重难点突破02 原函数与导函数混合还原问题 （十三大题型）原卷版-2025年高考数学一轮复习

重难点突破02原函数与导函数混合还原问题

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：利用%"/(%)构造型...................................................................3

f(x\

题型二：利用构造型......................................................................3

题型三：利用6网/(%)构造型...................................................................4

题型四：用构造型........................................................................4

e

题型五：利用sin%、tan%与/(%)构造型......................................................5

题型六：利用COSX与/(%)构造型.............................................................6

题型七：复杂型：e”与初(％)+bg(x)等构造型.................................................6

题型八：复杂型：(丘+/与/(%)型...........................................................7

题型九：复杂型：与In(依+b)结合型...........................................................8

题型十：复杂型：基础型添加因式型.............................................................8

题型十一：复杂型：二次构造....................................................................8

题型十二：综合构造............................................................................9

题型十三：找出原函数.........................................................................10

03过关测试11

亡法牯自与.柒年

//\\

1、对于方Xx)+/(x)>0(<0),构造g(x)=%•/(%),

2、对于V'(兀)+4(兀)>0(<0),构造g(x)=x"•/(九)

3、对于无・尸(兀)一/(x)>0(<0),构造=

x

4、对于尤"'⑺一妙⑺>0(<0),构造g(x)=与

X

5、对于/'(兀)+/(%)>0(<0),构造8(%)=d./(%),

6、对于广⑴+炉》>。(<0),构造g(%)=*"(%)

7、对于尸(幻-/(x)>0(<0),构造g(x)=",

e

8、对于「(元)一批(x)>。(<0),构造g(x)=塔

ebx

9、对于sinA>/'(x)+cosi・/(x)>0(<0),构造g(X)=/(X)・sinx,

10、对于sinjr"'(x)-cosx"(x)>0(<0),构造g(x)=

sinx

11>对于cosx•/'(%)-sin/(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)-cosx,

12、对于cosx./'Cx)+sinx・/(x)>0(<0),构造g(%)=

cosx

13、对于/'(九)—/(%)>左(<0),构造g(%)=。"(%)-灯

14、对于尸(%)In%+/3>0(<0)，构造g(x)=lnx・/O)

x

15、f(x)+c=[f(x)+cx]f；/'(%)+g\x)=[f(x)+g(x)]f；f(x)-g\x)=[f(x)-g(x)]f；

16、((x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)]';•

㈤2

题型归纳与总结

题型一：利用%"，(%)构造型

【典例1-1】函数/(X)是定义在区间(0,+«0上的可导函数，其导函数为八X),且满足尸(x)+：〃x)>0,

则不等式(X+2023)〃X+2023)<2/(2)的解集为()

2x+2023

A.{x[x>—2021}B.{x|x<-2021}

C.{x|-2023<x<0}D.{x\-2023<x<-20211

【典例1-2](2024•全国•模拟预测)定义在R上的函数/⑴的导函数是广)),3文光)+#'(尤)<0,函数

y=/(x+l)+2022为奇函数，则不等式兀3/(%)+2022〉0的解集为()

A.(—8,1)B.(—°0,—1)C.(l,+oo)D.(-l,+oo)

【变式1-1]设函数〃尤)是定义在(一*0)上的可导函数，其导函数为广(X),且有2/(无)+#'(无)>。，则

不等式(X+2023)?/(x+2023)—4/(一2)<0的解集为()

A.(-2023,-2021)B.(-2025,0)

C.(-2025,-2021)D.(-2025,-2023)

【变式1-2](2024•江西南昌•三模)已知函数/⑴的定义域为R,且/(2)=-1,对任意xeR,

〃x)+句'(尤)<0,则不等式(x+l)f(x+l)>-2的解集是()

A.B.(-00,2)C.(1,+co)D.(2,+co)

题型二：利用华构造型

【典例2-1】已知函数“X)的定义域为(-8,0),/(-1)=-1,其导函数I'(X)满足矿(x)-2/(x)>0,则

不等式+2025)+(x+2025『<0的解集为()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-oo,-2026)D.(-oo,-2025)

【典例2-2】已知函数“X)是定义在(—，。)(0,+s)的奇函数，当xe(O,+s)时，矿(x)<〃x),则不

等式5〃2r)+a-2)〃5)<0的解集为()

