弹性力学考试参考习题1

1、【例2.2】已知受力物体内某一点竹应力分目:为。户)4=2MPa, a MPa. 1 MPa. q=0, =2 MPa,试求经过此点的平面片3)，一尸1上的正应力和剪应力，且计算此点的主 应力及主应力方向。解(I)先求出平面.3尸尸1的法线的方向余弦为,13I/ = -；= nj = -= n = VilviiVil(2)将应力分量及方向余弦代入式(23)得X、= I八 - mrh - J = MPa = 1.508 MPa ViTfv = lr + mav + nr. = = MPa = 2.11L MPa 町JTTZv = frx. + niTy. n(y. = MPa = 0.905 M

2、 Pa(箝该斜面上的正应力及射应力由卜式得6 =XU+ Eg+2.5 = 2.637 MPa松+)一- - 0.771 MPa(4)计算主应力,由式(2/2)列出行列式-a121 2-。0 =02 01-(7用代数余子式展开上式(。-3乂标-3) = 0例得=3 MPa, a: =1.732 MPa.6=-1.732 MPa(5)计算主应力方向2第一主应力方向，格0=3 MP&及各应力分量代入式(210),且 联立式(211),有l - m =0 / - n 0产+制 +前二=1求斛上列方程组,得(A，叫，川)=(-亳，-冬邛)及冷冬y).两个主应力 方向表明主应力？有两个相差1W.的面6第二

3、主应力方向7格% = L732MPa及各应力分量代入式(2/0),与式(211)联立，有 I +0.268w = 0, 2/-0.732” 0尸Wi够得“2,叱，.)-0.211, - 0,787, 0.576)及(-0,211, 0.787, -0.576).同理,将。产-1.732MPa及各应力分及代入式(210),与式Q/I)联立,得：(小 g, ?73)=(0.789. -0.211, -0,576)(-0.789. 0,211, 0,576).不难证明,主应力方向是用互正交的口图3-14所示为一厚度t=1cm的均质正方形薄板，上下受均匀拉力q=106N/m ,材料弹性模量 为巳 泊松

4、比，不记自重，试用有限元法求其应力分量。2mr J J ： J ( Y f f (q=106N/m_ 一2_2_234(1)162(1)8图图1 .力学模型的确定由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面内，且沿板厚均匀分布，故可按平面应力问题处理，考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的1/4来研究。2 .结构离散该1/4结构被离散为两个三角形单元，节点编号 ，单元划分及取坐标如图3-15所示其各节点的坐标值见表 3-1。3 .求单元的刚度矩阵1）计算单元的节点坐标差及单元面积 单元 1 （ i、j、m 1,2,3）2)C1X2 X30b2c3 b3c22b2C2X3X11 -110 2计算

5、各单元的刚度矩阵b3y1y201 C3X1X2112先计算用到的常数11Et 9EE 9E代入可得K11 19E16 139E16K129E 116 1 3K139E16K229E16K239E16所以单元1的刚度矩阵为：339E16K66K11K21K31K12K22K32K13K23K33由于单元2若按341对应单元9E1631313123排码时，则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有11101-0-331111c03333421129EK66333316.41对 一 一 133一1称-03 14.组集整体刚度矩阵按刚度集成法可得整体刚度矩阵为:KJ 2K21 1K311 2K41 2K2

6、2K32K3312K43 2(J由于Krs= KsrT,又单元1和单元2的节点号按123对应341,则可得K11K33 23E 316 0K21K43 2K12 13E16K31K13 2K131K22K443E16K32K14K23K33K113E 1 016 0 3K31K13K13K41所以组集的整体刚度矩阵为:3E1623E163E0116103E11161:TT3E166.引入约束条件，修改刚度方程并求解根孙国，勺 I ，/m和1与父中 J盘？J夕U卜年： = O O O O 4/2 O 4/2:)- fc 入 140 尸W /j fr :囚占=/ 必J A中）。八工千&川1 4小内

7、I 2. 4, 7的疗和列，则I4W2力科！会为:371614104(J求解I二而方程组可得由节点位移为（所LIoo2口，2.mz m3 v3 忆, =/ 32一/ 3A q t E为丁 守/冏。O 1/3 O 1/31。117,计算务单元年力矩阵, 求用杏草亍己成万q/R. qn玲先求我各单元的应力知邛何S】、S工 然后内求得各小元的 hV Jj分限： r -/= . = |s F=新o0 JY.心比力I斤作是单元形心处的hy )俏。【例7.1现考虑图72所示等截面相支梁，受梯形分布荷裁作用,试用差分法求梁内弯矩.国7.2解 用等间题=5母梁分为六等份，各结点编号已表示在图中。已如边界条件为

