第八章-多元函数微分学课件

1、2021/3/231 高数课件 教师 丁超 2021/3/232 第八章 多元函数微分法及其应用 开 始 退出 2021/3/233 第一节 多元函数的基本概念 返 回 第二节 偏导数 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导公式 第六节 微分法在几何上的应用 第八节 多元函数的极值及其求法 第七节 方向导数与梯度 第三节 全微分 总习题 2021/3/234 返 回 一.区域 四.多元函数的连续性三.多元函数的极限 二.多元函数概念 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 习题 2021/3/235 第一节 多元函数的基本概念 一、区域 1.邻域 设 是xOy平面上的

2、一个点,是某一 正数.与点 距离小于的点 的全体 称为 的邻域,记为 ,即 也就是 返 回 000 (,)P xy 000 (,)P xy( , )P x y 0 P 0 (, )U P 00 (, )U PP PP 22 000 (, )( , )()()U Px yxxyy 下一页 2021/3/236 2.区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点. 如果存在点P的某一邻域 使 , 则称P为E的内点(图8-1). 如果点集E的点都是内点,则 称E为开集. 如果点P的任一邻域内既有属 P 于E的点，也有不属于E的点， E 则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的

3、图 8-1 任何两点，都可用折线连结起 下一页上一页 ( )U P( )U PE 返 回 2021/3/237 来,而且该折线上的点都属于D, P 则称开集D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域. E 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域. 图 8-2 3.n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组 的全体为n维空间,而每个有序n元数 组 称为n维空间中的一个点,数 称 12 ( ,) n x xx 12 ( ,) n x xx i x 返 回下一页上一页 2021/3/238 为该点的第i个坐标,n维空间记为 . n维空间中两点 及 间 的距离规定为 n 12 ( ,) n P

4、x xx 12 (,) n Q y yy 222 1122 ()()() nn PQyxyxyx 返 回下一页上一页 2021/3/239 二、多元函数概念 定义定义1 1 设设D D是平面上的一个点集是平面上的一个点集. .如果对于如果对于 每个点每个点P=(x,y)D,P=(x,y)D,变量变量z z按照一定法则总有确按照一定法则总有确 定的值和它对应定的值和它对应, ,则称则称z z是变量是变量x x、y y的的二元函数二元函数 ( (或点或点P P的函数的函数),),记为记为 点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z ( ,)()zfx yzfP或 例题 返 回下一页上一页 20

5、21/3/2310 也称为因变量,数集 称为该函数的值域. 把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 .当 n=1时,n元函数就是一元函数.当n2时n元函数 统称为多元函数. . ( , ),( , )z zf x yx yD 12 ( ,) n uf x xx 返 回下一页上一页 2021/3/2311 三、多元函数的极限 二元函数 当 , ,即 时的极限. 这里 表示点 以任何方式趋于 ,也就 是点 与点 间的距离趋于零,即 定义定义2 2 设函数设函数f(x,y)f(x,y)在开区域（或闭区域）在开区域（或闭区域） 内有定义内有定义, , 是是D D的内点或

6、边界点如果对的内点或边界点如果对 于任意给定的正数于任意给定的正数，总存在正数，总存在正数，使得对，使得对 于适合不等式于适合不等式 ( , )zf x y 0 xx 0 yy 000 ( , )(,)P x yP xy 0 PP 0 P 0 P 22 000 = ()()0PPxxyy 000 (,)Pxy P P 返 回下一页上一页 2021/3/2312 的一切点的一切点P(x,y)D,P(x,y)D,都有都有 成立成立, ,则称常则称常A A为函数为函数f(x,y)f(x,y)当当 , , 时时 的极限，记作的极限，记作 或或 这里这里 . . 22 000 0=()()PPxxyy

7、( , )f x yA 0 xx 0 yy 0 lim( , ) xx f x yA ( , )f x yA (0) 0 PP 例题 返 回下一页上一页 2021/3/2313 四、多元函数的连续性 定义定义3 3 设函数设函数f(x,y)f(x,y)在开区域在开区域( (或闭区域或闭区域)D)D 内有定义内有定义, , 是是D D的内点或边界点且的内点或边界点且 . . 如果如果 则称函数则称函数f(x,y)f(x,y)在点在点 连续连续. . 若函数f(x,y)在点 不连续,则称 为 函数f(x,y)的间断点. 函数 0 PD 0 0 00 lim ( , )(,) xx yy f x y

