电磁场与电磁波第三章静电场和恒定电场

1、第第 三三 章章 静电场和恒定电场静电场和恒定电场 3.1 静电场的基本方程 3.2 高斯定律的应用 3.3 电位与电位梯度 3.4 静电场中导体的性质 3.5 导体的电容 3.6 静电场的边界条件 3.7 镜像法 3.8 恒定电场 3.9 分离变量法 电磁现电磁现 象的普象的普 遍规律遍规律 静电场静电场 静磁场静磁场 电磁场电磁场 的辐射的辐射 电磁场电磁场 的传播的传播 静电场的 性质和求 解静电场 问题的各 种方法。 是解决一般 电磁场问题 的基础。 喷墨打印机工作原理 选矿器 硫酸盐矿 石英 含石英硫酸盐矿 静态场的工程应用 均匀电场中带电粒子的 轨迹 阴极射线示波器原理 3.1 静

2、电场的基本方程静电场的基本方程 静电场（Electrostatic Field)基本方程是麦克斯韦方程在各类 场量均不随时间变化时的特殊形式 微分形式： 0E 0H V D 0B 积分形式： l d0lH l d0lE ED 电场、磁场相互独立 V sV ddV SD s d0 BS 电荷是电场的电荷是电场的 源，静电场是有源，静电场是有 源无旋场源无旋场 3.2 高斯定律的应用高斯定律的应用 高斯定律（Gausss law）说明通过一个封闭面净穿出的电 位移矢量的通量等于该曲面所包围的总电荷，即 s dq DS s d q ES s dd V V V DS 0 2 S ES 0 2 ? ES

3、 ?1 0 2 E i i qS 12 2 S d ES 2 是侧面 通量, 1 是底面 通量 2 S d ESES 场强方向指离平面场强方向指离平面;0 场强方向指向平面。场强方向指向平面。0 E 0 E 0 rr EEe 因为球面上每一点从q所在的球心都是等距的，在rR球面 上的每一点，Er应该有相同的值。因而 被球面包围的总电荷为q，所以P点的电场强度为 2 0 4R q Er 例例3.1 用高斯定律求孤立点电荷q在任意P点产生的电场强度 E。 解解 以电荷为球心，构造一个经过P点半径为R的球形高斯面。 电场方向沿径向，则 2 s d4 r R E ES 例例3.2 真空中有一个半径为a

4、的带电球，电荷密度为r/a （r为半径），求带电球内外的电场。 解解 由于电荷分布具有球对称性，因此其电场也具有球对称 性，方向为径向。那么，在半径为r的同心球面上，电场的 大小相等，方向与球面的法线一致，则 当ra时，球面内的电荷为 2 0 d4d 4 r V rr qV =rr aa 当ra时，球面内的电荷为 23 0 d4d a V r qV =rra a 2 sss ddd4 rrr ESr E ESES 将以上3式代入静电场的高斯定律可得 ar r a ar a r Er ， ， 2 0 3 0 2 4 4 例例3.3 半径为a的无穷长直圆筒面均匀带电，面电荷密度为 。 试求离轴线为

5、r处的电场强度E。 s 解解 以圆筒的轴线为轴线，半径为r作长为L的圆柱面（高 斯面）S，由高斯定律得： 式中q是S所包围的电荷量的代数和。 0 2 s q drLE ES 当ra时，q0，故得筒内 ar ，0E 当ra时， s aLq2 r a E s r 0 例例3.4 设有一电荷均匀分布的无限长细直导线，线密度是。 试求空间各点的电场强度E。 解解 首先使用圆柱坐标系，长细直导线放在z轴上，由电荷分布 特点，可以看出此电场具有轴对称性，即电场强度E只有沿方 向的分量。由于线电荷无限长，场沿长度方向无变化，所以每 个垂直于线电荷平面上的场分布相同。故以细导线为轴的圆柱 面上E值相同，即E与

6、 、z无关。以细直导线为轴作一闭合的圆 柱形高斯面。其半径为r，高度为l。应用高斯定律 D线皆垂直于导线，呈辐射状态；等r处D值相等； 因为E与上下两底面法向垂直，没有通量穿过两底面，所 以从闭合面内穿出的通量为 0 2 l rlE l r E l 0 2 0 l s l d ES 注注对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。 高斯定律的用途高斯定律的用途： 当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。 当已知场强分布

