此结果说明此结果说明:对对于一般正态分布，计算可先于一般正态分布，计算可先转换为标准正转换为标准正 态分布态分布，即当即当XN( , 2)时，有时，有 例：例：Grear轮胎公司问题轮胎公司问题 Grear轮胎公司刚刚开发了一种新的钢丝子午线轮胎，轮胎公司刚刚开发了一种

10、新的钢丝子午线轮胎， 根据对轮胎的实际道路测试，工程小组已估计出轮根据对轮胎的实际道路测试，工程小组已估计出轮 胎可行驶里程的均值胎可行驶里程的均值= 36 500英里，标准差英里，标准差=5 000。 另外，收集的数据表明正态分布是一合理的假设。另外，收集的数据表明正态分布是一合理的假设。 轮胎预期使用超过轮胎预期使用超过40 000英里的比率是多少？英里的比率是多少？ 假设假设Grear公司正在考虑一项担保：如果原装的轮胎公司正在考虑一项担保：如果原装的轮胎 没有超过担保中设定的里程，公司将折价更换轮胎。没有超过担保中设定的里程，公司将折价更换轮胎。 如果如果Grear公司希望符合折价担保

11、的轮胎不超过公司希望符合折价担保的轮胎不超过10%， 则担保里程应为多少？则担保里程应为多少？ z0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026

12、0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.74

13、86 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0

14、.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.930

15、6 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.

16、9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

17、 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7

18、 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 练习练习P14

19、6 12. 2003年年1月，美国工人工作时在因特网上平均用月，美国工人工作时在因特网上平均用 时时77小时（小时（CNBC，2003年年3月月15日）。假设美国工人日）。假设美国工人 在因特网上的用时服从正态分布，总体均值为在因特网上的用时服从正态分布，总体均值为77小时，小时， 标准差为标准差为20小时。小时。 a. 随机选取一名工人，则他花在因特网上的时间低于随机选取一名工人，则他花在因特网上的时间低于50小时的小时的 概率是多少？概率是多少？ b. 在在2003年年1月，有多大比例的工人花在因特网上的时间超过月，有多大比例的工人花在因特网上的时间超过 100小时？小时？ c. 如果某人

20、在因特网上的用时排名在前如果某人在因特网上的用时排名在前20%，则认为他属于则认为他属于“高高 频用户频用户”。试问，如果某名工人属于试问，如果某名工人属于“高频用户高频用户”，那么他在因特那么他在因特 网上的工作时间至少应该有多少小时？网上的工作时间至少应该有多少小时？ 统计图表30 二项概率的正态近似二项概率的正态近似 二项分布的图形二项分布的图形 p=0.2, n=50 =0.2, n=20 p=0.2, n=5p=0.2, n=10 p=0.2, n=20 二项概率的正态近似二项概率的正态近似 在在试验数大于试验数大于20，np5和和n(1-p)5情况下，情况下， 正态概率分布给出一易

21、于使用的二项概率近正态概率分布给出一易于使用的二项概率近 似。似。 例：例：某公司有某公司有10%的发票出错的历史。一个的发票出错的历史。一个 有有100张发票的样本已选好，计算有张发票的样本已选好，计算有13张发票张发票 有错的概率。有错的概率。 连续修正因子：连续修正因子：当用连续正态概率分布来近当用连续正态概率分布来近 似离散二项概率分布时，从似离散二项概率分布时，从x值加减的值加减的0. 5值。值。 练习练习 已知一种主要的全国信用卡的所有持卡人中已知一种主要的全国信用卡的所有持卡人中 有有 30%在发生任何利息之前已全额支付了在发生任何利息之前已全额支付了 其帐单。利用二项分布的正态近似对一个有其帐单。利用二项分布的正态近似对一个有 150名信用卡持卡人的组回答下列问题：名信用卡持卡人的组回答下列问题： a. 在任何利息费用发生之前已支付其帐款余额的在任何利息费用发生之前已支付其帐款余额的 客户数在客户数在 40到到60之间的概率是多大？之间的概率是多大？ b. 在任意利息费用发生之前已支付其帐款余额的在任意利息费用发生之前已支付其帐款余额