杨辉三角与二项式定理PPT学习教案

1、会计学1 杨辉三角与二项式定理杨辉三角与二项式定理 复习 二项式定理 (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn 展形式的第k+1项为 Tk+1=Cnkan-kbk 第1页/共19页 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 61615201561 15101051 14641 1331 121 11 对称性 第2页/共19页 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 议一议一 议议 1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律

2、，大家能写出下面的系数吗? 第3页/共19页 每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + + + + + + + + + 第4页/共19页 九章算术九章算术 杨辉杨辉 第5页/共19页 详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表 第6页/共19页 展开式的二项式系数依次是：展开式的二项式系数依次是： n ba)( n nnnn C,C,C,C 210 从函数角度看，从函数角度看， 可看成是以可看成是

3、以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： r n C )(rf n, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右图中的时，其图象是右图中的7个孤立点个孤立点 6n 第7页/共19页 对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到 mn n m n CC 图象的对称轴：图象的对称轴： 2 n r 第8页/共19页 增减性与最大值增减性与最大值 k kn kk knnnn k n k n 1 C )!1( ) 1()2)(1( C 1 由于由于： 所以所以 相对于相对于 的增减情况

4、由的增减情况由 决定决定 k n C 1 C k n k kn1 第9页/共19页 由由： 2 1 1 1 n k k kn 二项式系数二项式系数前前半部分是半部分是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。 2 1 n k 可知，当可知，当 时，时， 增减性与最大值增减性与最大值 第10页/共19页 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式 2 C n n 系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 2

5、 1 C n n 2 1 C n n 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。 增减性与最大值增减性与最大值 第11页/共19页 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1ba nn nnnn 2CCCC 210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于的展开式的各二项式系数的和等于： n ba)( n 2 同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成： 1C0 n 12CCCC 321 nn nnnn 这是组合总数公式这是组合总数公式 第12页/共19页 例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 在二项式定理中

6、，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 ba n n n nnnn n CCCCC) 1(11 3210 nn n rrnr n n n n n n bCbaCbaCaCba 110 )( )()(0 3120 nnnn CCCC 531420 nnnnnn CCCCCC 第13页/共19页 C 练习 第14页/共19页 .3060 1 4 4 4 3 418 4 18145 x x xCTT 变式变式:若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？ 求第五项 项系数最大的展开式中只有第已知,10 1 4 3 n x x 为偶数依题意 n,18,101 2 n n 且 解 第15页/共19页 6420 7531 721 7 7 2 210 7 )21 (. aaaa aaaa aaa xaxaxaax 则 已知 -2 -1094 1093 练习 第16页/共19页 (1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数