A.(-<o,—3)u(3,+co)B.(—3,0)u(0,3)

C.(—3,O)u(O,7)D.(-oo,-3)u(2,7)

【变式2-1](多选题)已知函数/'(x)为定义在(-x,O)U(O,+«)上的奇函数，若当尤<0时，

且/(1)=0,则()

A.2/(e)>贝2)B.当机<2时，”间〉〃矿(1)

C.3/(-71)+71/-(3)<0D.不等式〃力>0解集为(—1,0)51,依)

【变式2-2】已知定义在R上的函数了⑺满足：xf'(x)-f(x)>0,且/(1)=2,贝”/■心£)>21的解集为

()

A.(0,+co)B.(In2,+00)C.(1,+co)D.(0,1)

题型三：利用构造型

【典例3-1】设函数/⑺的定义域为R,/'(x)是其导函数，若〃x)+/'(x)＞。，/(1)=1,则不等式

/(尤)〉的解集是()

A.(0,+oo)B.(1,+℃)

C.(-叫0)D.(0,1)

【典例3-2】已知定义在R上的函数h(x)满足2/z(%)+Zi'(x)＞0且飘1)=乙，则不等式h{x}＞上的解集为

ee

().

A.(-00,e2)B.—+00)C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【变式3-1](2024•云南楚雄•一模)已知/(%)是R上的奇函数，且对任意的xeR均有

+成立.若〃=则不等式〃力＜31的解集为()

A.(-oo,-l)B.(-oo,l)C.(-l,+oo)D.(1,+co)

【变式3-2]已知定义在R上的可导函数/(%),其导函数为了'(%),若2/(力+/(力＞0,且/⑴=e,则

不等式。2"(力-e3＞。的解集为()

A.(1+e)B.(e,+a)C.(一8」)D.(一。簿)

题型四：用等构造型

【典例4-1](2024•广东广州•三模)已知可导函数/(尤)的导函数为广。)，若对任意的尤eR,都有

/(x)>/(x)+l,且/(%)-2024为奇函数，则不等式/⑺—2023e'<l的解集为()

A.(-oo,0)B.(-00,e)C.(e,+oo)D.(0,+oo)

【典例4-2】(2024•辽宁鞍山•二模)已知定义在(-2,2)上的函数/(可满足〃h+/7(-引=0,且

/(l)=e2,尸(x)为的导函数，当xe[0,2)时，f'(x)>2f(x),则不等式e?"(2-为<e“的解集为

()

A.(l,+oo)B.(1,2)C.(0,1)D.(1,4)

【变式4-1】已知定义在(-2,2)上的函数〃力满足/(x)+e4V(-%)=0/(l)=e2,尸(x)为的导函数，

当xe[0,2)时,r(x)>2/(x),则不等式e?了(2-“<e4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,2)

C.(14)D.(1,5)

【变式4-2](2024•高三•江苏常州•期末)已知定义在R上的函数的导数为尸(x),f(l)=e,且

对任意的x满足了'⑺―〃x)<e',则不等式的解集是()

A.(-℃,1)B.(-oo,0)C.(0,+oo)D.(1,+<»)

【变式4-3](2024•高三•山东荷泽•期中)已知函数/'(尤)是函数〃尤)的导函数，/(1)=1,对任意实

数x都有/(x)-/'(x)>0,设尸(尤)="，则不等式&x)<l的解集为()

ee

A.(-oo,l)B.(l,+oo)

C.(l,e)D.(e,+s)

题型五：利用sinx.tan%与/(%)构造型

【典例5-1】(2024•贵州遵义•模拟预测)已知函数“X)的定义域为R,其导函数为/'(x),若

7(T)J(X)=S呜,且当go时，2f,(x)+cos|>0,贝厅(2了+兀)+1>小)+5呜[2s呜+1]的解集

为()

A.1兀,鼻B.(一=0,一兀)1全十°°]

C.D.(-00,-it)]一1■，+

【典例5-2](2024•高三•黑龙江齐齐哈尔•期末)已知函数/■(*)的定义域为(0,兀)，其导函数是广(x).

