麦克斯韦分布完整版

1、 阿伏伽德罗阿伏伽德罗引入引入“分子分子”概念概念 克劳修斯克劳修斯提出了理想气体分子运动模型提出了理想气体分子运动模型 、引进统计概念推导理想气体压强公式、引进统计概念推导理想气体压强公式 麦克斯韦麦克斯韦于发现分子热运动的无规性，于发现分子热运动的无规性， 导出了麦克斯韦速率分布律导出了麦克斯韦速率分布律 玻耳兹曼玻耳兹曼得到粒子按能量的分布规律得到粒子按能量的分布规律 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 布朗运动布朗运动 在显微镜下观测时，每隔30s记录下来的布朗微粒所 在位置的连线。显然，这些点与点之间的线段并不是 微粒的运动轨迹. 1826年英国植物学家 布朗（1773-1858）用 显微

2、镜观察悬浮在水 中的花粉时发现的。 悬浮微粒永不停息地 做无规则运动的现象 叫做布朗运动 。 气体动理论的建立气体动理论的建立 2 2、理想气体压强、理想气体压强、 温度公式温度公式 1 1、理想气体分子运动模型、理想气体分子运动模型 3 3、麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律 理想气体分子运动模型理想气体分子运动模型 温度的微观解释热平衡的微观解释 理想气体的温度理想气体的温度 2 2 1 vm t 温度表示分子热运动的激烈程度温度表示分子热运动的激烈程度 温度只对系统而言，对一个分子无意义温度只对系统而言，对一个分子无意义 kT 2 3 动能 Kinetic energy 麦克斯韦速度

3、、速率分布麦克斯韦速度、速率分布从抛硬币得出的规律 速度分布函数的定义：速度分布函数的定义： NvvF xx )( F(vx)dvx代表速度代表速度vxvx+dvx 速度区间内分子数占总数比率速度区间内分子数占总数比率 x v )( x vF dNdvvF xx )( kdNdvvF xx )( 设 1)( xx dvvF N k 1 N dN dvvF xx )( Nvvv xxx :内分子数 Nvvv :内分子数 占总数比率: N N 有关和与vv N N )(较小时vv N N 有关仅与v vN N f (v)代表速率代表速率v 附近附近单位速率区间内单位速率区间内分子数占总数比率分子数

4、占总数比率 vv v v o Ndv dN vN N vf V 0 lim)( 速率分布函数的定义：速率分布函数的定义： 速率分布函数的一般规律：速率分布函数的一般规律： f(v) v dv vN N vf d d )(1d)( 0 vvf 0 )()(dvvfvuu f(v) v v2v1结论：结论： 在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数 值上等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分率。值上等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分率。 N N vvf v v d)( 2 1 归一化条件：归一化条件： 1d)( 0 vvf 定义： 区间：在vvv

5、 j j dNvuvu)()( 0 )()( )( dvvfvu N dNvu u N vu vu N i i 1 )( )( ov )(vf dvvNfdN)( 0 22 0 )( )( dvvfvv dvvvfv平均值表示 波尔兹曼分布律：波尔兹曼分布律： N个分子组成的理想气体，在固定体积V，固定 温度T下，到达平衡态时的分子速度分布是什么？ r rr r lnppkN !n N! lnkS 即：对于体系的熵 公式里的各 应该如何取值，才是极大？/Nnp rr 此时，有约束： .constnE .constnN r r r r r r r r r kT kTN n )/exp( )/ex

6、p( 利用变分法可得： 粒子数随能量的分布规律叫做波尔兹曼分布律 麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数： 2 2 23 2 ) 2 (4)(ve kT vf kT v kTdvvfvv t 2 3 )( 2 1 2 1 0 22 v )(vf 讨讨 论论 2 22 3 2 ) 2 (4)(ve kT vf v kT 0 )( p v dv vdf ：令 kT v p 2 A A N TkN2 M RT2 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布最可几速率、平均速率、方均根速率 0 )(dvvvfv kT8 M RT 8 kT v 3 2 M RT3 v )(vf v )(vf kT v p 2

7、讨讨 论论 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布与温度关系 演示演示 气体分子测速仪 高真空技术使得气体分子速率分布能够测定高真空技术使得气体分子速率分布能够测定 作业： 习题7-2 熵熵无序度、无组织、缺少信息无序度、无组织、缺少信息 信息信息有序、有组织、负熵有序、有组织、负熵 熵与信息的联系熵与信息的联系 有序无序问题引出一个崭新的概念有序无序问题引出一个崭新的概念 ? 二、信息熵二、信息熵 假想有一个小精灵假想有一个小精灵: 高速分子高速分子右室右室 低速分子低速分子左室左室 孔闸启闭无摩擦孔闸启闭无摩擦 Maxwell demon( (麦克斯韦妖麦克斯韦妖) ) 整个气体容器内整个气体容

8、器内 1929年，年，Szilard认为认为麦克斯韦妖麦克斯韦妖具有获取信息能力具有获取信息能力 信息信息负熵负熵 Maxwell demon 与热力学第二定律与热力学第二定律 获此信息必须付出代价获此信息必须付出代价用微型光源照亮分子用微型光源照亮分子 获取信息获取信息环境熵增环境熵增耗能耗能 额外的熵产生抵消了容器内熵减少。总熵还是增加。额外的熵产生抵消了容器内熵减少。总熵还是增加。 熵与信息的联系熵与信息的联系 从两种等概率可能性中作出判断所需的信息量为：从两种等概率可能性中作出判断所需的信息量为： 1 1比特比特（bit）信息量的单位信息量的单位 从从 N N 种等概率可能性中作出判断

9、所需要的信息量为种等概率可能性中作出判断所需要的信息量为 I , 2NbitI1 例如计算机中汉字例如计算机中汉字：最少为最少为 1616 点阵点阵 点阵中每一点点阵中每一点用用二进制数码二进制数码：有有笔划笔划取取1，无，无笔划笔划取取0。 需要的信息量为需要的信息量为： 1616 =256 bit NlogI 2 熵与信息的联系熵与信息的联系 信息量信息量也也可表示为可表示为： 概率表达信息量概率表达信息量：设设N 种可种可 能性每种出现的概率能性每种出现的概率相等相等： N P 1 PkSln P P NIln 2ln 11 ln 2ln 1 ln 2ln 1 2ln 1 k NNIln

10、 2ln 1 log 2 Shannon把信息量把信息量 I 视为信息熵视为信息熵 S 若若N种可能性的概率不一样，第种可能性的概率不一样，第 i 种可能性出现的概率为种可能性出现的概率为Pi， 熵 熵与信息的联系熵与信息的联系 i N i i PlnPKS 1 明天下雨概率为概率为P1 =0.80, 不不下雨概率为概率为P2 =0.20 7220 )200200800800( 2 1 )( 2211 . .ln.ln. ln PlnPPlnpKS 若每一种微观态若每一种微观态 W 出现的概率出现的概率 P 相等相等 信息熵与热熵的关系信息熵与热熵的关系 每一种微观态出现的概率 PPkSln 2ln 1 ln 信 Pk P k B B ln 1 ln ）（ 信 Sk Pk B B 2ln ln 2ln 1 2ln ）（ 信热 SkS B 2ln WkS Bln 热 温度为温度为T时，每处理时，每处理1bit信息量至少耗能信息量至少耗能: (J)1095702ln 23 T.TkSTQ B 信息处理与能耗的关系信息处理与能耗的关系 (J/K) (bit) WkS Bln 热 Wln 2ln 1 S 信 ）（ 信热 SkS B 2ln 2lnTk