材料力学截面的几何性质1PPT学习教案

1、会计学1 材料力学截面的几何性质材料力学截面的几何性质1PPT课件课件 截面几何性质：截面几何性质： 与截面形状和尺寸有关的几何量。与截面形状和尺寸有关的几何量。 拉伸： 扭转： 第1页/共45页 n静矩和形心 n惯性矩和惯性半径 n惯性积 n平行移轴公式 n转轴公式主惯性轴 y z o 第2页/共45页 y z o A dA z y C C y C z z y A A SydA SzdA 1. 1. 静矩静矩( (一次矩一次矩) ) 2. 2. 形心形心 z y A C A C ydA S y AA zdA S z AA z y C C SyA SzA 第3页/共45页 结论：结论： 1、

2、Sz = 0 z 轴是形心轴轴是形心轴 2、对称轴必定是形心轴、对称轴必定是形心轴 zC yC SyA SzA C y z dA y z z o y z -y dA 第4页/共45页 1 1 z y n ii i n ii i SA y SA z 1 1 1 1 z y n ii i Cn i i n ii i Cn i i Ay S y A A A z S z A A dA y z z o y A1 A2 An z A y A SydA SzdA 静矩静矩 12 z . n AAAA SydAydA 12zzz . n SSS (yi,zi) 第5页/共45页 试求图示曲线试求图示曲线 下的

3、面积下的面积OAB对于对于y轴的轴的 静矩静矩Sy和形心位置和形心位置xc n b x hy x y A o b h n b x hy Bxdx dA C x c 解：解： 1 00 n bh dxx b h ydxdAA n b n b A 2 2 1 00 n hb dxx b h xydxxdAS n b n b A y b n n A S x y c 2 1 第6页/共45页 1 n bh A b n n xc 2 1 面积面积 形心形心 C xc b h 2 bh A bx c 3 2 三角形三角形 C xc b hbhA bx c 2 1 矩形矩形 C xc b h 3 bh A

4、bx c 4 3 二次抛物线二次抛物线 C xc b h 4 bh A bx c 5 4 三次抛物线三次抛物线 C xc b h 3 2bh A bx c 8 5 二次抛物线二次抛物线 n bxhy/ 第7页/共45页 b xc2 C2 xc h C n i i n i cii c A xA x 1 1 C1 xc1 x y o 21 2211 AA xAxA cc b bh bh bbhb bh 8 5 3 432 第8页/共45页 A z A y dAyI dAzI 2 2 1. 惯性矩（二次轴矩）惯性矩（二次轴矩） 惯性矩恒为正值惯性矩恒为正值 2. 惯性半径惯性半径 2 2 zz yy

5、 iAI iAI A I i y y A I i z z dA y z z o y A 第9页/共45页 dA y z z o y A p dAI 2 pyz III 截面对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之截面对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之 和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。 A z A y dAyI dAzI 2 2 第10页/共45页 试计算图示矩试计算图示矩 形对其对称轴的惯性矩。形对其对称轴的惯性矩。 2 2 12 3 2 2 h h bh bdzz dAzI A y Cy z b h z dz 解：解： 12 3 hb I z 第11页/共45页 【

6、例题例题 3】试计算图示试计算图示 圆形对其形心轴的惯性圆形对其形心轴的惯性 矩和极惯性矩。矩和极惯性矩。 2 0 4 2 2 32 2 D D d dAI A p 解：解： 642 4 DI II p zy y z D C zyp III d 第12页/共45页 n i pip n i ziz n i yiy II II II 1 1 1 dA y z z o y A1 A2 An A z A y dAyI dAzI 2 2 A p dAI 2 第13页/共45页 y z D d C 6464 44 dD II zy 3232 44 dD I p 【例题例题 4】试计算图示圆环对其形心轴的惯

7、性试计算图示圆环对其形心轴的惯性 矩和极惯性矩。矩和极惯性矩。 能否用同样的办法 计算抗扭截面系数 ？ 第14页/共45页 A yz yzdAI 惯性积可正、可负、可为零惯性积可正、可负、可为零 dA y z z o y A 第15页/共45页 A yz yzdAI dA y z z o y z -y dA 第16页/共45页 已知已知 ： cccc zyzy III ba 求：求： yzzy III ( a 和和 b 是截面的形心是截面的形心 在在 oyz 坐标系中的坐标坐标系中的坐标 ) C y z o a b y c z c 第17页/共45页 azz byy c c AaI AaSaI

8、 dAadAzadAz dAaz dAzI c cc y yy AA c A c A c A y 2 2 22 2 2 2 2 )( 0 c y S 其中其中 ： dA C y z o z z c a y y c b y c z c 第18页/共45页 在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小 。 2 22 () occ pyzpp IIIIabAIOC A dA C y z o z z c a y y c b y c z c 第19页/共45页 已知：已知： 12 3 bh I c y 解：解： Cyc z c b h y 求：求： y I

9、 3212 3 2 3 2 bh bh hbh AaII c yy 第20页/共45页 解：解： 1、确定整个截、确定整个截 面的形心位置面的形心位置 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o 第21页/共45页 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o c c1 c2 （yc， zc ） 1 1 1 2670 .5 1 27 3 .9 7 n ic i i cn i i A z z A c m 1 1 1 20 .574 .5 1 27 1 .9 7 n ic i i cn i i A y y A c m 计算形心坐标： 第22页/共45页 8 cm 12 cm 1

10、cm 1 cm z y o zc yc c c1 c2 zc yc a1 a2 b1 b2 a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53 b2 = -3.47 计算形心坐标系中 各部分形心坐标： 3 .9 7 c zc m 1 .9 7 c yc m 第23页/共45页 2、计算对形心、计算对形心 轴惯性矩和惯性轴惯性矩和惯性 积积 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o zc yc c c1 c2 a1 a2 b1 b2 a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53 b2 = -3.47 4 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 279 747