8、f xy 0 P 22 22 22 ,0 ( , ) 0, xy xy xyf x y xy =0 000 (,)P xy 000 (,)P xy 000 (,)P xy 返 回下一页上一页 2021/3/2314 当x0,y0时的极限不存在,所以点(0,0)是该 函数的一个间断点. 函数 在圆周 上没有定义,所以该圆周上各点 都是间断点,是一条曲线. 性质性质1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在有界闭区在有界闭区 域域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和上一定有最大值和 最小值最小值. . 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最 大值而 为最

9、小值，即对于一切PD，有 22 1 sin 1 z xy 22 1xy 1 P 2 P 1 ()f P 2 ()f P 返 回下一页上一页 2021/3/2315 性质性质2(2(介值定理介值定理) ) 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元上的多元 函数函数, ,如果在如果在D D上取得两个不同的函数值上取得两个不同的函数值, ,则它在则它在 D D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数,则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=. *性质性质3(3(一致连续性定理一致连续性定理) ) 在有界闭区域上在有

10、界闭区域上 的多元连续函数必定在的多元连续函数必定在D D上一致连续上一致连续. . 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意 给定的正数，总存在正数，使得对于D上的 21 ()( )()f Pf Pf P 返 回下一页上一页 2021/3/2316 任意二点 ,只要当 时,都有 成立. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. . 由多元初等函数的连续性,如果要求它在点 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内， 则极限值就是函数在该点函数值，即 12 ()()f Pf P 0 P 0 0 lim( )() PP f Pf P 例题 12 ,P P 1

11、2 P P 返 回上一页 2021/3/2317 一.偏导数的定义及其计算方法 二.高阶偏导数 第二节第二节 偏导数偏导数 习题 返 回 2021/3/2318 一、偏导数的定义及其计算方法 定义定义 设函数设函数 在点在点 的某的某 一邻域内有定义一邻域内有定义, ,当当y y固定在固定在 而而x x固定在固定在 处有处有 增量增量x x 时时, ,相应地函数有增量相应地函数有增量 如果如果 （1 1） 存在存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数 在点在点 处对处对x x的偏导数的偏导数 ，记作，记作 ( , )zf x y 00 (,)xy 0 y 0 x 0000 (,)(,)f x

12、x yf xy 0000 0 (,)(,) lim x f xx yf xy x ( , )zf x y 00 (,)xy 返 回下一页 2021/3/2319 例如,极限(1)可以表示为 (2) 类似地,函数函数 在点在点 对对y y的偏导的偏导 数定义为数定义为 0 00 0 00 0,0 ,() xx xx x xx x y y y yy y zf zfx y xx 或 0000 00 0 (,)(,) (,)lim x x f xx yf xy fxy x ( , )zf x y 00 (,)xy 返 回下一页上一页 2021/3/2320 (3) 记作记作 如果函数 在区域D内每一点

13、(x,y) 处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 x、y函数,它就称为函数 对自变量x 的偏导函数,记作 0000 0 (+)(,) lim y f xyyf xy y ， 0 00 0 00 0,0 ,() yx xy x xx x y y y yy y zf zfx y yy 或 ( , )zf x y ( , )zf x y 返 回下一页上一页 2021/3/2321 类似的,可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的 偏导函数,记作 求 时只要把y暂时看作常量对x求导数;求 时只要把暂x时看作常量对y求导数. ,( ,) xx zf zfx y xx 或 ,( ,) yy zf zf

14、x y yy 或 f x f y 例题 返 回下一页上一页 2021/3/2322 图 8-6 x y z 0 x 0 y O 0 M x T y T 0 (, )zf xy 0 ( ,)zf x y 返 回下一页上一页 2021/3/2323 二、高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 那么在D内 都是x,y的函数.如 果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数 z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的 不同下列四个二阶偏导数: 22 2 ( , ),( , ) xxxy zzzz fx yfx y xxxyxx y ( , ),( , ) xy zz fx yfx

15、 y xy ( , )( , ) xy fx yfx y、 22 2 ( , ),( , ) xxxy zzzz fx yfx y xxxyxx y 返 回下一页上一页 2021/3/2324 二元函数z=f(x,y)在点 的偏导数有下 述几何意义. 设 为曲面z=f(x,y)上的一点, 过 作平面 ,截此曲面得一曲线,此曲线 在平面 上的方程为 ,则导数 ,即偏导数 ,就是 这曲线在点 处的切线 对x轴的斜率(见 图8-6).同样偏导数 的几何意义是曲 面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对y轴的斜率. 00 (,)xy 00000 (,(,)Mxyf xy 0 M 0 yy 0 yy 0

