曲面曲线积分复习课PPT学习教案

1、会计学1 曲面曲线积分复习课曲面曲线积分复习课 2021-8-4 2 一、内容要求 1、理解第一型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法； 3、理解高斯公式和斯托克斯公式，并知道其应用； 4、了解曲面积分在几何、物理上的简单应用。 2、理解第二型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法， 知道两类曲面积分的联系； 第1页/共30页 2021-8-43 二、重要公式： :( , ) , ( , ) xy zz x yx yD当当时时， 22 ( , , )d( , , ( , ) 1dd xy xy D f x y zSf x y z x yzzxy ( , , )dd( , , ( , ) dd xy

2、D R x y zxyR x y z x yxy （上侧取“+”, 下侧取“”) PdydzQdzdxRdxdy ( coscoscos )PQRdS 两类曲面积分之间的关系： 第2页/共30页 2021-8-44 dd d PQR xyz xyz d dd dd dPyzQzxR xy 高斯 公式 ()()() S RQPRQP dydzdzdxdxdy yzzxxy . L PdxQdyRdz SL的的侧侧与与 的的方方向向按按右右手手法法则则确确定定. . 斯托克斯公式 S dydzdzdxdxdy xyz PQR 第3页/共30页 2021-8-45 三、习题讲解 2222 282 1

3、(1)(),( , , ),0 S Pxyz dS Sx y z xyza z 2222 ,xyzax y由由对对求求偏偏导导数数，得得 220, x xzz220 y yzz 22 1 xy zz 22 22 1 xy zz 222 2 xyz z 2 222 . a axy 222 ( , ) xy Dx y xya 2 222 222 () D a xyaxydxdy axy 原原式式= = 第4页/共30页 2021-8-46 2 222 222 () D a xyaxydxdy axy 原原式式= = 22 222222 , aa xy axyaxy 注注意意到到为为奇奇函函数数，

4、0.D 在在 上上的的积积分分 3 .a D adxdy 原原式式= = D adxdy 第5页/共30页 2021-8-47 2222 282 1(2)(),. S Pxy dS Sxyz 为为立立体体1 1的的边边界界曲曲面面 x o z y 1 S 2 S 12 22 () SSS xydSdSdS 22 12 :1.SSxyD xy、在在面面的的投投影影均均为为 1 :1,Sz 对对于于 22 11; xy zz 22 2 :,Szxy对对于于 22 12. xy zz 1 2222 ()() SD xydSxydxdy 21 2 00 dr rdr . 2 2 2222 ()2()

5、SD xydSxydxdy 2 . 2 第6页/共30页 2021-8-48 222 28222 1(3), S dS PSxyR xy 为为柱柱面面被被平平面面 0,.zzH 所所截截取取的的部部分分 x z y S Sxy问问：能能把把 向向面面上上投投影影吗吗？ yz D ( , ),0y zRyRzH 22 :,SxRy 2 22 22 1; yz R xx Ry 12 SSS 1 2222 2 SS dSdS xyxy 2 222 1 2 yz D R dydz RRy 第7页/共30页 2021-8-49 1 2222 2 SS dSdS xyxy 2 222 1 2 yz D R

6、 dydz RRy y z R R0 H yz D 220 11 2 HR R dzdy R Ry 2 2 21 cos cos H Rtdt RRt 2 . H R sinyRt 令令 第8页/共30页 2021-8-410 282 1(4),1. S PxyzdS Sxyz 为为平平面面在在第第一一卦卦限限部部分分 x z y xy D :1,S zxy:01 xy Dxy 22 13. yz xx (1) 3 SD xyzdSxyxydxdy x y 1 1 D 11 00 (1) 3 x dxxyxydy 1 3 0 3 (1) 6 xxdx 1 234 0 3 (33) 6 xxxx

7、 dx 3 . 120 1xt可可令令 第9页/共30页 2021-8-411 2222 282 2,0,0,0,.Pxyza xyz 求求均均匀匀曲曲面面的的重重心心 ,. SSS SSS xdSydSzdS xyz dSdSdS 设设密密度度为为1 1， 222 :,S zaxy 222 :,0,0. xy Dxyaxy 22 222 1. xy a zz axy 2 1 4 8 S dSa 2 1 , 2 a S xdS 222 D a xdxdy axy 3 3 4 a 2 a x . 2 a yz类类似似可可得得： 第10页/共30页 2021-8-412 22 289 1(1)()