7、时，可用高斯定律求出任一区域当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、电位分布。的电荷、电位分布。 开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一 客观规律。客观规律。 对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确， 而高斯定律仍然有效。而高斯定律仍然有效。 3.3 电位与电位梯度电位与电位梯度 E P Q dl C 假设电荷q0沿路径C从P到Q移

8、 动，设线元dl处的电场强度为E， 当q0经过dl时，电场力做的功为 lElFdqddW 0 在从P到Q的整个路程上，电场力做的总功为 l dqdWlElF l 0 探测电荷从P到Q由外力做的总功为 Q P PQ dqWlE 0 如果沿闭合路径移动电荷，则做的功必须为零，即 0 c lE d 0E 静电场是无旋的或保守的 0E llEdqdqW Q P Q P PQ 00 dd l QPPQ Q P Q P PQ qqdqdqW 00 0 0 )( lE 当外力使正电荷逆着电场的方向运动时，电荷的位能增加。 在考虑电场中任意一点a的电位为 ( )( ) P a adP El 当P点为电位零点，

9、即电位参考点时， ( ) P a ad El 同一电场，选取不同的电位参考点，电位不同。同一电场，选取不同的电位参考点，电位不同。 在电荷分布在有限区域的情况下，一般选取无限远处作 为电位的参考点；而在电荷分布延伸到无限远的情况下， 必须选取有限区域中的点作为电位的参考点；在工程上， 由于大地电位相对稳定，因此，一般取大地为电位参考点。 E)(E 电位满足的方程为 2 泊松（Poisson）方程 在无电荷分布的区域 0 2 拉普拉斯（Laplace）方程 例例3.5 真空中有一个半径为a的带电球，电荷密度为=r/a， 求带电球内外的电位。 解解 由例3.2可知带电球内外的电场为 ar r a

10、ar a r Er ， ， 2 0 3 0 2 4 4 由于电荷分布在有限区域，选无限远为电位参考点， 在ra时 33 2 00 ( ) 44 rr a dra rd rr El 在ra时 2332 2 0000 ( ) 44123 a rra r dra drra rd ara El 例例3.6求（1）点电荷（2）体电荷、面电荷和线电荷产生的电 场中的电位分布。 解解 （1）单个点电荷q的电场中任一点的电位： 取P点（距离RP）为参考点，则 2 rr 0 ( )dd 4 PP RR r q r R Elel P R r R dRq 2 0 4 P R q r q 00 44 若令RP，则 r

11、 q r 0 4 )( 应用叠加定理，n个点电荷电场中的电位为 n i i i r q 1 0 4 （2）同样应用叠加定理 体电荷： 0 d 4 V V V r 面电荷： ds r s s 0 4 线电荷： dl r l l 0 4 静电场电位物理意义：电位是单位正电荷的势能。势能本 身就意味着它只与状态有关，与过程无关。 3.4 静电场中导体的性质静电场中导体的性质 媒质分为导体（导电媒质）和电介质。 导体（conductor）中有可自由运动的电荷或者是带电离子， 前者是金属类导体，而后者是碱、酸和盐溶液等电解液。 静电场的物理特性； 1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义 势

12、能。 2）电力线：始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，止于 负电荷或带负电荷的导体或无穷远。 3）与磁场关系：无关。 电导率是表征材料导电特性的一个物理量，电导率的倒数 称为电阻率。 静电场应用 ：闪电 、静电场会影响植物的同化和异化作 用，以及细胞的生长和染色体的畸变、静电感应作用，造成 高压输电线对于电话线的干扰。 静电平衡 导体内没有电流，没有电场，也没 有净电荷，电荷分布在导体表面附近 的薄层里，可看成是面电荷，称作感 应电荷。 导体是等位体，导体表面是等位面， 导体表面上的电场与表面垂直。 例例3.8 在静电场中的导体内部电场为零，如果导体中有一空 腔，空腔内部无电荷，那么，空腔中的