16、 ( ,)zf x y 0 0 ( ,) d f x y xxdx 00 (,) x fxy 0 M 0 x M T 00 (,) y fxy 0 xx 0 M 0 x M T 返 回下一页上一页 2021/3/2325 其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 定理定理 如果函数如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏 导数导数 及及 在在D D内连续内连续, ,那么在该区域内那么在该区域内 这两个二阶混合偏导数必相等这两个二阶混合偏导数必相等. . 22 2 ( , ),( ,

17、) xxxy zzzz fx yfx y xxxyxx y 22 2 ( , ),( , ) yxyy zzzz fx yfx y xyy xyyy 2 z y x 2 z x y 例题 例题 返 回上一页 2021/3/2326 第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用 习题 下一页返 回 2021/3/2327 第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用 二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一 个自变量固定时,因变量相对于该自变量的变化 率. 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的 偏增量,而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏 微分. 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内

18、有定 义,并设 为这邻域内的任意一 (, )( , )( , ) x f xx yf x yfx yx ( ,)( , )( , ) y f x yyf x yfx yy (,)P xx yy 下一页上一页返 回 2021/3/2328 点,则称这两点的函数值之差 为函数在点P对应于自变量增量x、y的全增 量,记作z,即 定义定义 如果函数如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)的全增的全增 量量 (1)(1) 可表示为可表示为 (,)( , )f xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y ( )z

19、A xB yo 下一页上一页返 回 2021/3/2329 其中其中A A、B B不依赖于不依赖于xx、yy而仅与而仅与x,yx,y有关有关, , , ,则称函数则称函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y) 可微分可微分, ,而而 称为函数称为函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点 (x,y)(x,y)全微分，记作全微分，记作dz,dz,即即 (2) (2) 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称 这函数在D内可微分. 下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条 件. 定理定理1(1(必要条件必要条件) ) 如果函数如果函数z=f(x,y)z=f(x,

20、y)在点在点 22 ()()xy A xB y dzA xB y 下一页上一页返 回 2021/3/2330 (x,y)(x,y)可微分可微分, ,则该函数在点则该函数在点(x,y)(x,y)的偏导数的偏导数 必定存在必定存在, ,且函数且函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)的全微的全微 分为分为 (3)(3) 证 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是 对于点P的某个邻域内的任意点 ,(2)式总成立.特别当 时(2)式也应成立， 这时 ，所以(2)式成为 z x z y zz dzxy xy (,)P xx yy x 0y 下一页上一页返 回 2021

21、/3/2331 上式两边各除以 ,再令 而极限,就得 从而,偏导数 存在，而且等于A.同样可证 =B.所以三式成立.证毕. (, )( , )()f xx yf x yAxx x0 x 0 (, )( , ) lim x f xx yf x y A x z x z y 下一页上一页返 回 2021/3/2332 定理定理2(2(充分条件充分条件) ) 如果如果z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数的偏导数 在在(x,y)(x,y)连续连续, ,则函数在该点可微分则函数在该点可微分. . 证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定 义的函数(对于偏导数也如此),所以假定偏导数 在点P(x,y)连续

22、,就含有偏导数在该点的某一邻 域内必然存在的意思.设点 为这邻 域内任意一点，考察函数的全增量 zz xy 、 (,)xx yy (,)( , )zf xx yyf x y (,)( ,)f xx yyf x yy 下一页上一页返 回 2021/3/2333 在第一个方括号内的表达式,由于y+y不变,因 而可以看作是x的一元函数 的增量.于 是应用拉格郎日中值定理,得到 又依假设， 在点 连续，所以上式可 写为 (,)( ,)f xx yyf x yy ( ,)( , )f x yyf x y ( ,)f x yy (,)( ,)f xx yyf x yy 11 (,)01 x fxx yyx

23、() ( , ) x fx y ( , )x y 下一页上一页返 回 2021/3/2334 (4) 其中 为x、y的函数,且当 时, . 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 (5) 其中 为y的函数,且当 时， . 由(4)、(5)两式可见，在偏导数连续的假定 下，全增量z可以表示为 (,)( ,)f xx yyf x yy 1 ( , ) x fx yxx 1 0,0 xy 1 0 2 ( ,)( , )( , ) y f x yyf x yfx yyy 2 0y 2 0 下一页上一页返 回 2021/3/2335 容易看出 它就是随着 即 而趋于零 的. 这就证明了z=f(x,y)在点

24、P(x,y)是可微分的. 12 ( , )( , ) xy zfx yxfx yyxy 12 12 xy 0,0 xy 0 例题 上一页返 回 2021/3/2336 第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 返 回下一页 习题 2021/3/2337 第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 定理定理 如果函数如果函数 及及 都在点都在点t t 可导可导, ,函数函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点在对应点(u,v)(u,v)具有连续偏具有连续偏 导数导数, ,则符合函数则符合函数 在在t t可导可导, ,且其且其 导数可用下列公式计算导数可用下列