若对任意的X«。㈤有了'(x)sinx-/(x)cosx<0,则关于1的不等式/(x)>2/(g)sinx的解集为()

A.(。,勺B.(0,—)C.(—,7i)D.(—,7T)

3636

【变式5-1】已知定义在R上的函数/(幻，满足f(x)=/(-x)-2sinx,且任意。《否<々时，有

〃无J+sm%一〃龙2)-sin”成立,则不等式/(x+g]>/W+sinx-cosx的解集为()

A.1TB.整c.F)D.L

【变式5-2】已知函数〃尤)=/(r)+2sin2x,又当xNO时，f\x)>2,则关于尤的不等式

〃x)2/g-x)+VIsin12x-j的解集为().

711兀

A.—,+ooIB.——,+00

8

C.*]D.兀

——,+00

4

题型六：利用COSX与/(%)构造型

【典例6-1](2024•安徽淮南•二模)定义在R上的函数“X)满足〃T)+〃X)+2COSX=0,当xN。时,

尸(x)>sinx,则不等式/(x)+2cosx>/(兀一x)的解集为()

71兀7171

A.—,+00B.—00,—C.D.(-<20,71)

222,2

7171,其导函数为/'(X),若对Vxe0最)，有

【典例6-2】偶函数/(x)定义域为

2,2

兀

尸(x)co&x<〃x)sinx成立，则关于尤的不等式2〃x)〈上的解集为

COSX

7171

【变式6-1](2024•四川成都•模拟预测)已知函数7'(x)的定义域为,其导函数是广(元).有

2,2

兀

/,(x)cosx+/(x)smx<0,则关于x的不等式/(x)>2/cosX的解集为

题型七：复杂型：e"与妙(%)+bg(x)等构造型

【典例7-1】已知可导函数/⑺的导函数为了(X),若对任意的xeR,都有〃幻-/'(无)>1.且f(x)-2022

为奇函数，则不等式“X)-2021炉>1的解集为()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-00,e)D.(e,+oo)

【典例7-2］已知函数〃%)的导函数为广⑺,若对任意的xwR,都有/(%)>尸(%)+2,且〃1)=2022,

则不等式/(力-20204<2的解集为()

A.(0,+8)B.18'jC.(1,+8)D.(-00,1)

【变式7-1］己知函数“X)与g(x)定义域都为R,满足〃x)=a+?g(M,且有

g，(x)+xg，(x)-xg(x)<0,g⑴=2e,则不等式〃x)<4的解集为()

A.(1,4)B.(0,2)C.(-℃,2)D.(1,+<»)

【变式7-2】已知定义在(-3,3)上的函数f(x)满足/(尤)+e""(r)=0,/(l)=e2,/(尤)为/(%)的导函数，当

xe［0,3)时，/(幻>2/(幻，则不等式627(27)</的解集为()

A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+co)D.(0,1)

题型八：复杂型：(丘+切与/(%)型

【典例8-1】已知函数/(元)的定义域是(-5,5),其导函数为/'(x),且〃x)+#'(x)>2,则不等式

(2x—3)/(2x-3)—(x—1)/"-1)>2工一4的解集是.

【典例8-2】已知函数/⑴的定义域为R,7[¥]=—，若对于任意xeR都有广(x)+4x>0,则当

ae(0,2兀)时，则关于a的不等式/'(sine)—cos2a<0的解集为()

A-厝"B.(0,和生,2兀)

C1寻D.6J隔,2兀)

【变式8-1](2024•辽宁•模拟预测)已知函数/(x)为定义在R上的偶函数，当时，

f\x)>2x,*2)=4,则不等式#(xT)+2d>d+x的解集为()

A.(-1,0)53，+8)B.(-1,1)1(3,+w)

C.(f-1),(0,3)D.(-1,3)

【变式8-2】已知定义在(。,+⑹上的函数的导函数为/'(x),若广(力<2,且〃4)=5,则不等式

/(2*)>2-「3的解集是()

A.(0,2)B.(0,4)C.(-a>,2)D.(^»,4)

题型九：复杂型：与In(丘+力结合型

【典例9-1】(2024•高三•江苏扬州•开学考试)若可导函数〃尤)是定义在R上的奇函数，当x>0时，

有lnx"'(x)+Lf(x)<0,则不等式(x-2)"(x)>。的解集为()

