量子力学考试题

1、量子力学考试题(共五题，每题20分)1、扼要说明：(a)束缚定态的主要性质。(b)单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。2、设力学量算符(厄米算符)F, G不对易，令K=i (FG-GF), 试证明：(a) K的本征值是实数。(b)对于F的任何本征态 )，K的平均值为0。(C)在任何态中F2 +G2 K3、自旋/2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用，已知其能量算符为H? H = Sz + v Sx(，丫 0, ? Y )(a)求能级的精确值。(b)视Y sx项为微扰，用微扰论公式求能级。4、质量为m的粒子在无限深势阱(0x0222_0,即 F +G K3、(a) , (b)

2、各 10 分 100 1(a) H= Sz + v Sx = 2 01 + 2 v 1 0=2aH =E ,= b，令 E= a ,则ab =0, II = 2- 2- 2=0Ei = - 22E2= 2 v2(1+ 2)1,22(1+2 22Ei - 2 + 2 )E=2(b) H = Sz + y Sx = H 0+ H , H 0=Sz , H = y Sx1jIH0本征值为 2，取曰()=-3,e()=3012(。)= 0相当本征函数(Sz表象)为1(0)= 1, 则H之矩阵兀(Sz表象)为E1=E1(0)E2=E2(0)4、E1 =aPx = -iH 11=0,2H 21(0)(0)

3、+ H 11+ E1 E2,2H 12(0)+ H 22 + E2222ma22xdxd1 dx（0）E1xPx =-iH 22 =0 ,1=-21(x) =a2 xsin0x .dxa1dx-i1 一H 12 = H 21 = 212 24+0-1-22sin x0,x2，d(-sin )2 ad1xdx1dxa。xd(sin2 ) a1 -xsin a0.0xsin - d(sin ). 2 x . .sin dxaiha=0+ 2 0四项各5分5、(i), (ii)12 dx各10分（i） s=0,为玻色子，体系波函数应交换对称。(ri,有:a(1)a(r2),b(n) b(2)c(r1

4、)c(r2)a(r1) b(2)b(r1)a（2）共6种。(ii)1 a 0s=单粒子态共1001任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如a(ri)1b(12)c0 2a（1） b（2）- b（1）1b(11)c0 11a(2) 0a （2）八2体系态共有C615种或：a, b,c三种轨道态任取两个，可构成一种轨道对称态1 2a（r1）b（r2） +b（r1）a（ r2 ）及 一i 种反对称态1五 a（1）b（r2）- b（1）a（r2）,前者应与自旋单态X。相乘,而构成体 系反对称态，共3种。后者应与自旋三重态X11, X10 , X1-1相乘而构 成体系反对称态，共3 3=9种。但轨道对称

5、态还有a（1）a（2）型，共 3 种型,各与自旋单态配合,共3种体系态，故体系态共3+3+9= 15种。量子力学习题第一章绪论1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 与温度T成反比，即mT=b （常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。1.2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。1.3 氮原子的动能是E=3kT/2 （k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氮原子的 德布罗意波长。1.4 利用玻尔一索末菲的量子化条件，求：（1） 一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子Mb=9X10

6、-24焦耳/特斯拉，试计算动能 的量子化间隔 E,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相 等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章波函数和薛定调方程2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度：(1) i=ekr/r,(2) 2=e-ik17r.从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球 面波。2.2 一粒子在一维势场,x 0U(x) 0,0 x a,x a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2.4 一粒子在一维势阱U(x)5 0,0,

7、中运动，求束缚态(0EU0)的能级所满足的方程。一一 一 一一一 一 一 、- -2 一2.5 对于一维无限深势阱(0xa)中的定态n(x),求x、x和x,并与经典 力学结果比较。2.6 粒子在势场,x 0V(x)V0,0 x a0,a x中运动，求存在束缚态(E0)的条件(,m, a, V。关系)以及能级方程。12.7 求二维各向同性谐振子V=2k(x2+y2)的能级，并讨论各能级的简并度2.8 粒子束以动能E= 2k2m从左方入射，遇势垒求反射系数、透射系数V(x)0,V0,EV0情形分别讨论H?2.9质量为m的粒子只能沿圆环(半径R)运动，能量算符 为旋转角。求能级(En)及归一化本征波

8、函数2 d22mR2 d 2n(),讨论各能级的简并度第三章基本原理(x)t1e 2 23.1 维谐振子处在基态U(1)势能的平均值T(2)动能的平均值 (3)动量的几率分布函数。3.2 设t=0时，粒子的状态为1 (x)=Asin2kx+ 2 coskx,求此时粒子的平均动量和平均动能。3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数(x)=Ax(a-x) 描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。3.4 证明：如归一化的波函数(x)是实函数，则=i /2;如=(r)(与,无关)，则 = 3/2 。3.5 计算对易式x, Ly, pz, Lx,并写