25、公式计算: : (1)(1) 证 设t获得增量t，这时 、 的对应增量为u 、v,由此，函数z=f(u,v) ( )ut( )vt ( ),( )zftt dzz duz du dtu dtv dt ( )ut( )vt 下一页上一页返 回 2021/3/2338 相应的获得增量z.根据规定,函数z=f(u,v) 在点(u,v)具有连续偏导数,于是由第三节公式 (6)有 这里,当 时， . 将上式两边各除以t，得 因为当 ，时 ， ， 12 zz zuvuv uv 0,0uv 12 0,0 12 zzuzvuv tutvttt 0t 0,0uv udu tdt 下一页上一页返 回 2021/3

26、/2339 ,所以 这就证明符合函数 在点t可导, 且其导数可用公式(1)计算.证毕. 全微分形式不变全微分形式不变 设函数z=f(u.v)具有连续偏导数,则有全微分 vdv tdt 0 lim x zz duz dv tu dtv dt ( ),( )zftt 下一页上一页返 回 2021/3/2340 如果u、v又是x、y的函数 、 且这两个函数也具有连续偏导数,则复合函数 的全微分为 zz dzdudv uv ( , )ux y( , )vx y ( , ),( , )zfx yx y zz dzdxdy xy 下一页上一页返 回 2021/3/2341 其中 及 发分别由公式(4)及(

27、5)给出.把公 式(4)及(5)中的 及 带如上式,得 z x z y z x z x z y zuzvzuzv dzdxdy uxv xuyv y zuuzvv dxdydxdy uxyvxy zz dudv uv 下一页上一页返 回 2021/3/2342 由此可见,无论z是自变量u、v的函数或中间变 量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.这个 性质叫做全微分形式不变性. 上一页返 回 2021/3/2343 一.一个方程的情形 二.方程组的情形 第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 返 回 习题 2021/3/2344 一、一个方程的情况 隐函数存在定理隐函数存在定理1 1

28、设函数设函数 在点在点 的某一邻域内具有连续偏导数的某一邻域内具有连续偏导数, ,且且 , , , ,则方程则方程 在点在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具 有连续导数的函数有连续导数的函数 , ,它满足条件它满足条件 ，并有，并有 （1 1） ( , )F x y 00 (,)P xy 00 (,)0F xy 00 (,)0 y F xy 00 (,)0F xy 00 (,)xy ( )yf x 00 ()yf x x y Fdy dxF 返 回下一页 2021/3/2345 公式推导: 将方程 所确定的函数 代入,得恒等式 其左端可以看作是

29、x的一个复合函数,求这个函 数的全导数,由于恒等式两端求导后仍然恒等， 即得 由于 ，且 ，所以存在 的 00 (,)0F xy( )yf x ( ,( )0F x f x 0 FF dy xy dx y F 00 (,)0 y F xy 00 (,)xy 返 回下一页上一页 2021/3/2346 一个邻域,在这个邻域内 ,于是得 如果 的二阶偏导数也都连续,我们 可以把等式(1)的两端看作x的复合偏导数而再 求一次导，即得 0 y F x y Fdy dxF ( , )F x y 2 2 xx yy FFd ydy dxxFyFdx 返 回下一页上一页 2021/3/2347 隐函数存在定

30、理可以判定由方程 所确定的二元函数 的存在,以及这个 函数的性质。 隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内具有连续的偏导数的某一邻域内具有连续的偏导数, , 22 xxyyxxxyyyyx x yyy F FF FF FF F F FFF 22 3 2 xxyxyxyyyx y F FF F FF F F ( , , )0F x y z ( , )zf x y ( , , )0F x y z 000 ( ,)P x y z 返 回下一页上一页 2021/3/2348 且且 , ,则方程则方程 在点在点 的某一邻域内恒能的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具

31、有连续偏导数的函唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函 数数 , ,它满足条件它满足条件 , ,并并 有有 (2) 将公式(2)做如下的推导，由于 将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求 导 000000 (,)0,(,)0 x F xyzF xyz ( , , )0F x y z 000 (,)x y z ( , )zf x y 000 (,)zf x y , y x zz F Fzz xFyF ( , ,( , )0F x y f x y 返 回下一页上一页 2021/3/2349 法则得 因为 连续,且 ,所以存在点 的一个邻域,在这个邻域内 ， 于是得 0,0 xzyz zz F