X

A.(-2,0)B.(0,2)C.(-2,2)D.(2,+8)

【典例9-2】(2024•陕西榆林•模拟预测)已知定义在(0,+“)上的函数/⑺满足((x)-工4-1>0,且

"1)=1,则不等式的解集为()

A.(0,+e)B.(1,+co)C.(一8,0)D.(-oo,l)

【变式9・1]已知函数/⑺的定义域为(。,+功,其导函数为广⑴，若靖(力-1<0,/(e)=2,则关于x

的不等式/(e，)<x+l的解集为()

A.(0,1)B.(l,e)C.(1,+co)D.(e,+co)

题型十：复杂型：基础型添加因式型

【典例10-1】已知广⑺为定义域R上函数〃x)的导函数，且/'(x)+/'(2—x)=0,x>l,

4

(x-1)r(x)+2/(x)>0且”3)=1,则不等式〃无)>H的解集为—.

【典例10-2](2024•高三•湖南株洲•开学考试)已知定义在R上的可导函数/(尤)满足

xf\x)+f(x)<xf(x),若y=是奇函数，则不等式步(无)+3y2>0的解集是()

e

A.(-oo,-2)B.(-oo,-3)C.(-2,+oo)D.(-3,+<x>)

【变式10-1】(2024•山东聊城•三模)设函数的定义域为R,导数为尸⑴，若当工20时，

r(x)>2x-l,且对于任意的实数=〃尤)+2无，则不等式〃2x-1)-〃x)<3f-5X+2的解集为

()

1-1)0(1,+00)

A.C.——,+00D.-8,

3

题型十一：复杂型：二次构造

【典例11-1】已知定义为。,内)的函数“X)的导函数/'⑴,且〃e)=2,①=/'(x)lnx,则不等式

X

#(x)<2e的解集是.

【典例11-2】函数/(尤)满足：2exf(^)+exf'(x)=Vx,f(―)=.则x>0时，f(x)

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值

TT

【变式11-1】设函数/(X)的导数为/(x),且/。)+e=矿(幻，/⑴=-匹/(2)=-彳，则当x>0时，

/(X)()

A.有极大值，无极小值B.无极大值，有极小值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值

【变式11-2]定义在(O,+e)上的函数满足对■'(x)+〃x)=x21nx,且«白]=一：，则〃”()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

题型十二：综合构造

【典例12-1】已知定义在R上的偶函数“X)满足/■。-；)+/(-尤-1)=0,e4/(2022)=l,若〃x)>/'(f),

则关于x的不等式“x+2)>士的解集为()

ex

A.(4,+oo)B.(-oo,4)C.(-co,3)D.(3,+co)

【典例12-2】已知定义在R上的奇函数/'(%),其导函数为尸(x),当xVO时，满足

/C\7X/、/(x)/(2x+l)

(%2+3)r(x)+2V(-x)>0,则不等式尊2祚二二5的解集为()

A.[l,+oo)B.(一0。)C.(-oo,-l]D.(0,+8)

【变式12-1】已知函数/⑴的定义域为(0,+“)，导函数为(⑺，不等式(x+l)[2/(x)+矿(切>犷(力

恒成立，且〃6)=g,则不等式+的解集为()

A.(—,4)B.(0,2)C.(-4,2)D.(-4,4)

【变式12-2](2024•高三•山东烟台•期中)定义在R上的函数/U)的导函数为了'(X),满足

/(x)+l-e2jc(l+/(-x))=0,f(l)=e2-l,且当尤e(0,+◎时，f\x)-f{x}>\,则不等式〃x—l)>e'-l

的解集为()

A.(0,2)B.(-1/)C.(―℃>,0)I(2,+oo)D.(-oo,-+8)

【变式12-3](2024•高三•河南新乡•开学考试)设函数/(元)在R上的导函数为了'(X),

f(x)+/(-x)=O,对任意xe(O,+a)),都有/(x)广(x)>x,且〃1)=2,则不等式［/(x-l)f</—2x+4的

解集为()

A.(f,0)U(2,+s)B.(0,2)C.(1,3)D.(-»,1).,(3,+^)