8、(), 0,. S Py xz dydzx dzdxyxz dxdy S xyzxyza 为为 围围成成的的立立体体表表面面并并取取外外侧侧 1 S 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S x z y 2 12 ,()S Syxz dxdy 对对于于，只只要要计计算算； 34 ,()SSy xz dydz 对对于于，只只要要计计算算； 2 56 ,SSx dzdx对对于于，只只要要计计算算. . 第11页/共30页 2021-8-413 1 S 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S x z y 3 () S y xz dydz 2 D yzdydz 4 1 4 a 4 () S y xz d

9、ydz 2 () D y az dydz 4 1 4 a 5 24 1 3 S x dzdxa 6 24 1 3 S x dzdxa 11 22 () SD yxz dxdyy dxdy 4 1 3 a 2 00 aa dxy dy 44 11 32 aa 21 22 ()() SD yxz dxdyyxa dxdy 224 ()() S y xz dydzx dzdxyxz dxdya 第12页/共30页 2021-8-414 289 1(3), 0,1. S Pxydydzyzdzdxxzdxdy S xyzxyz 为为平平面面 外外侧侧四四面面体体表表面面取取外外侧侧 x z y 1 S

10、 4 S 3 S 2 S 1 0 S xydydzyzdzdxxzdxdy 2 0 S xydydzyzdzdxxzdxdy 3 0 S xydydzyzdzdxxzdxdy S xydydzyzdzdxxzdxdy 4 S xydydzyzdzdxxzdxdy 第13页/共30页 2021-8-415 289 1(3), 0,1. S Pxydydzyzdzdxxzdxdy S xyzxyz 为为平平面面 外外侧侧四四面面体体表表面面取取外外侧侧 x z y 4 S S xydydzyzdzdxxzdxdy 4 S xydydzyzdzdxxzdxdy (1) yz D yz ydydz (

11、1) zx D xz zdzdx (1) xy D xxy dxdy 1111 2424248 第14页/共30页 2021-8-416 222 289 1(4),1. S Pyzdzdx Sxyz 为为球球面面的的上上半半部部取取外外侧侧 x z y 1 S 2 S 22 1 :1,Syxz 22 2 :1.Syxz 12 SSzxD、在在面面上上的的投投影影均均为为 ： 22 1,xz0.z z x 1 S注注意意：对对 的的积积分分取取正正， 2 S对对的的积积分分取取负负. . 第15页/共30页 2021-8-417 z x 12 SSS yzdzdxyzdzdxyzdzdx 22

12、1 D zxz dzdx 22 (1) D zxzdzdx 22 21 D zxz dzdx 1 2 00 2sin1drr rdr 1 2 00 2sin1drr rdr 1 2 0 41rr rdr 2 2 0 4sincos costttdt 2 2 0 sin 2tdt 2 0 1sin4 2 t dt . 4 第16页/共30页 2021-8-418 222 296 1(2), 0, ,. S Px dydzy dzdxz dxdy S x y za 为为立立体体 表表面面的的外外侧侧 PQR xyz 解解：2()xyz 2() V xyz dxdydz 原原式式 6 V xdxdy

13、dz 000 6 aaa xdxdydz 2 1 6 2 aaa 4 3.a 第17页/共30页 2021-8-419 222 296 222 1(3), . S Px dydzy dzdxz dxdy S x + y = zzh 为为锥锥面面 与与平平面面所所区区域域表表面面的的外外侧侧 PQR xyz 解解：2()xyz 2() V xyz dxdydz 原原式式 2()2 VV xy dxdydzzdxdydz 0 2 000 2 hz zdzdrdr 4 . 2 h 截面法， 利用柱坐标 z 第18页/共30页 2021-8-420 296 222 1(5), . S Pxdydzyd