32、FFF xy z F 000 (,)0 z F xyz 000 (,)xyz 0 z F , y x zz F Fzz xFyF 返 回下一页上一页 2021/3/2350 二、方程组的情况 考虑方程组 (5) 在四个变量中,一般只能有两个变量独立化, 因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数.这 种情形下我们可以由函数F、G的性质来断定方 程组(5)所确定的两个二元函数的存在,以及它 们的性质. ( , , , )0 ( , , , )0 F x y u v G x y u v 返 回下一页上一页 2021/3/2351 隐函数存在定理隐函数存在定理3 3 设设 以及以及 在点在点 的某一邻

33、域内的某一邻域内 具有对各个变量的连续偏导数具有对各个变量的连续偏导数, ,又又 、 , ,且且 偏导数所组成的函数行列式偏导数所组成的函数行列式 ( (或称雅可比或称雅可比 (Jacobi)(Jacobi)行列式行列式):): ( , , , )F x y u v ( , , , )G x y u v 0000 (,)P xy u v 0000 (,)0F xy u v 0000 (,)0G xy u v (,) ( , ) FF F G uv J GGu v uv 返 回下一页上一页 2021/3/2352 在点在点 不等于零不等于零, ,则方程组则方程组 、 在点在点 的某一邻域内恒能唯

34、一确定一组的某一邻域内恒能唯一确定一组 单值连续且具有连续偏导数的函数单值连续且具有连续偏导数的函数 , , , ,它们满足条件它们满足条件 ， ，并有，并有 0000 (,)P xy u v 0000 (,)0F xy u v 0000 (,)0G xy u v 0000 (,)xy u v ( , )uu x y ( , )vv x y 000 (,)uu xy 000 (,)vv xy 1(,) ( , ) xv xv uv uv FF GGuF G FFxJx u GG 返 回下一页上一页 2021/3/2353 (6) 1(,) ( , ) ux ux uv uv FF GGuF G

35、 FFxJu x GG 1(,) ( , ) yv yv uv uv FF GG uF G FFyJy v GG 返 回下一页上一页 2021/3/2354 下面仅就公式(6)做如下推导. 由于 1( ,) ( , ) uy uy uv uv FF GG uF G FFyJu y GG , , ( , ), ( , )0F x y u x y v x y , , ( , ), ( , )0G x y u x y v x y 返 回下一页上一页 2021/3/2355 将恒等式两边分别对x求导,应用复合函数求导 法则得 这是关于 的线性方程组,由假设可知在 点 的一个邻域,系数行列式 0 0 x

36、uv xuv uv FFF xx uv GGG xx , uv xx 0000 (,)P xy u v 0 uv uv FF J GG 返 回下一页上一页 2021/3/2356 从而可解出 ,得 同理,可得 , uv xx 1( ,)1( ,) , ( , )( , ) uF GvF G xJx vxJu x 1( ,)1( ,) , ( , )( , ) uF GvF G yJy vyJu y 返 回上一页 2021/3/2357 一.空间曲线的切线与法平面 二.曲面的切平面与法线 第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 返 回 习题 2021/3/2358 一、空间曲线的

37、切线与法平面 设空间曲线的参数方程 (1) 这里假定(1)式的三个函数都可导. 在曲线上取对应与 的一点 及对应于 的邻近一点 .根据解析几何, 曲线的割线 的方程是 ( ),( ),( )xtytzt 0 tt 000 (,)M xyz 0 ttt 000 (,)M xx yy zz MM 000 xxyyzz xyz 返 回下一页 2021/3/2359 当 沿着趋于 ,时割线 的极限位 置 就是曲线在点 处的切线(图8-7). 用t除上式的各分母,得 令 (这t0), 通过对上式取极限，即得 图 8-7 曲线在点 处的切线方程 MMM MTM z M M M M 000 xxyyzz x

38、yz ttt z x y M T M O 返 回下一页上一页 2021/3/2360 这里当要假定 都不能为 零. 切线的方向向量称为曲线的切向量.向量 就是曲线通过在点 处的一个切向量. 点通过 而与切线垂直的平面称为曲线在 000 000 ( )( )( ) xxyyzz ttt z 000 ( )( )( )ttt、 000 ( ),( ),( )Tttt M M 返 回下一页上一页 2021/3/2361 点 处的法平面,它是通过点 而 以T为法向量的平面,因此这法平面的方程为 z M 000 (,)M xyz 000000 ( )()( )()( )()0txxtyytzz 返 回下