题型十三：找出原函数

x2

【典例13-1]设函数八)满足矿(x)+2"x)=[,"2)=(,则x>0时，f(x)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

【典例13-2]设函数Ax)是定义在(-1,内)上的连续函数，且在x=O处存在导数，若函数/(&)及其导函数

/'(X)满足/馥)ln(x+l)=x-驾，则函数“X)()

x+1

A.既有极大值又有极小值B.有极大值，无极小值

C.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值

1nV*

【变式13・1](2024•辽宁大连•一模)函数/⑺的导函数为/(犬)，满足4'(%)+2/。)=——，且

x

/(e)=二，则/⑺的极值情况为()

2e

A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

【变式13-2]设函数Ax)是定义在(0,内)上的连续函数，且在x=l处存在导数，若函数/(x)及其导函数

/'(X)满足/(无)lnx=x-用，则函数/⑴()

X

A.既有极大值又有极小值B.有极大值，无极小值

C.既无极大值也无极小值D.有极小值，无极大值

【变式13-3](2024•全国•一模)若函数/⑺满足⑴=0,则当尤时，/(力

()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值

【变式13-4](2024•黑龙江大庆•模拟预测)已知函数〃x)的定义域为(0,+助,广(x)为函数/(尤)的导

函数，若粉/⑺+八(x)=l,*1)=0,则不等式八2:3)>0的解集为()

A.(0,2)B.(log23,2)C.(log23,+(»)D.(2,+co)

1.(2024•高三•江苏扬州•期末)已知函数的导数为尸(x),对任意实数x,都有外力-广(无)>0,

且"1)=1，则〃x)>e'T的解集为()

A.(-co,l)B.(1,+oo)C.(-1,1)D.(-<»,-l)u(l,+oo)

2.已知函数/'(X)是奇函数〃x)(xeR)的导函数，且满足x>0时，\nx-f+(x)<0,则不等式

(%-985)/(力>0的解集为()

A.(985,+oo)B.(-985,985)C.(-985,0)D.(0,985)

3.(2024•高三•宁夏石嘴山•期中)已知函数/⑴在R上的导函数为了'(x),若f(x)<2r(x)恒成立，

且“In4)=2,则不等式/⑴的解集是()

A.(In2,+oo)B.(21n2,+w)C.(e,ln2)D.(-oo,21n2)

4.已知可导函数的导函数为/'(x),"0)=2023,若对任意的xeR,都有/(x)</'(x),则不等式

/(x)<2023e，的解集为()

/八\(2023)

A.(0,+8)B.I—1,+叼

(2023、/小

C.「双方-JD.(y,0)

5.(2024•高三•四川内江•期末)已知广⑺是函数的导函数，/g)=2e,其中e是自然对数的

底数，对任意xeR,恒有/''(x)+2〃x)>0,则不等式/")—2e23>。的解集为()

A.(f,e)B.C.D.(e,+co)

6.已知是定义在R上的可导函数，其导函数为了'⑺，对VxeR时，有<(%)-2〃力>0,则不等式

/(x+2023)-e2"+4047(2)<0(其中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(-2021,+oo)B.(-2025,+00)

C.(-oo,-2021)D.(-oo,-2025)

7.定义域为R的可导函数y=/(x)的导函数为尸(x),满足且〃0)=3,则不等式

〃司<3^的解集为()

A.(-8,0)B.(-<»,3)C.(0,+oo)D.(3,+00)

8.已知定义在R上的函数〃X)，其导函数为用x),若/⑺―/(—，+2/+2X=0,且当尤20时，

f(x)+3x2+l<0,贝U不等式/(x+l)-/(x)+3x2+3x+2W0的解集为()

A.(-co,0］B.C.1一°0，—；D.

9.定义在R上的函数〃x)的导函数为/'(x),若对任意实数x,有〃x)>/⑺，且〃x)+2023为奇函数,

则不等式/(x)+2023/<0的解集是()

A.(-8,0)B.C.(0,+8)D.、,+«))

10.(多选题)设定义在R上的函数了⑺的导函数为了'(X),若满足^'(x)-/(x)=/e,,且/⑴=e,则下

列结论正确的是()

A./(尤)在R上单调递增

B.不等式/(xRe的解集为［1,包)

C.若恒成立，则1