高数下册公式总结.doc

1、第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达向量有大小、有方向.记作 a 或 AB模向量 a 的模记作a和差cabc ab单位向量a0，则 eaaa设 a 与 x, y, z 轴的夹角分别为， ，方向余弦cos ， cos， cos则方向余弦分别为在直角坐标系下的表示aaxiay jazk( ax , ay , az )axprj x a, ayprj y a, az prj zaaax2ay2az2cabaxbx, ayby , azbzea(ax , ay , az )a2a2a 2xyzcosax， cosayazaa， cosaea( cos， cos， cos )cos2+c

2、os 2cos 21点乘（数量积）叉乘（向量积）caba ba b cos，为向量 a 与 b 的夹角ca b sin为向量 a 与 b 的夹角向量 c 与 a ， b 都垂直定理与公式a baxbxa ybyazbzijkabaxa yazbxbybz垂直平行a ba b0a / ba b0abaxbxay byazbz0axayaza / bbybzbx交角余弦两向量夹角余弦cosa ba bcosax bxa y byazbzax 2ay 2az 2bx 2by 2bz2投影向量 a 在非零向量 b 上的投影a baxbxa y byazbzprj b aprj baa cos(a b)

3、平面bbx2by2bz2直线法向量 n 方程名称一般式 A, B,C点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )方程形式及特征AxBy Cz D 0方向向量 T m , n, p 点 M 0 (x0 , y0 , z0 )方程名称方程形式及特征一般式A1 x B1 yC 1 z D 10A 2 x B 2 yC 2 z D 20点法式A( xx0 )B( yy0 ) C(zz0 ) 0点向式xx1yy1zz1三点式x 2x1y2y1z2z10参数式x3x1y3y1z3z1截距式xyz1两点式abc面面垂直A1 A2B1B2C1C20线线垂直面面平行A1B1C1线线平行A2B2C 2线面垂直AB

4、C线面平行mnpxx0yy0zz0mnpxx0mtyy0ntzz0ptxx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0m1 m2 n1 n2p1 p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp 0点面距离面面距离M 0 (x0 , y0 , z0 )AxByCzD0AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DdD1D2A2B 2C 2A2B2C 2面面夹角线线夹角线面夹角n1 A1, B1 ,C1 n2 A2, B2,C2s1 m1 , n1 , p1s2 m2 ,n2 , p2 s m, n, pn A, B,Ccos| A1A2B1B2C1C2 |cosm1 m2n1 n2p1 p2s

5、inAm Bn Cp222222222222A2m12n12p12m22n22p22ABCmnpA1B1C1B2C2x(t)，切“线”方程：xx0yy0zz0(t 0 )(t 0 )(t0 )y(t)，切向量空z(t )，T( (t0 ) ,(t0 ) , (t0 )法平“面”方程：间(t)(t0 ) ( x x0 )(t0 ) ( yy0 )(t 0 )( z z0 ) 0曲线切“线”方程：xx0yy 0zz0：1( x0 )( x 0 )y(x)切向量z(x)T(1 , (x) ,( x)法平“面”方程：( x x0 )( x0 ) ( y y0 )( x0 )( z z0 ) 0切平“面

6、”方程：空F ( x, y, z)0间曲面：zf ( x, y)法向量n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ) )n(f x ( x0 , y 0 ) ,f y ( x0 , y 0 ) , 1 )或Fx ( x0 , y 0 , z0 )( x x0 )Fx ( x0 , y0 , z0 )( yy 0 )F x ( x0 , y0 , z0 )( z z0 )0法“线“方程：x x0yy 0zz0Fx ( x 0 , y 0 , z0 )F y ( x 0 , y 0 , z0 )F z ( x0 ,

7、 y 0 , z0 )切平“面”方程：f x ( x0 , y0 )( x x0 )f y ( x0 , y0 )( yy0 ) ( z z0 ) 0n( fx (x0 , y0 ) ,f y (x0 , y0) , 1)法“线“方程：x x0y y0z z0f x (x0 , y0 )f y (x0 , y0 )1积分类型二重积分If x, y dD平面薄片的质量质量=面密度面积第十章 重积分重积分计算方法典型例题（1）利用直角坐标系X型f (x, y) dxdyb2 ( x)dxf ( x, y)dyDa1 ( x )Y型f (x, y) dxdyd2 ( y)dyf (x, y) dxD

8、c1 ( y)（ 2） 利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧 , 直线段 ) ；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单( 含 ( x2y2 ),为实数 )f ( cos, sin )ddD2 ( ),sin ) ddf ( cos1()0202（ 3） 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当 D 关于 y 轴对称时，（关于 x 轴对称时，有类似结论）0f ( x, y)对于x是奇函数，即 f ( x, y )f ( x, y )I2f ( x, y) dxdy f ( x, y )对于x是偶函数，D 1即 f (x, y)f ( x , y )D1是 D

9、的右半部分计算步骤及注意事项1 画出积分区域2 选择坐标系3 确定积分次序标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5 计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性投影法(1) 利用直角坐标截面法三重积分If ( x, y, z)dv空间立体物的质量质量=密度面积投影f ( x, y, z)dVby2 ( x )z2 ( x,y )dxdyf ( x, y, z)dzay1 ( x )z1( x, y)xr cos（2） 利用柱面坐标yr sinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围