39、一页上一页 2021/3/2362 二、曲面的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 的情形,然后把显式给出的曲面方程z=f(x,y) 作为它的特殊情形. 设曲面由方程(9)给出, 是曲 面上的一点,并设函数 的偏导数 在该点连续且不同时为零.在曲线上，通过点 M引一条曲线(图8-8)，假定曲线的参数方 程为 z ( , , )0F x y z 000 (,)M xyz ( , , )F x y z 返 回下一页上一页 2021/3/2363 程为 (10) 对应于点 且 , , 不全为 零,则由(2)式可得这 曲线的切线方程为 图 8-8 ( ),( ),( )xtytzt z z x

40、yO M T n 0 tt 000 (,)M xyz 0 ( )t 0 ( )t 0 ( )t 000 000 ( )( )( ) xxyyzz ttt 返 回下一页上一页 2021/3/2364 引入向量 则 表示(10)在点M处的切向量 z 000000000 (,),(,),(,) xyz F xyzF xyzF xyz 0000000 (,)( )(,)( ) xy F xy ztF xy zt 000 (,)( )0 z F xy zt 0 ( ),( ),( )Tttt 返 回下一页上一页 2021/3/2365 与向量n垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点M的 任意一条曲线,它们

41、在点M的切线都与同一个向 量n垂直,所以曲面上通过点M的一切曲线在点M 的切线都在同一个平面上.这个平面称为曲面 在点M的切平面.这切平面的方程是 (12) 通过点 而垂直于切平面(12)的 直线称为曲面在该点的法线.法线方程是 z 00000000 (,)()(,)() xy F xyzxxF xyzyy 0000 (,)()0 z F xyzzz 000 (,)M xyz 返 回下一页上一页 2021/3/2366 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向 量. 向量 就是曲面在点M处的一个法向量. z 000 000000000 ()()() (,)(,)(,) xyz xxyyzz F

42、xyzF xyzF xyz 000000000 (,),(,),(,) xyz F xyzF xyzF xyz 返 回上一页 2021/3/2367 一.方向导数 二.梯度 第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度 返 回 习题 2021/3/2368 第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 设函数z=f(x,y)在P(x,y)的某一邻域U(P)内 有定义.自点P引射线.设x轴正向到射线 的 转角为 ,并设 为 上的另 一点(图8-9)且 .我们考虑函数的增 量 与 两点间 的距离 的比值 .当 沿着 趋于 时,如果这个比的极限存在,则称这极 ll (,)P xx yyl ( )PU P (,

43、)( , )f xx yyf x yP P 、 22 ()()xy P l P 返 回下一页 2021/3/2369 限为函数f(x,y)在点P沿 方向 的方向导数,记 作 ,即 图 8-9 l y O x y P x P l f l 0 (,)( , ) lim ff xx yyf x y l 返 回下一页上一页 2021/3/2370 定理定理 如果函数如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点P(x,y)P(x,y)是可微是可微 分的分的, ,那么函数在该点沿任一方向的导数都存那么函数在该点沿任一方向的导数都存 在且有在且有 其中其中 为为x x轴到方向轴到方向 的转角的转角. .

44、 证证 根据函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微 分的假定,函数的增量可以表达为 cossin fff lxy l (,)( , )( ) ff f xx yyf x yxyo xy 返 回下一页上一页 2021/3/2371 两边各除以 ,得到 所以 (,)( , )f xx yyf x y ( )fxfyo xy ( ) cossin ffo xy 返 回下一页上一页 2021/3/2372 这就证明了方向导数存在且其值为 0 (,)( , ) lim f xx yyf x y cossin ff xy cossin fff lxy 返 回下一页上一页 2021/3/2373 对于三

45、元函数u=f(x,y,z)来说,它在空间一 点P(x,y,z)沿着 (设方向 的方向为 )的方向导数,同样可以定义为 其中 , 同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可 微分，那么函数在该点沿着方向 的方向导数 ll、 、 0 (,)( , , ) lim ff xx yy zzf x y z l 222 ()()()xyz cos ,x cos,cos .yz l 返 回下一页上一页 2021/3/2374 为 coscoscos ffff lxyz 返 回下一页上一页 2021/3/2375 二、梯度 在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面 区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点

46、P(x,y)D,都可以定出一个向量 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度， 记作 ，即 ff ij xy grad ( , )f x y grad ( , ) ff f x yij xy 返 回下一页上一页 2021/3/2376 函数在某点的梯度是这样一个向量,它的 方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的 模为方向导数的最大值. 由梯度的定义可知,梯度的模为 一般来说二元函数z=f(x,y)在几何上表示一 个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的 曲线L的方程为 2 2 grad ( , ) ff f x y xy 返 回下一页上一页 2021/3/2377 这条曲线