8、 6此=4=0 M = M = o各内结点的分布荷载集度为4=%=0Jg，/=d = g”q(b)考虑里的结构和费荷的对称性，M=.弘. = 对梁左半部分的3个内结点.可将方程(713)写成如式(72)形式的3个差分方程，引入ii界条件式(a)后，这3个差分方程1 -2 I02-2可写成如卜的矩阵形式:0000M巴求呼比线性代数方程经得M卜夕叫2.0 3,5 4 0与精碎跳“厂g/L9167 3.3333 3.8333相比依. .lI，处的药矩”和中点处的 6弯矩坏的误差为435%, x =处的弯矩.心的误差为5.0%.如果差分间乱力4 因：将梁分为12等分,同理考虑梁的结构和载荷的对称性.求

9、解 梁的右半部分药矩.写成差分方程经为0000求望这6阶线性代数方程纽.得到梁内各点的弯矩为=g/l.0 1,9375 2.750 3.3750 3.750 3.8750与精与解地=字印）.9896 1.9167 2.7186 3.333 3.5833 3.8333相比,梁工，处 6。小点弯矩的误差为1.08%, i =点处弯矩误差仅为1.26%.如将梁分为更多等份，用差分法求得图7,2中各结点的弯矩与精确够更接近.且收敛性好.【例7.2如图73所示左端简支且作用弯矩小,右端固定的等截面梁.试用差分法求 梁内挠度.解将梁四等分两端边界条件为d、i0, 7E=一“(h)-0,产对上述边界条件式(

10、g)和式。】).分况利用差分公式(72制71),即可求得虚结点的挠度为心广一吗一万%，11 $ = M 3将梁端力矩.1%变换为等效的两个力半，一个在点0向上，另一个在点1向下.h如图7.3(b)所示各结点上的集中力4可由式知=月法化为相应结点上的分布或荷集度，本例中夕,P Jh = fQ/h2 % =邑0于是，在上述边界条件白公式CM5)和差分公式(71U)可分别可出梁内3个结点的差分 方程，其矩阵形式为：求解后得到5 -4-4 6I -4生力22 12U)F哈0,S693 0.03409 0.01420J本题的精确较为:“=d=0.03515 0.03125 0.01I721t这3个结点的

11、挠度，事最大.与精确孥相比.F的相对误差为4.8%.田7.3工程中常见的截面为三儿形的水坝.如图5.8所示，其横面被理解为下端伸向无穷, 无量纲顶角a控制着其形状.设挡水达顶.母体密度为夕.水密度为7.其内部的应力分 布可采用量纲分析法来求空。图5.8帙形体应力分量:的量:纲为：力二长度:立，水压力律与夕g的量纲为：力二长度7.在线 弹性力学范用内,应力分量必然与7g. pg成正比巴的形式应是ygx. y，a&j pgy 的线性组合.由巴=推理.。应为，的三次函数，所以应力函数可假设为ay（p = ar3 + bf y + cxy1 * eyJ代入式U-26）中，是虑到*=o, y=g（泣体力

12、）.得到应力分量表达式C dg/ = -心=lex - heyr- Yy = 6ax 2尻一 pgv 次-色色=-2bx - IcySxdy(a)显然,上述应力幽数演足用容方程，挡水面应力边界条件表示为X=O- = -7g -什町 I。= o将3成代入上式得6ey = 一/gJ， 2。= 0从而代入式(a),则应力分置为右坡面.边界条件表示为% =一加(J = 6ar + Zby - pg yJ = -2bx(b)?)-*g ) r j ana考虑右坡面x=yiana,将(b)代入上式边界条件有/(一？能)+ 研-2力 tan a) = 0l(-2by tana) - m(6aylana * 2hy- 0(0)其中costt， m = cos-sina代入(C)式.可求得u =丝cola -连cod ，b 2送coi: a632代入式(b)，有:(5-17)cr. = (/2col - 2zg cot: 42)x -cot* a - /?g)/J =19 -ygXCoL a一 JJ比晶答为莱维(Levy)壁答.与材料力学结果比较,巴沿水平方向不