10、:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单； 如 旋转体2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离 . 如 f (x2y2 ) f ( x2z2 )f (x, y, z)d Vbr2 ( )cos ,sin , z) ddz df (ar1 ( )xcosr sincos（3）利用球面坐标ysinr sinsinzr cosdvr 2 sindrd d适用范围 :1积分域 表面用球面坐标表示时方程简单 ; 如，球体，锥体.2被积函数用球面坐标表示时变量易分离 .如， f ( x2y2z2 )2d22 (,)2 sin dId1 (f ( sin cos , sin sin , cos )11,)（4）

11、利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分积分类型第一类曲线积分If (x, y)dsL曲形构件的质量质量=线密度弧长平面第二类曲线积分曲线积分与曲面积分计算方法典型例题参数法（转化为定积分）（ 1） L : y( x)If ( (t), (t ) 2 (t)2 (t )dt（ 2）L :x(t )t)Ibfxyxy2x dx(a( ,()1( )y(t )（ 3） rr ( ) () L :xr ()cosyr ()sinIf ( r ( ) cos,r () sin )r 2 ()r 2 ( )d（ 1） 参数法 （转化为定积分）x(t)(t单调地从到)L :(t)y

12、PdxQdy P ( t),(t)(t ) Q (t), (t) (t) dtL（ 2）利用格林公式 （转化为二重积分）条件： L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） P， Q具有一阶连续偏导数结论：Pdx Qdy( QP)dxdyLxyD满足条件直接应用应用：有瑕点，挖洞不是封闭曲线，添加辅 助线IPdx QdyL变力沿曲线所做的功（3）利用路径无关定理 （特殊路径法）等价条件： QP Pdx Qdy 0xyLPdxQdy 与路径无关，与起点、终点有关L PdxQdy 具有原函数 u( x, y)（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系IPdx Qdy(Pcos

13、Qcos )dsLL（ 1）参数法 （转化为定积分）空间第二类曲线Pdx Qdy Rdz P(t),(t),(t)(t ) Q (t), (t ), ( t) (t )积分R(t),(t),(t )(t )dt（ 2）利用斯托克斯公式 （转化第二类曲面积分）I Pdx Qdy Rdz条件： L 封闭，分段光滑，有向L P， Q，R 具有一阶连续偏导数变力沿曲线所做的功第一类曲面积分If (x, y, z)dv曲面薄片的质量质量=面密度面积Pdx QdyRdzL结论：RQPRQp()dydz (z)dzdx (x)dxdyyzxy满足条件直接应用应用：不是封闭曲线，添加辅 助线投影法： zz(x

14、, y) 投影到 xoy 面If (x, y,z)dvf (x, y, z(x, y) 1 zx2z2ydxdyDxy类似的还有投影到yoz面和 zox 面的公式（1）投影法1Pdydzp( x( y, z), y, z)dydzD yz： zz(x, y) ，为的法向量与x 轴的夹角前侧取“ +”， cos0 ；后侧取“”， cos02Qdzdxp(x, y( x, z), z)dzdxDyz第二类曲面积分： yy(x, z) ，为的法向量与y 轴的夹角右侧取“ +”， cos0 ；左侧取“”， cos03QdxdyQ( x, y, z(x, y)dxdyD yzIPdydz Qdzdx R

15、dxdy xx( y, z)，为的法向量与x 轴的夹角：上侧取“ +”，cos0；下侧取“”， cos0（2）高斯公式右手法则取定的侧流体流向曲面一条件： 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧 P， Q，R 具有一阶连续偏导数侧的流量结论：PdydzQdzdzRdxdy( PQR )xyz满足条件直接应用应用：不是封闭曲面，添加辅 助面（3）两类曲面积分之间的联系Pdydz Qdzdx Rdxdy(PcosQcosRcos )dS转换投影法： dydz(z )dxdy dzdx ( z )dxdyxy所有类型的积分：1 定义：四步法分割、代替、求和、取极限；2 性质：对积分的范围具有可加性，

16、具有线性性；3 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章级数一般项级数常交错数级数项级数正项级数收敛性无幂和穷级级函数数数展成幂级数若级数收敛 ,各项同乘同一常数仍收敛1 两个收敛级数的和差仍收敛2用收敛定义， lim sn注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.存在 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性n34 若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。常数项级数的基本性质推论 如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛 .常数项级数的基本性质5则 lim u n0 （必要条件）如果级数收敛n0莱布尼茨判别法若 unun

17、1 且 lim un0，则(1) n1 u n收敛nn1比较判别法un 和vn 都是正项级数，且unvn . 若vn 收敛，则un 也收敛；若un 发散，则vn 也发散 .u n 和v nu n， 则 若比较判别法都 是正 项 级 数 ， 且 liml1nv n的极限形式0l,u n 与vn同敛或同散2 若l0,收; v n敛 ,u n 也收敛；3 如果l，v n 发散，u n 也发散。比值判别法u n 是正项级数， limun 1, lim n un,则1 时收nu nn根值判别法敛；1 ()时发散；1时可能收敛也可能发散 .a n x n , lima n 1, R1 ,0; R,0; R0 ,.n 0na n缺项级数用比值审敛法求收敛半径s( x) 的性质 在收敛域I 上连续 ;在收敛域 ( R , R ) 内可导，且可逐项求导;和123函数 s( x) 在收敛域 I 上可积分，且可逐项