47、 在xOy面 的投影是一条平面曲 线 (图8-10),它 在xOy平面直角坐标 系中的方程为 图 8-10 ( , )zf x y zc y O x grad ( , )f x y 1 ( , )f x yc ( , )f x yc 2 ( , )f x yc * L L * L ( , )f x yc 返 回下一页上一页 2021/3/2378 对于曲线 上的一切点,已给函数的函数值都 是c,所以我们称平面曲线 为函数z=f(x,y)的 等高线. 由于等高线f(x,y)=c上任一点P(x,y)处的 法线斜率为 所以梯度 * L 11 x y x y f dy f f dx f * L ff

48、ij xy 返 回下一页上一页 2021/3/2379 为等高线上点P处的法向量.因此我们可得梯度 与等高线的下述关系:函数z=f(x,y)在点P(x,y) 的梯度方向与过点P的等高线f(x,y)=c在这点的 法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线 指向数值较高的等高线,而梯度的模等于函数 在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是 方向导数取得最大值的方向. 对于三元函数来说,函数u=f(x,y,z)在空 间区域G内具有一阶连续偏导数，则对每一点 ，都可定出一个向量( , , )P x y zG 返 回下一页上一页 2021/3/2380 这向量称为函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,

49、z)的梯 度,将它记作 ,即 如果我们引进曲面 fff ijk xyz grad ( , , )f x y z grad ( , ) fff f x yijk xyz ( , , )f x y zc 返 回下一页上一页 2021/3/2381 为函数u=f(x,y,z)的等量面的概念,则可得函 数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度的方向与过 点P的等量面f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方 向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高 的等量面,而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数. 返 回上一页 2021/3/2382 一.多元函数的极值及最大值、最小值 二.条件极值 第

50、八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 返 回 习题 2021/3/2383 第八节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义定义 设函数设函数 在点在点 的的 某个邻域内有定义某个邻域内有定义, ,对于该邻域内异于对于该邻域内异于 的点的点 : :如果都适合不等式如果都适合不等式 则称函数在点则称函数在点 有有极大值极大值 ; ;如如 果都适合不等式果都适合不等式 ( , )zf x y 00 (,)xy 00 (,)xy ( , )x y 00 ( , )(,)f x yf xy 00 (,)xy 00 (,)f xy 返 回下一页 2021/3/

51、2384 则称函数在点则称函数在点 有有极小值极小值 . .极大极大 值、极小值统称为值、极小值统称为极值极值. .使函数取得极值的点称使函数取得极值的点称 为为极值点极值点. . 以上关于二元函数的极值概念,可推广到n 元函数.设n元函数 在点 的某一邻 域内有定义,如果对于该邻域内有异于 的任 何点 都不适合不等式 00 ( , )(,)f x yf xy 00 (,)xy 00 (,)f xy ( )uf P 0 P 0 P P 返 回下一页上一页 2021/3/2385 则称函数 在点 有极大值(极小值) . 定理定理1(1(必要条件必要条件) ) 设函数设函数 在在 点点 具有偏导数

52、具有偏导数, ,且在点且在点 处有极处有极 值值, ,则它在该点的偏导数必然为零则它在该点的偏导数必然为零: : 证证 不妨设 在点 处 有极大值.依极大值的定义,在 的某邻 00 ( )()( ( )()f Pf Pf Pf P ( )f P 0 P 0 ()f P ( , )zf x y 00 (,)xy 00 (,)xy 0000 (,)0,(,)0 xy fxyfxy ( , )zf x y 00 (,)xy 00 (,)xy 返 回下一页上一页 2021/3/2386 域内异于 的点 都适合不等式 特殊地,该邻域内取 而 的点,也 应合适不等式 这表明一元函数 在 处取得极大 值,因

53、而必有 ( , )x y 00 (,)xy 00 ( , )(,)f x yf xy 0 yy 0 xx 000 ( ,)(,)f x yf xy 0 ( ,)f x y 0 xx 00 (,)0 x fxy 返 回下一页上一页 2021/3/2387 类似地可证 如果三元函数 在点 具有偏导数,则它在点 具有极值的 必要条件为 定理定理2(2(充分条件充分条件) ) 设函数设函数 在在 00 (,)0 y fxy ( , , )uf x y z 000 (,)xyz 000 (,)xyz 000000000 (,)0,(,)0,(,)0 xyz fxyzfxyzfxyz ( , )zf x