13、电场是否为零？导体 表面上有无面电荷分布呢？ 解解 如果导体内空腔中有电场，该电场就一定是腔壁上的电荷 产生的，总能在腔中找一条电力线，如图所示，从a到b。沿该 电力线对电场作线积分，其结果应等于a与b两点的电位差，由 于这两点都在同一等位面上，其电位差为零，即 0)()( bad b a lE 要使沿电力线对电场的线积分为零， 电场必须为零，也就是说，空腔中电 场强度也为零，所以腔壁上就没有面 电荷分布。这说明，不论导体外的电 场有多大，导体壳内的电场总为零， 因此导体壳可以起到静电屏蔽的作用。 例例3.9 一个内半径为b，外半径为c的孤 立导体球壳，内部同心放置一个有电 荷均匀分布半径为a

14、的球，如图所示。 试求空间各处的电场强度。 解解 如图所示，把空间分为4个区域。 （1）区域I，ra。球面包围的总电荷为 3 4 3 V qr 因为电荷均匀分布，E场不仅是沿半径方向，并且在球面上为 常数，由 0 3 Vr r Ee (0ra) 0 3 rV r E 2 4 r s dr E ES （2）区域II， a r b。球面包围的总电荷为 3 4 3 V qa 由高斯定律得 3 0 3 Vr 2 a r Ee (a r 0的空间区域。 介质中的电场由点电荷和导电平板上感应电荷共同产 生。但感应电荷的分布未知。 式中 2 1 222 )(hzyxR 2 1 222 )(hzyxR zyx

15、 R hz R hz R y R y R x R xq VeeeE)()()( 4 3 3 3 3 3 3 q h z 0 h q R R P 11 4 R R q V P点的电场强度为 p EEE 2222 3/2 00 2cos 42() p qqh E Rxyh 在导电平面上，R=R,V=0。 （方向指向地面方向指向地面） 证明 z R R 在导电平面上，电场强度简化为 z R qh eE 3 4 2 2 1 222 hyxR D的法向分量等于导体表面（z0）的电荷密度，故有 3 4 2 R qh s 因此无穷大导电平面表面感生的总电荷为 qd h dqh ds R qh dsQ ss

16、s 2 00 2/3223 )(4 2 4 2 -q称为镜像电荷，代替了导电板上的感应电荷的作用。 enD=-Dn 例例3.16 用无限大的导电平面折成一直角区域，直角区域有一点 电荷q，求直角区域中的电位。 解解 建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点 电荷位于xy平面，设其坐标为（a,b,0）。现在，待求场区为 x0，y0区，边界面为x0面与y0面，在边界面上电位为零。 容易看出，对于如图所示的空间有相对坐标面对称分布的四个 点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布 和边界条件。 ) 1111 ( 4 ),( 43210 rrrr q zyx 式中 222 1 )

17、()(zbyaxr 222 2 )()(zbyaxr 222 3 )()(zbyaxr 222 4 )()(zbyaxr n 2n-1镜像电荷 当n=3时： 角域夹角为/n，n为整数时，有(2n1)个镜像电荷，它们与 水平边界的夹角分别为 n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了； 当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。 角域外有5个镜像电 荷，大小和位置如图 所示。所有镜像电荷 都正、负交替地分布 在同一个圆周上，该 圆的圆心位于角域的 顶点，半径为点电荷 到顶点的距离。 (2),1,2,(1) (2) mmn n 及 3 q 3 q q q q qq 3.7.2 导体球附近点电荷

18、的电场导体球附近点电荷的电场 在点电荷位于导体球附近的场合，也可以用镜像法计算电场， 考虑半径为a、接地的导体球附近距离球心为f的B点处有一点电 荷q，计算导电球外的电场。 用镜像法，设镜像电荷q位于球面内点电荷与球心的连线上 距球心为d的A点处，如图所示，那么，为保证与原问题有 相同的边界条件，球外的点电荷q与去掉导体球后的镜像 电荷q在半径为a球面边界上任一点P处产生的电位应为零， 即 0102 11 0 44 qq rr 2 1 qr qr a qq f 选择d值使 POB 与 AOP相似 2 1 adr far 2 a d f ROB 012 1 ( )() 4 qq r rr 2 2