11、3 12 17 12032 12 121 2 1 cm AbI AbII c cc y yy ).( . 11 22 1 11 222 4 97 c ccc cc y zyz yz IIa b A Ia b A cm 第24页/共45页 4 4 4 97 100 279 cmI cmI cmI cc c c zy z y 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o zc yc c 第25页/共45页 已知已知 ： yzzy III 求：求： 1111 zyzy III dA y z o z z1 y y1 y1 z1 第26页/共45页 sincos sincos yzz zyy 1

12、 1 22 22 2 2 22 2222 2 2 1 1 sincos sinsincos cossinsincos )sincos( yz zyzy yzzy AAA A A y I IIII III yzdAdAydAz dAyz dAzI dA y z o z z1 y y 1 y 1 z1 第27页/共45页 11 2 zy II 2cos2sin 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 11 1 1 yz zy zy yz zyzy z yz zyzy y I II I I IIII I I IIII I 1 1 1 1 0 90 y zyz y zyz II II dA

13、 y z o z z 1 y y 1 y 1 z 1 第28页/共45页 定义：若截面对某对坐标 轴的惯性积等于零，则这 对坐标轴称为主惯性轴， 简称为主轴。 即：若即：若0 00 zy I，则，则 y0 , z0 是主轴。是主轴。 022 2 00 00 cossin yz zy zy I II I令：令： 得：得： zy yz II I tg 2 2 0 可确定一对主轴可确定一对主轴y0 , z0的方位的方位 dA y z o z z1 y y 1 y 1 z1 第29页/共45页 22 2 22 22 11 1 cossin sincos yz zy zy yz zyzy y I II

14、I I IIII I 令：令： 0 1 d dI y 得：得：sin2cos20 2 yz yz II I 可见，可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。使惯性矩取极值的轴即为主轴。 第30页/共45页 3. 主惯性矩主惯性矩 定义定义：截面对：截面对主轴的惯性矩称为主轴的惯性矩称为主惯性矩主惯性矩。 由：由： 得：得： zy yz II I tg 2 2 0 0 2 yz I2 zy II 22 4 yzzy III)( 22 0 4 2 yzzy zy III II )( cos 22 0 4 2 2 yzzy yz III I )( sin 将上式代将上式代 入入 00 22 22 0 sin

15、cos yz zyzy y I IIII I 得主惯性矩的计算公式得主惯性矩的计算公式 ： 第31页/共45页 2 2 min max 22 yz zyzy I IIII I 显然：显然： 11 maxminyz yzp IIII III dA y z o z z 1 y y 1 y 1 z 1 第32页/共45页 定义定义： (1)通过形心的通过形心的主轴称为主轴称为主形心轴。主形心轴。 (2)对主形心对主形心轴的惯性矩称为轴的惯性矩称为主形心惯性矩主形心惯性矩 。 (3)由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称 为为主形心惯性平面。主形心惯性平面。 显然显然：对

16、称轴必定是：对称轴必定是主形心轴。主形心轴。 第33页/共45页 证明证明：设通过截面：设通过截面 O 点的点的y、z 轴为主轴，轴为主轴，u、v 为另一为另一 对主轴，其中对主轴，其中 o不是不是 /2 的整数倍，由转轴公式：的整数倍，由转轴公式： 022 2 00 cossin yz zy uv I II I 而：而：0 yz I 02 0 sin zy II 022 2 11 cossin yz zy zy I II I 从而：从而： y z o z1 y 1 0 v u 第34页/共45页 故过点的任何一对故过点的任何一对 正交轴都是主轴，定理得正交轴都是主轴，定理得 证。证。 若通过

17、截面某点有三根（或三根以上）的若通过截面某点有三根（或三根以上）的 对称轴，则通过该点的所有轴都是主轴。对称轴，则通过该点的所有轴都是主轴。 正多边形有无数对主形心轴。正多边形有无数对主形心轴。 cc c c c y z o z 1 y1 0 v u 第35页/共45页 解：解： 1、建立参考坐建立参考坐 标系标系，确定整个，确定整个 截面的形心位置截面的形心位置 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o 第36页/共45页 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o c c1 c2 （yc， zc ） 1 1 1 2670 .5 1 27 3 .9 7 n ic i i

18、 cn i i A z z A c m 1 1 1 20 .574 .5 1 27 1 .9 7 n ic i i cn i i A y y A c m 计算形心坐标： 第37页/共45页 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o zc yc c c1 c2 zc yc a1 a2 b1 b2 a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53 b2 = -3.47 建立形心坐标系， 计算形心坐标系中 各部分形心坐标： 3 .9 7 c zc m 1 .9 7 c yc m 第38页/共45页 2、计算对形心、计算对形心 轴惯性矩和惯性轴惯性矩和惯性 积积 8 cm 12

19、 cm 1 cm 1 cm z y o zc yc c c1 c2 a1 a2 b1 b2 a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53 b2 = -3.47 4 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 279 7473 12 17 12032 12 121 2 1 cm AbI AbII c cc y yy ).( . 11 22 1 11 222 4 97 c ccc cc y zyz yz IIa b A Ia b A cm 4 100 c z Icm 第39页/共45页 4 4 4 97 100 279 cmI cmI cmI cc c c zy z y 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o zc yc c 第40页/共45页 3、计算主形心轴、计算主形心轴 和主形心惯性矩和主形心惯性矩 0871 100279 972 2 2 0 . )( cc cc zy zy II I tg 90723 723 0 0 . . 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z o zc yc c Iyc = 279 cm4 Izc = 100 cm4 Iyczc = -