14、zdxzdxdy S zaxy 为为上上半半球球面面 的的外外侧侧 .S注注意意： 不不封封闭闭 S SS xdydzydzdxzdxdy 3 PQR xyz 3 SV xdydzydzdxzdxdydv 33 2 32. 3 aa 0 xdydzydzdxzdxdy (0,0)zdz 3 2. S xdydzydzdxzdxdya 第19页/共30页 2021-8-421 296 22 2(),0,0, 011 V Pxyyzzx dxdydz Vxy zxy 是是由由 及及所所围围成成的的空空间间区区域域. . ,PQRxyz令令 PQR xyyzzx xyz 则则 () V xyyzzx

15、 dxdydz 12345 () SSSss xyz dydzdzdxdxdy 134 0 SSS 1 S 3 S 2 S 4 S 5 S x z y 222 1 , 8 SSS xyzdxdyxydxdy 55 111 (), 663 SS xyz dydzdzdx 11 . 24 原原式式= = 第20页/共30页 2021-8-422 296 22 2(),0,0, 011 V Pxyyzzx dxdydz Vxy zxy 是是由由 及及所所围围成成的的空空间间区区域域. . 1 S x z y 另解：直接计算利用柱坐标 () V xyyzzx dxdydz 11 2 2 000 (co

16、s sincossin )ddrrzrzrrdz 1 2 2 00 1 cos sin(cossin ) 2 dr rrdr 2 0 11 cos sin(cossin ) 46 d 11 . 24 第21页/共30页 2021-8-423 2322 296 3(2),1, . L Px y dxdyzdz Lyzxy 为为 所所交交椭椭圆圆的的正正向向 x z y y zz xx y xyz PQR d d d dd d d dd d d d 解解： 23 1 y zz xx y xyz x yz d d d dd d d dd d d d 22 3x yx y d dd d 22 3 S

17、x yx y 原原式式=d d=d d 22 3 D x yx y d dd d 0. S D 第22页/共30页 2021-8-424 296 3(3)()()(), ( ,0,0),(0, ,0),(0,0, ). L Pzy dxxz dyyx dz L A aBaCaABCA 为为以以 为为顶顶点点的的沿沿的的方方向向 x z y A C B y zz xx y xyz PQR d d d dd d d dd d d d 解解： y zz xx y xyz zy x zyx d d d dd d d dd d d d 2()y zz xx yd dd dd dd dd dd d 2 S

18、 y zz xx y 原原式式=d dd dd d=d dd dd d S 6 S x y d dd d6 D x y d dd d D 2 3a 第23页/共30页 2021-8-425 296 4(1).Pyzdxxzdyxydz 求求的的原原函函数数 y zz xx y xyz PQR d d d dd d d dd d d d 解解： y zz xx y xyz yzxzxy d d d dd d d dd d d d 0 积分与路径无关. x z yo A ( , , )M x y z B L yzdxxzdyxydz OA AB BM 0 0 0 z xydz xyz yzdxxz

19、dyxydz的的原原函函数数为为 xyzC 第24页/共30页 2021-8-426 222 296 4(2)(2)(2)(2).Pxyz dxyxz dyzxy dz 求求的的原原函函数数 y zz xx y xyz PQR d d d dd d d dd d d d 解解： 222 222 y zz xx y xyz xyzyxz zxy d d d dd d d dd d d d 0 x z yo A ( , , )M x y z B 222 (2)(2)(2) L xyz dxyxz dyzxy dz 22 (2)(2) OAAB xyz dxyxz dy 2 (2) BM zxy d

20、z 222 000 (2) xyz x dxy dyzxy dz 第25页/共30页 2021-8-427 333 111 2 333 xyzxyz 222 296 4(2)(2)(2)(2).Pxyz dxyxz dyzxy dz 求求的的原原函函数数 x z yo A ( , , )M x y z B 222 (2)(2)(2) L xyz dxyxz dyzxy dz 222 000 (2) xyz x dxy dyzxy dz 333 111 2. 333 xyzxyzC所所求求原原函函数数为为 第26页/共30页 2021-8-428 (2,3, 4) 23 296 (1,1,1) 5(1).Pxdxy dyz dz 验验证证与与路路径径无无关关，