19、 2cos 2 rdrrd 2 1 2cos 2 rfrrf 球外R点电位 点电荷与接地导体球周围的电场 a a 例例3.17 半径为a，电位为V的导体球附近距离球心f处有一点 电荷q，计算导体球外的电位。 解解 由于导体球电位不为零，可分解为一个电位为V的导体产 生的电位，加上电位为零的导体与点电荷产生的电位。 12 ( )( )( )rrr 1 012 1 ( )() 4 qq r rr 2 1 2cos 2 rfrrf 2 2 2cos 2 rdrrd a qq f 2 a d f 孤立导体在空间产生的电位为 2 0 ( ) 4 q r r 设导体带电量为q，则其在a点产生的电位为2 0

20、 ( ) 4 q aV a 2( ) a rV r V r a drrdf aq frrf q rrr cos2cos2 4 1 )()()( 2222 0 21 3.7.3 无限大介质平面上点电荷的电场无限大介质平面上点电荷的电场 0 4qaV 解：整个空间的场是由点电荷q及其边界上的极化电荷共 同产生，用镜像电荷代替极化电荷。这里需要确定两个区 域的电位函数 （介质1中）和 （介质2中）。 采用镜像法时，镜像电荷必须位于待求场空间区域之 外，故在求 时，将介质2移去并充满与介质1相同的介 质。同样在求 时，将介质1移去并充满与介质2相同的 介质。 1( ) r 2( ) r 1 2 介质界

21、面上方的点电荷的镜像 n e 1 112 1 ( )() 4 qq r rr 2 2 3 ( ) 4 q r r 等效电荷q和 的值应使两种介质中的电场在介质分界 面满足边界条件，即在边界上有 q 12SS 12 12 SS nn 考虑到在边界上任一点，r1,r2,r3可以用 r表示 1 1 () 4 qq rr 2 1 4 q r 12 11 ()qqq 12 12 SS nn 1122nn EE 其中 1 22 1 1 ()sin 4 n qq E rr 2 2 2 1 sin 4 n q E r 222 11 ()sinsin 44 qqq rrr qqq 12 12 qq 2 12 2

22、 qq 12tt EE 12nn DD coscoscos 222 444 121 sinsinsin 222 444 qqq rrr qqq rrr 或 电介质中的电场分布：电介质中的电场分布： 12 11 12 12 qq 2 12 2 qq q q q q 22 注意问题注意问题 2、像电荷确定后， 要把求解区域看成是 只有点电荷和像电荷 存在的无界的均匀空 间，此无界的均匀空 间介电常数应与求解 区域的介质的介电常 数相同。 3、适用于求解 某些形状简单的界 面附近，有一个或 几个点电荷情况下 的电场分布问题。 1、电荷必须放 在求解区域以外。 3.8 恒定电场恒定电场 恒定电流空间存

23、在的电场 3.8.1 恒定电流场方程恒定电流场方程 由电荷守恒定律，在任一封闭面中流出的电流等于该封闭面 中电量在单位时间内的减少，即 t J 由于恒定电流场中，运动电荷的分布不随时间变化，因此 dd V V t S JS 0 0 S d JS J 恒定电场与静电场一样，也是保守场。即 0E 3.8.2 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 nn JJ 21 tt EE 21 0 l d El = 例例3.18 圆柱形电容器，长为 L，内外导体均理想，半径分别为a 和 b，中间填充电导率为 的导体，如图所示，计算内外导体间 的电阻。 解解 设内外导体间电流为I，作一半径为r 的圆柱面，则

24、2 r I J rL 2 r I r L J E dln 2 b a Ib Ur La E 1 ln 2 Ub R ILa 3.9 分离变量法分离变量法 分离变量法是求解电位的拉普拉斯方程的一个重要方法。 它要求所给区域的边界面与采用的坐标系中的坐标面一致， 电位可分解成3个函数的乘积，而每一函数分别仅是一个坐 标变量的函数。这样，偏微分方程就可分解为3个常微分方 程来求解。根据给定的边界条件，确定待定系数。由惟一 性定理可知，所得解是惟一的。 3.9.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，位函数 的拉普拉斯方程为 0 2 2 2 2 2 2 2 zyx 0 2

25、 2 2 2 yx 设其解为)()(yYxX 0 11 2 2 2 2 dy Yd Ydx Xd X 0 2 2 2 Xk dx Xd x 0 2 2 2 Yk dy Yd y kx,ky称为分离常数 0 22 yx kk （1） k2x=k2y=0：此时方程的解为 00 )(BxAxX 00 )(DyCyY （2） k2x0，k2y=-k2x0，k2x=-k2y0：此时方程的解为 xshkBxchkABeAexX yy xkxk yy 11 )( ykDykCDeCeyY yy yjkyjk yy sincos)( 11 例例3.19 两个无限大接地导体平面，间距d ，一端接电位为V的导 体