9、出类似的下标轮换式(x y, y乙z x)。3.6 证明算符关系r L L r 2i rp L L p 2i p3.7 设F为非厄米算符(F+ F),证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄 米算符。求A、B与F、F+之关系。13.8 一维谐振子(V1=2kx2)处于基态。设势场突然变成 V2=kx2,即弹性力增 大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。3.9 有线性算符L、M、K, L, M=1, K=LM。K的本征函数、本征信记为 n、n (n=1,2,.)。证明：如函数M n及L n存在，则它们也是K的本征函数， 本征值为(n 1)。23.10 证明：如H=

10、 p /2m+V(r),则对于任何束缚态=0。23.11 粒子在均匀电场中运动，已知 H= p /2m-q x。设t=0时x=0, px=p0,求又，px(t)0一23.12 粒子在均匀磁场B=(0, 0, B)中运动，已知 H= p /2m Lz, =qB/2mCo设 t=0 时 p =(p0, 0, 0),求 t0时P。3.13 粒子在势场V(r)中运动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则 束缚态能级下降。第四章中心力场4.1证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer=Je =0,e m ，3(r, , )R21(r)Y10(,)二 R21(r)Y11(,), 2求

11、氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和 这些力学量的平均值。4.4利用测不准关系估计氢原子的基态能量。4.5对于类氢离子的基态100,求概然半径(最可几半径)及r, r2。4.6对于类氢离子的nlm态，证明1= 2 = En0-；nlmJe =rsin 04.2由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的 (1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为meMz丁(SI)me(CGS)2 c原子磁矩与角动量之比为eMz2- (SI)Lz上(CGS)2 c这个比值，称为回转磁比率。4.3设氢原子处于状态4.7对于类氢离子的基态100,计算x, px,验证

12、不确定关系x Px /2。（原子核及内层电子）的1n的修正数公式。提示:,计算（l 1）之值，。4.8单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实 库仑作用势可以近似表示成2 e V（r）一 r试求价电子能级。与氢原子能级比较,将V（r）中第二项与离心势合并，记成2e a002，r列出主量子数2_21 (11) /2 r第五章表象理论5.1 设n, k是厄米算符H?的本征态矢，相应于不同的本征值。算符F?与H?对易。证明 k F n=0o5.2 质量为 的粒子在势场 V（x）中作一维运动，设能级是离散的。证明能量 表象中求和规则2（为实数）(En Ek)|(nei xk)nx、5.3 对于一维谐振

13、子的能量本征态 n,利用升、降算符计算T、V、P。5.4 设J为角动量，n为常矢量，证明J ,n J =i n x J5.5 对于角动量J的jm态（J2, Jz共同本征态），计算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平 均值，以及Jx、 Jyo5.6 设n （单位矢量）与z轴的夹角为，对于角动量J的jm）态，计算Jn（即n J的平均值）。5.7 以1m）表示L2, Lz共同本征态矢。在l=1子空间中，取基矢为11,10,1 1,建立L2, Lz表象。试写出Lx及Ly的矩阵表示（3阶），并求其本征值及本征态矢（取 =1）*5.8对于谐振子相干态a!=，,为实数)，计算n， n，E， E,x, x, p,

14、p 0第六章微扰理论6.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为ro,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。6.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子在均匀电场 中，如果电场较小， 用微扰法求转子基态能量的二级修正。6.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02,现在受到微扰H?的作用。微扰矩阵元为Hi2=H2i=a, Hii=H22=b; a, b都是实数。用微扰公式求能 量至二级修正值。6.4 电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场 作用，设电场沿正x方向：(1)用微扰法求能量至二级修正；(2)求能量的准确值，并和(1)所得结果比较。6.5 设在t=0时，氢

15、原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为sin t,及 均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。6.6 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降， 即Q t 0;t70et 00求经过长时间后氢原子处在2P态的几率。6.7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。6.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。6.9 粒子(质量)在无限深势阱0x0)中作一维运动。试用变分法求基态能量近似值。建议取试探波函数(，r)=Aexp( 2r2)。6.12 某量子力学体系处于基态1(x)。t0后

16、受到微扰作用，H X,t)=F(x)e t/ ,试证明:长时间后(t)该体系处于激发态n(X)的几率为Fn12_ 222/(En日)/ 第七章自旋7.17.2求在自旋态l(Sz)2中,SX和区的测不准关系:Sx 2Sy 27.37.4求* a；求自旋角动量在及(coscosg Sx cosi0的本征值和所属的本征函数。cos )方向的投影S cos S cos的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量 Sz有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？邑的平均值是多少？7.5 设氢原子的状态是1-R2i(r)Y1i(,)23 R21(r)Yo(,)2(1)求轨道角动量z分量LZ和自旋角动量z分量Sz的平均值;(2)求总磁矩M?12(SI)的z分量的平均值(用玻尔磁子表示)。27.6 求电子的总角动量算符J , Jz的共同本征函数。7.7 在Sz表象中，证明ei z7.8 对于电子的L, S, J ,证明（取1)(2S L1)2J2（7.9 电子的总磁矩算符是J)(1)14J2e21Tlec(L 2S)对于电子角动量的l j j态（mj/计算z的平均值（结果用量子数j表示出来）。第八章多粒子体系8.1 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有 两个可能的