54、y 返 回下一页上一页 2021/3/2388 点点 的某邻域内连续且具有的某邻域内连续且具有 一阶及二阶一阶及二阶 连续偏导数连续偏导数, ,又又 , , , ,令令 则则 在在 处是否取得极值的条件如处是否取得极值的条件如 下下: : (1) (1) 时具有极值，且当时具有极值，且当 时有极大值，当时有极大值，当 时有极小值时有极小值; ; (2) (2) 时没有极值时没有极值; ; (3) (3) 时可能有极值，也可能没时可能有极值，也可能没 00 (,)xy 00 (,)0 x fxy 00 (,)0 y fxy 000000 (,),(,),(,) xxxyyy fxyAfxyBfx

55、yC ( , )f x y 00 (,)xy 2 0ACB0A 0A 2 0ACB 2 0ACB 返 回下一页上一页 2021/3/2389 有极值有极值, ,还需另作讨论还需另作讨论. . 二阶连续偏导数的函数 的极值 的求法叙述如下: 第一步 解方程组 求得一切实数解,即可求得一切驻点. 第二步 对于每一个驻点 ,求出 二阶偏导数的值 和 . 第三步 定出 的符号，按定理2的 ( , )zf x y ( , )0,( , )0 xy fx yfx y 00 (,)xy AB、C 2 ACB 返 回下一页上一页 2021/3/2390 结论判定 是否是极值、是极大值还是极 小值. 0 ( ,

56、)f x y 返 回下一页上一页 2021/3/2391 二、条件极值 拉格朗日乘数法 上面所讨论的极值问题,对于函数的自变 量,除了限制在函数的定义域以外,并无其他 条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问 题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条 件的极值问题. 例如，求表面积为 而体积为最大的长方 体的体积问题.设长方体的三棱的长为 还必须满足附加条件 .象这 种对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 2 a , ,x y z 2 2()xyyzxza 返 回下一页上一页 2021/3/2392 对于有些实际问题,可以把条件极值化为 无条件极值,然后利用第一目中的方法加以解 决.例如上

57、述问题,可由条件 ，将z表示成x,y的函数 再把它代入 中，于是问题就化为求 2 2 2() axy z xy Vxyz 2 2()xyyzxza 2 2 22() xyaxy V xy 返 回下一页上一页 2021/3/2393 的无条件极值. 但在很多情形下,将条件极值化为无条件 极值并不这样简单.我们另有一种直接寻求条件 极值的方法,可以不必先把问题化到无条件极 值的问题. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数 在附加条件 下的可能极值点,可以 先构成辅助函数 其中 为某一常数.求其对x与y的一阶偏导数， ( , )zf x y ( , )0 x y ( , )( , )( , )F

58、x yf x yx y 返 回下一页上一页 2021/3/2394 并使之为零,然后与方程 联立起来: 由这方程组解出 及 ,则其中 就是函 数 在附加条件 下的可能极值 点的坐标. ( , )0 x y ( , )( , )0 ( , )( , )0 ( , )0 xx yy fx yx y fx yx y x y ( , )f x y ( , )0 x y , x y, x y 返 回下一页上一页 2021/3/2395 第八章结束第八章结束 上一页返 回 2021/3/2396 总习题总习题 八八 1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中选 择一个正 确的填入下列空格内: （1） 在点

59、可微分是 在该点连续的 充分 条件. 在点 连续是 在该点可微分的 必要 条件. （2） 在点 的偏导数 及 存在是 在该点可微分的 必要 ( ,)f x y 下一页返 回 ( ,)x y( ,)f x y ( ,)f x y( ,)x y ( ,)f x y ( ,)zf x y( ,)x y z x z y ( ,)f x y 2021/3/2397 条件. 在点 可微分是函数在 该点的偏导数 及 存在的 充分 条件. （3） 的偏导数 及 在点 存在且连续是 在该点可微分的 充分 条件. （4）函数 的两个二阶混合偏导 数 及 在区域D内连续是这两个二阶 下一页返 回 ( ,)zf x

60、y( ,)x y z x z y 上一页 ( ,)zf x y z x z y ( ,)x y( ,)f x y ( ,)zf x y 2 z x y 2 z y x 2021/3/2398 混合偏导数在D内相等的 充分 条件. 2.求函数 的定义 域,并求 . 3.证明极限 不存在. 下一页返 回上一页 1 2 0 lim( ,) x y f x y 2 22 4 ( ,) ln(1) xy f x y xy 2 24 0 0 lim x y xy xy 题解 题解 2021/3/2399 4.设 求 及 . 5.求下列函数的一阶和二阶偏导数: 下一页返 回上一页 2 22 22 22 ,0