26、面，求中间区域电位。 解解 按图所示选取直角坐标系，使边界面与坐标面重合，由于 两平行的导电平板很大，可近似认为沿x正方向，正负z方向都 是无限的，因此电位与坐标变量z无关，那么，在3块导电板之 间，电位所满足的拉普拉斯方程为 x y d V 0 2 2 2 2 yx )()(yYxX 22 22 ( )( )0 d Xd Y Y yX x dxdy 22 22 11 0 d Xd Y X dxY dy 2 2 2 1 x d X k X dx 2 2 2 1 y d Y k Y dy 22 0 xy kk 常微分方程的通解为 ( ) xx jk xjk x X xAeBe ( ) yy jk

27、 yjk y Y yCeDe ( ) xx k xk x X xAeBe ( )sincos yy Y yCk yDk y ( , )()(sincos) xx k xk x kyy x yAeBeCk yDk y (1,2,) y m km d 1 ( , )sin m x d m m m x yC ey d 1 sin m m m VCy d 21 1 4121 ( , )sin 21 m x d m Vm x yey md 在边界上的边界条件为 Vy ), 0( 0),( y 0)0 ,(x 0),(dx 3.9.2 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 例例3.20 一无限

28、长、半径为a，介电常数为 的介质圆柱，放入 原来E0=E0ex的均匀电场中，介质圆柱轴沿z轴放置。求介质柱 内外的电位。 解解 电场和介质柱都沿z方向是均匀的，因此，电位与z无关。由于 0 0E 所以场域是无源区。采用圆柱坐标系 电位满足的拉氏方程为 2 2 22 11 ( , )()0 边界条件为 在=0处，设电位为零；在 处，介质圆柱对电位的影响 可忽略，即 000 ( , )cosE xE 在=a处，电位满足边界条件 12 12 0 ( , )( ) ( )R 2 2 1 ()0 ddRd R ddd 0)( 2 Rk d dR d d 2 0k 22 0kk sin()cos() mm

29、m AmBm 通解 (0,1,2,3,)kmm 0,ln)( 00 mdcR 0,ln)( mdcR m m m m 100 1 ( , )ln()(sincos mm mmmm m dccdambm ） 200 1 ( , )ln()(sincos mm mmmm m DCCDAmBm ） 待定系数 1)在=0处， ，因此 1 0 d00 c0=0 dm=0 (m=1,2.) 2)在 时 0 cosE D00 C0=0 C1=-E0 B1=1 Am=0 (m=1,2.) Bm=C0 (m=2,3.) 1 1 ( , )(sincos m mmm m cambm ） 20 1 ( , )cos

30、cos m mm m EDBm 3） 由在=a的边界条件，记 mmm aca mmm bcb 0 11 (sincoscoscos mm mmm mm aambmE aB am ） 11 00 11 (sincoscoscos mm mmm mm maambmEB mam ） 0 00 111 2 E bcb 0 2 0 0 111 EaDBB 其余系数为零。故 00 0 2 0 0 0 2 cos , cos , E a a Ea 3.10 电场能量 3.10.1 静电场的能量 设一带电体电荷体密度为(r),电位分布为 。则电场能量为 ( )r 1 ( ) ( ) 2 e V WdV rr

31、单个带电导体的电场能量。可表示为 2 2 111 222 e q WqC C 电容为C，带等量异号电荷电量为q和q的双导体的电场能量为 2 1 12212 111 ()() 222 e WqqqCV 电场能量是分布在电场中的，与电场强度的关系为 1 2 e V WdV D E 电场能量在空间的分布用电场能量密度we表示，电场中某 一点的电场能量密度we为该点为中心的很小的区域内单位 体积的电场能量为 2 2 1 2 1 EweED 在各向同性的线性介质中，电场能量密度与电场强度的平在各向同性的线性介质中，电场能量密度与电场强度的平 方成正比，即电场能量不服从叠加性。方成正比，即电场能量不服从叠加性。 3.10.2 恒定电流场的能量损耗恒定电流场的能量损耗 在恒定电流